3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦一元二次不等式解法、分式不等式解法、二次函数零点及“三个二次”关系等核心知识点，从定义到解法步骤，再到函数图象与方程根的关联，构建递进式学习支架，帮助学生形成完整知识网络。 资料以“三个二次”关系为核心，通过含参不等式分类讨论、实根分布等题型及成本控制等实际案例，培养学生用数学眼光观察问题、用数学思维推理的能力。随学随练与分层练习设计，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第三章 不等式 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 课标要点 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 4.掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法 学习重难点 重点：能借助二次函数求解一元二次不等式；利用一元二次不等式解决含参问题的方法 难点：通过从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，能够解决有关参数的分类讨论问题 知识点一元二次不等式的解法（重点） 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 2、一元二次不等式的解法 ①先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； ②写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 ③根据不等式，写出解集. 教材延伸 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得不等式的解集. 【详解】∵， ∴原不等式的解集为. 2．（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 3．（多选）（24-25高二下·山西长治·阶段检测）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 知识点 解分式不等式（重点） 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 易错提醒 含等号的分式不等式注意等价变换时容易忽略分母不为0 随学随练 1．（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 2．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. 3．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果. 【详解】不等式，可化为，整理得， 即，解得. 所以解集为. 知识点二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 知识点 三个二次的关系（重点） 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 随学随练 1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系即可求解． 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 3．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 拓展 含参数一元二次不等式的解 活学活用 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 题型 一元二次不等式（不含参）的解法（重点） 解题贴士 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正 2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式 3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根 4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图 5.根据图象写出不等式的解集 ▌例1 不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. ▌例2 （24-25高一上·天津·阶段检测）不等式的解集是____. 【答案】 【详解】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， ▌对点练1-1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式等价于. 解得或， 即原不等式的解集为. ▌对点练1-2．（25-26高二下·云南迪庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. ▌对点练1-3．（24-25高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 【答案】 【详解】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，    因此 解集为. 题型一元二次不等式（含参）的解法（难点） 解题贴士 模型一：最高项系数不含参数的两个根， 从两根相等开始讨论分别讨论：①②③ 模型二：最高项系数含参数从最高项系数开始讨论：①②③ ▌例1（2026高一·全国·专题练习）已知函数，解关于的不等式. 【答案】当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】根据条件得到，利用含参的一元二次不等式的解法，对进行讨论，即可求出结果. 【详解】由可得，，即， 当，即时，解得， 当时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. ▌例2（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】 当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. ▌对点练2-1解关于的不等式. 【答案】当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】化简原不等式，分类讨论的取值，结合一元二次不等式的解法即可求解． 【详解】由题意，，即， 由于方程的根为， ①当时，，故原不等式的解为； ②当时，，原不等式为，故原不等式无实数解； ③当时，，故原不等式的解为； 综上所述： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. ▌对点练2-2（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 【答案】 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. ▌对点练2-3（25-26高三·全国·一轮复习）若，解关于的不等式. 【答案】 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】对二次式因式分解，即可求解方程的两个根，分类讨论两个根的大小即可求解. 【详解】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型 一元二次不等式与对应函数、方程的关系（重点） 解题贴士 结合图象找对应关系 ▌例1（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. ▌例2（25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 ▌对点练3-1（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． ▌对点练3-2（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集结合韦达定理可得、、，则可将不等式化为，解出即可得. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． ▌对点练3-3（多选）（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 题型分式不等式的解 解题贴士 ①移项化零：将分式不等式右边化为0（注意不等式右边一定要化0）： ②③④⑤ ▌例1（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】不等式， 转化为，即， 即且， 解得，故解集为. ▌例2（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，解得. 找充分不必要条件，即找集合的真子集，仅 C选项是原解集真子集. ▌对点练4-1（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． ▌对点练4-2（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】由，得， 则，解得， 则不等式的解集为. ▌对点练4-3（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】依题意，由，得，所以，解得， 故答案为：. 题型 一元二次方程的实根分布问题（难点） ▌例1（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： ▌例2关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据方程因式分解求出方程的根，由题意得到不等式组，求解即得. 【详解】由可得， 依题意，，解得. 故答案为：. ▌对点练5-1（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. ▌对点练5-2（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. ▌对点练5-3写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件. 【答案】 【分析】利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，解得， 方程有一个正根和一个负根的充要条件是． 