重难题型卷(五)等腰三角形与直角三角形-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（冀教版·新教材）河北专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上9G 15.重难题型卷（五） 狗 等腰三角形与直角三角形 物 题型一 等腰三角形中的分类讨论 书扭 回期 1.(期末·22-23沧州)已知△ABC是等腰三角形，若∠A=50°， 则△ABC的顶角的度数是( A.50° B.50°或80 C.80° D.50°或65 2.(期末·22-23邢台七中)已知在等腰△ABC中，AD为BC边 上的高，且AD=BC,则等服△ABC底角的度数为() A.45° B.75或609 C.45°或75° D.以上都不对 3.如图，直线1,2相交于点A,点B是直线外一点，在直线 製 41,l2上找一点C,使△ABC为一个等腰三角形，满足条件 的点C有( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 ·B 精品图书 第3题图 第5题图 4.(期末·22-23石家庄四十二中)已知等腰三角形的两边长分 别为a,b,且a,b满足√a一1十|b一3|=0，则此等腰三角形的 周长为 5.(期末·24-25石家庄桥西区)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC=6,点D在线段BC上运动（点D不与点B,C 重合)，连接AD,作∠ADE=45°，DE交线段AC于点E.若 △ADE是等腰三角形，则DC= 警加 H 题型二直角三角形中的计算 题) 6.（期末·23-24张家口宣化 最品 区)如图，在△ABC中，AB 画 =AC,D是BC边上的中 点，∠B=30°，则∠DAC等 D 第6题图 于() A.30° B.40° C.50° D.60° 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=28°.若CD是△ABC 的中线，则∠ACD的度数为() A.42° B.52° C.62 D.72° B D 第7题图 第9题图 8.(期末·22-23邯郸南湖中学)在△ABC中，AB=10,AC= 2√10，BC边上的高AD=6,则另一边BC等于() A.10 B.8 C.6或10 D.8或10 9.(月考·23-24石家庄二中润德学校)如图，在△ABC中，∠B =60°，AB=AC=4,过BC上一点D作PD⊥BC交BA的延 长线于点P,交AC于点Q.若CD=1,则CQ= ,PA 10.(月考·22-23石家庄十七中)如图，在△ABC中，AC=21, BC=13,点D是AC边上一点，BD=12,AD=16. (1)求证：BD⊥AC. (2)若点E是AB边上的动点，连接DE,求线段DE长的 最小值， B 第10题图 49 题型三勾股定理的实际应用 11.数学文化我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题： “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸 齐，问水深、葭长各几何.”其大意为：有一水池一丈见方，池 中间生有一棵芦苇，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与 岸边平齐（如图），问水有多深，该芦苇有多长？其中一丈为 十尺，设芦苇长x尺，则可列方程为(）) A.(x-1)2=x2+52 B.(x-1)2+52=x2 C.(x+1)2+52=x2 D.(x十1)2=x2+52 第11题图 第12题图 12.(期末·22-23邢台七中)如图，桌面上的长方体长为8，宽为 6,高为4，B为CD的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的 表面到达B点，则它运动的最短路程为( ) A.2√29 B.45 C.3/14 D.10 13.如图，某社区有一块四边形空地ABCD,AB=15m,CD= 米8m,AD=17m.从点A修了一条垂直于BC的小路AE(垂 足为E),E恰好是BC的中点，且AE=12m (1)求边BC的长 (2)连接AC,判断△ADC的形状， (3)求这块空地的面积. 第13题图 14.情境题如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离 地的垂直高度为0.6m,将秋千AD往前推送3m,到达AB 的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6，秋千的 绳索始终保持拉直的状态 (1)根据题意，CD= m,BC= m,BF= m. (2)根据(1)中求得的数据，求秋千的长度， (3)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m,需要将秋千AD 往前推送 m. D 第14题图 题 精品图书 金星教 题型四“手拉手”模型 15.如图，点C为线段AE上一动点（不 与点A,E重合)，在AE同侧分别作 等边三角形ABC和等边三角形 CDE,AD与BE交于点O,AD与 BC交于点P,BE与CD交于点Q, 第15题图 连接PQ,OC.以下6个结论：①AD =BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB= 60°；⑥OC平分∠AOE.其中不正确的有( )个 A.0 B.1 C.2 D.3 16.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a. (1)求证：△ACD≌△BCE. (2)如图②，当a=90时，取AD的中点P,BE的中点Q,判断 △CPQ的形状并给出证明. ① ② 第16题图 题型五动点问题 17.（期末·22-23石家庄四十二中)如图，在 △ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6cm,动 点P,Q同时从A,B两点出发，分别在AB,BC 边上匀速移动，它们的速度分别为p= 2cm/s,vo=1cm/s,当点P到达点B时，P,Q 两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts. B→Q (1)当t= s时，△PBQ为等边三第17题图 角形 (2)当t= s时，△PBQ为直角三角形 -50 18.(期末·22-23石家庄裕华区)如图，已知等边△ABC的边长 为6cm,现有两点M,N分别从点A、点B同时出发，沿三角 形的边运动，运动时间为ts,已知点M的速度为1cm/s,点 N的速度为2cm/s.当点N第一次到达点B时，M,N同时 停止运动. (1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在 ;当M,N运动 s时，点N追上点M, (2)当点M,N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的 等腰三角形AMN?若能，请求出此时M,N运动的时间. (3)当△AMN为直角三角形时，运动时间t的值是 备用图① 备用图② 盗印必 第18题图 关爱学子 拒绝盗印(BN=BN, 在Rt△BCN与Rt△BMN中， CN=MN, '.Rt△BCN≌Rt△BMN(HL), .BM=BC=6,.AM=AB-BM=10-6=4. 设MN=x,则AN=AC-CN=AC-MN=8-x. 在Rt△AMN中，AN2=MN2+AM2,即(8-x)2=x2+4, 解得x=3,即MN=3. (3)当AM的长为5或8或时，△ACM为等腰三角形. 分析：分三种情况讨论. ①当AM=CM时，△ACM为等腰三角形. :AM=CM,∴.∠ACM=∠A. :∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90°，∠BCM+∠ACM=90°， .'.∠B=∠BCM,∴.BM=CM, .AM=BM=号AB,.AM=5. ②当AM=AC=8时，△ACM为等腰三角形， ③当AC=CM=8时，△ACM为等腰三角形. 如图③，过点C作CD⊥AB于点D, 由可得cD华AD=√AC-CD= 5 CM-CA,..AM=2AD-64 5 综上所述，当AM的长为5或8或时，△ACM为等腰三角形. M B D 第24题答图③ 15.重难题型卷（五）等腰三角形与直角三角形 1.B【解析】分两种情况讨论：①当∠A为顶角时，顶角为50°； ②当∠A为底角时，顶角为180°-50°-50°=80°.故选B. 2.D【解析】分情况讨论：①如图①，当AB=AC时， AD⊥BC,.BD=CD. AD-7BC..AD=BD=CD. :.∠B=∠DAB=号∠CDA=45, .底角的度数为45°. D ① ② ③ 第2题答图 ②如图@，当AC=BC时，：AD-2BC,AD-之AC, 易知∠ACB=30°，∴.∠CAB=∠B=75°，.底角的度数为75°. ③如图③，当AB=BC时，：AD=2BC,AD=2AB, 易知∠ABD=30°，.∠BAC=∠BCA=15°， .底角的度数为15°. 综上所述，等腰△ABC底角的度数为15°或45或75°.故选D. 真题圈数学八年级上9G 3.D【解析】以A为圆心、AB长 C5/1 为半径画弧，交4,2于4个点； 以B为圆心，AB长为半径画弧 C、 交l1,2于2个点；再作AB的C 秀B 垂直平分线交l1,2于2个点. A Cs C. 共有8个点.故选D. /C. 4.7【解析】根据题意，得a一1= 第3题答图 0,b-3=0,∴.a=1,b=3. 分情况讨论：①当a=1是腰时，三边长分别为1,1,3,1+1<3， 不能组成三角形；②当b=3是腰时，三边长分别为3,3,1，能组 成三角形，等腰三角形的周长为3十3十1=7.故答案为7. 5.6或3√2【解析】.∠BAC=90°，AB=AC=6, ∴.BC=√AB2+AC=√62+6=6√2，∠B=∠C=45° 分情况讨论： ①如图①，△ADE是等腰三角形，且AD=DE,,'∠ADE= 45°，∴.∠BAD+∠ADB=180°-∠B=135°，∠CDE+∠ADB =180°-∠ADE=135°， ∴.∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB,.∠BAD=∠CDE. (∠B=∠C, 在△ABD和△DCE中，∠BAD=∠CDE, AD-DE, ∴.△ABD≌△DCE(AAS),∴.AB=DC=6. ②如图②，△ADE是等腰三角形，且AE=DE,则∠EAD= ∠ADE=45°，∴.∠BAD=∠CAD=45°. :AB=AC,AD平分∠BAC,.DC=DB=2BC=3E. ③：点D不与点B重合，.∠DAE<90,∴.180°-45° ∠AED90°，∴.∠AED>45°，∴.∠AED≠∠ADE,∴.不存在 △ADE是等腰三角形，且AD=AE的情况， 综上所述，DC的长为6或3√2.故答案为6或3√2 A ① ② 第5题答图 6.D【解析】：在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点， .AD⊥BC,.∠ADC=90°.∠B=∠C=30°，∴∠DAC= 90°-∠C=60°.故选D. 7.C【解析】∠ACB=90°，∠B=28°，.∠A=90°-28°=62°， :∠ACB=90,CD是R△ABC斜边上的中线，∴CD=号AB =AD,∴.∠ACD=∠A=62°.故选C. 8.C【解析】根据题意画出图形，如图①，AB=10,AC=2√10， AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得BD= √AB2-AD=8,CD=√AC-AD=2,此时BC=BD+ CD=8+2=10. B ① ② 第8题答图 如图②，AB=10,AC=2√J10,AD=6, 在Rt△ABD和Rt△ACD中， 答案与解析 根据勾股定理得BD=√AB2-AD=8,CD=√AC-AD =2,此时BC=BD-CD=8一2=6. 综上所述，边BC的长为6或10.故选C. 9.22【解析】：∠B=60°，AB=AC=4, .△ABC是等边三角形，∠C=60°. ,PD⊥BC,∴.∠QDB=∠QDC=90°， ∴.∠P=90°-∠B=30°，∠DQC=90°-∠C=30, CD=1,∴.CQ=2DC=2,∴.AQ=AC-CQ=4-2=2. ∠AQP=∠CQD=30°， ∴.∠P=∠AQP=30°，∴.PA=AQ=2.故答案为2；2. 10.(1)【证明】.·AC=21,AD=16,∴.CD=AC-AD=21-16=5. .BD2+CD2=144+25=169. .BC2=132=169,∴.BD2+CD2=BC2, .∠BDC=90°，即BD⊥AC. (2)【解】当DE⊥AB时，线段DE最短. .BD⊥AC,.∠ADB=90°， .在Rt△ADB中，AB=√AD2+BD=√/162+12=20. :7AD·DB=号AB·DE,DE=16X12=48, 20 5 :线段DE长的最小值为9 11.B 12.D【解析】如图①所示，AB=√42+102=2√29.如图②所 示，AB=√62+8=10.如图③所示，AB=√42+10= 2√29.2√29>10，.它运动的最短路程为10.故选D. B B 4 8 ① ② ③ 第12题答图 13.【解】(1)，AE⊥BC,.∠AEB=90° 在Rt△ABE中，：AB=15m,AE=12m, ∴.BE=√AB2-AE=√152-12z=9(m). :E是BC的中点，.BC=2BE=18m (2)如图，AELBC,E是BC的中点，.AC=AB=15m AD=17 m,CD=8 m,.'CD2+AC2=AD2, .∠ACD=90°，.△ADC是直角三角形. (3)由(2)可知，△ADC是直角三 角形，AC=15m, ÷Sm=2Ac.CD=2X15 X8=60(m2). B E 由(1)可知，BC=18m, 第13题答图 Se=2BC·AE-=号×18X12=108(m), .这块空地的面积为SAc十S△cm=108十60=168(m2). 14.【解(1)131.6 (2),BC⊥AC,∴.∠ACB=90°.设秋千的长度为xm, AB=AD=x m,AC=AD-CD=(x-1)m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 即(x一1)2十32=x2,解得x=5,即秋千的长度是5m (3)4 分析：当BF=2.6m时，CE=2.6m, ,DE=0.6m,.CD=CE-DE=2.6-0.6=2(m). 由(2)可知，AD=AB=5m, ∴.AC=AD-CD=5-2=3(m). 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=√AB2-AC=√52-32=4(m), 即需要将秋千AD往前推送4m. 15.B【解析】①：△ABC和△CDE为等边三角形，.AC=BC, CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°，∴.∠BCA+∠BCD=∠DCE +∠BCD,即∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS), .AD=BE,故①正确. 由(1)中的全等得∠CBE=∠DAC,,∠BCQ=180°-∠BCA -∠DCE=180°-60°-60°=60°，.∠BCQ=∠ACP=60°，进 而可证△CQB≌△CPA(ASA),∴.CQ=CP,AP=BQ,故③ 正确。 由∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ,∴.∠PQC=∠DCE=60°，.PQ∥AE,故②正确. :∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°， .PD≠CD,∴.DE≠DP,故④不正确. :∠CDE=∠PCD=6O°，.BC∥DE,.∠CBE=∠BED. :∠CBE=∠DAE, .∠AOB=∠DOE=∠OAE+∠AEO=∠BED+∠AEO=6O°， 故⑤正确. 如图，作CM⊥AD于点M,CN B ⊥BE于点N, :△ACD≌△BCE, ∴.SAXm=SAE, &号AD.CM=BE,CN 又AD=BE,.CM=CN, 第15题答图 ∴.O℃平分∠AOE,故⑥正确. 故不正确的有1个.故选B. 16.(1)【证明】：∠ACB=∠DCE=a, .∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 即∠ACD=∠BCE (CA=CB, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD-CE, ,.△ACD≌△BCE(SAS). (2)【解】△CPQ为等腰直角三角形.证明如下： 由(1)知，△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC,AD=BE. :P,Q分别为AD,BE的中点，.AP-号AD,BQ-号BE, ∴.AP=BQ (AP=BQ, 在△PAC和△QBC中，∠DAC=∠EBC, CA=CB, ∴.△PAC≌△QBC(SAS),.∠ACP=∠BCQ,CP=CQ :∠ACB=a=90°，∴.∠ACP+∠BCP=90. ∴.∠BCQ+∠BCP=90°，即∠PCQ=90°， ∴.△CPQ为等腰直角三角形. 17.(12(2)是或号【解析11)：∠C=90,∠A=30, ∴.∠B=60°，.当PB=BQ时，△PBQ是等边三角形 由题意得AP=2tcm,BQ=tcm, .BP=AB-AP=(6-2t)cm,∴.6-2t=t,解得t=2. 即当t=2时，△PBQ为等边三角形 (2)∠C=90°，∠A=30,∴.∠B=60°， .当△PBQ为直角三角形时，只能是∠PQB=90°或 ∠BPQ=90° ①当∠PQB=90时，如图①，∠BPQ=90°-∠B=30°， :BQ-7 BP. :BP=(6-2)cm,BQ=tcm,·.t=号(6-2D),解得t=2 B QC ⑦ ② 第17题答图 ②当∠BPQ=90时，如图②，∠PQB=90°-∠B=30°， BQ-2BP,.t=2(6-2D),解得t=1 5 综上，当1=受或=号时，△PBQ为直角三角形， 故答案为12，(2)号或号 18.【解】(1)线段BC的中点6 分析：当点N第一次到达点B时，运动时间4=36=9(s),此 时点M运动了1X9=9(cm),∴.点M的位置在线段BC的中 点.设点M,N运动xs后，M,N两点重合，则xX1十6=2x,解 得x=6,即当M,N运动6s时，点N追上点M. (2)当