题型 一元二次不等式恒成立与有解问题（重点） 解题贴士 模型一：在实数上恒成立或有解问题：判别法 模型二：在非上恒成立或有解问题：变量分离法 ①若对恒成立，则只需； ②若对恒成立，则只需． ③，使得能成立； ④，使得能成立． ▌例1（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. ▌例2（25-26高二下·安徽宿州·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由为假命题，得为真命题， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. ▌对点练6-1（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. ▌对点练6-2（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 【答案】 【分析】根据二次函数的图像分类讨论即可. 【详解】若在恒成立，即在恒成立， 设，则该二次函数开口向上，对称轴为， 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 题型 利用一元二次不等式解决实际问题 ▌例1（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. ▌例2（25-26高一上·天津·期中）某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 【答案】30 【分析】设每件售价为元，结合题意列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】设每件售价为元， 则， 即，即， 解得， 又， 所以. 所以销售价格最高是30元. 故答案为：30. ▌对点练7-1（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. ▌对点练7-2（25-26高一上·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 【答案】15 【分析】设销售价格提高元，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 ▌对点练7-3（26-27高一上·全国·课堂例题）爱护环境，从点滴做起，让我们共同守护祖国美丽的蓝天绿水．某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 【答案】 【详解】设花坛的宽度为，则草坪的长为，宽为， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 由题意可知：，可得， 当x在之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 基础通关 1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）“”是“”成立的（    ）条件． A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．充要 D．必要不充分 【答案】D 【分析】先求解分式不等式得到对应解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断两者的逻辑关系即可. 【详解】对于，不等式等价于 ，解得或. 充分性：由“”不能推出“”（例如当时，前者成立，后者不成立）， 故“”不是“”的充分条件. 必要性：由“”可以推出“”，故“”是“”的必要条件. 因此“”是“”成立的必要不充分条件. 2．（2026·陕西咸阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查二次根式有意义的条件 ，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围. 【详解】，即，解得. 3．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可. 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 5．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 6．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 又，则，当且仅当时取等号， 所以其最小值为. 7．（多选）（25-26高二下·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 8．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 9．（专题03三个二次关系及解不等式（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 【答案】5 【详解】关于的方程有实数根， 当时，方程有实数根， 当时，需满足，解得，且， 综上，，则实数的最大整数值是5． 10．（25-26高二下·广东深圳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 素养提升 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 3．（25-26高一上·云南曲靖·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】． 若，则原不等式的解集为，则，得； 若，则原不等式的解集为空集，不符合题意； 若，则原不等式的解集为，则，得． 综上所述，的取值范围为． 故选：D 4．（24-25高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 5．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 迁移创新 1．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）（1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 【答案】（1）①；②或；③或 （2）7 （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法求解； （2）根据均值定理求和的最小值； （3）含参一元二次不等式讨论的范围解不等式. 【详解】（1）①，所以， 则解得， 得到此不等式的解集为； ②，则， 得到的解为， 所以的解集为或； ③，则或， 所以或， 所以的解集为或． （2）因为，由题． 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为7． （3）原不等式可化为， 方程的两根为． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 2．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 3．（25-26高一上·天津和平·期中）已知函数． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）按照和讨论求解，在的情况下，的解集为，则有，计算求解； （2）所求不等式转化为，按照，，这三种情况讨论求解. 【详解】（1）当，即时，，解集不为，不符合题意； 当，即时，的解集为， ，即， 解得， 综上，实数的取值范围为； （2）转化为， 即， 当，即时，不等式为，解得， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为或， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 4．（25-26高三上·山东潍坊·期中）某人工智能算力中心通过AI训练效率评估模型优化算力资源配置．已知模型训练精度系数为，剩余训练周期为（单位：小时，），算力资源损耗效率为，满足评估模型：． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的最小值； 【答案】(1)且. (2)8 【分析】（1）代入求解不等式即可； （2）代入,利用基本不等式求解; （3）将问题转化为证明当时，对任意恒成立.由变形为，令，分和两种情况，求解即可得证. 【详解】（1）由题意得， 化简得，即，解得或 因为，所以且. （2） 当且仅当即时等号成立 所以的最小值为8. 5．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的二次函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若实数，满足，求关于的不等式的解集； (3)若存在两个不相等的正实数，使得，且满足，求的最小值. 【答案】(1)， (2) 当时，解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3)10 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； （2）化简可得，再以0，1为分界点讨论a的范围，求解不等式即可 （3）由韦达定理及判别式得到和，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）∵的解集为， ∴与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：， 解得，. （2）∵，则不等式化为：， 因式分解为：，(). 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得或，不等式的解集为. 综上，当时，解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）因为二次函数有两个不相等的正实数零点， 所以，又， 可得， 也即，即，结合， 可得，解得， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为10. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 不等式 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 课标要点 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 4.掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法 学习重难点 重点：能借助二次函数求解一元二次不等式；利用一元二次不等式解决含参问题的方法 难点：通过从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，能够解决有关参数的分类讨论问题 知识点一元二次不等式的解法（重点） 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 2、一元二次不等式的解法 ①先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； ②写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 ③根据不等式，写出解集. 教材延伸 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·山西长治·阶段检测）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 知识点 解分式不等式（重点） 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 易错提醒 含等号的分式不等式注意等价变换时容易忽略分母不为0 随学随练 1．（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 3．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 知识点二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 知识点 三个二次的关系（重点） 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 随学随练 1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）若关于的不等式的非空解集为，则________． 3．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 拓展 含参数一元二次不等式的解 活学活用 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 题型 一元二次不等式（不含参）的解法（重点） 解题贴士 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正 2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式 3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根 4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图 5.根据图象写出不等式的解集 ▌例1 不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 ▌例2 （24-25高一上·天津·阶段检测）不等式的解集是____. ▌对点练1-1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高二下·云南迪庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练1-3．（24-25高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 题型一元二次不等式（含参）的解法（难点） 解题贴士 模型一：最高项系数不含参数的两个根， 从两根相等开始讨论分别讨论：①②③ 模型二：最高项系数含参数从最高项系数开始讨论：①②③ ▌例1（2026高一·全国·专题练习）已知函数，解关于的不等式. ▌例2（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）解关于的不等式（为常数且）. ▌对点练2-1解关于的不等式. ▌对点练2-2（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： ▌对点练2-3（25-26高三·全国·一轮复习）若，解关于的不等式. 题型 一元二次不等式与对应函数、方程的关系（重点） 解题贴士 结合图象找对应关系 ▌例1（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 ▌例2（25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. ▌对点练3-1（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ▌对点练3-3（多选）（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型分式不等式的解 解题贴士 ①移项化零：将分式不等式右边化为0（注意不等式右边一定要化0）： ②③④⑤ ▌例1（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-1（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-2（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）不等式的解集为__________． ▌对点练4-3（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为___________. 题型 一元二次方程的实根分布问题（难点） ▌例1（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. ▌例2关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为_______． ▌对点练5-1（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . ▌对点练5-2（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. ▌对点练5-3写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件. 题型 一元二次不等式恒成立与有解问题（重点） 解题贴士 模型一：在实数上恒成立或有解问题：判别法 模型二：在非上恒成立或有解问题：变量分离法 ①若对恒成立，则只需； ②若对恒成立，则只需． ③，使得能成立； ④，使得能成立． ▌例1（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 ▌例2（25-26高二下·安徽宿州·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. ▌对点练6-1（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． ▌对点练6-2（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 题型 利用一元二次不等式解决实际问题 ▌例1（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·天津·期中）某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. ▌对点练7-1（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. ▌对点练7-2（25-26高一上·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. ▌对点练7-3（26-27高一上·全国·课堂例题）爱护环境，从点滴做起，让我们共同守护祖国美丽的蓝天绿水．某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 基础通关 1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）“”是“”成立的（    ）条件． A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．充要 D．必要不充分 2．（2026·陕西咸阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 7．（多选）（25-26高二下·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 9．（专题03三个二次关系及解不等式（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 10．（25-26高二下·广东深圳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 素养提升 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南曲靖·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 5．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 迁移创新 1．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）（1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 2．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 3．（25-26高一上·天津和平·期中）已知函数． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 4．（25-26高三上·山东潍坊·期中）某人工智能算力中心通过AI训练效率评估模型优化算力资源配置．已知模型训练精度系数为，剩余训练周期为（单位：小时，），算力资源损耗效率为，满足评估模型：． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的最小值； 5．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的二次函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若实数，满足，求关于的不等式的解集； (3)若存在两个不相等的正实数，使得，且满足，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $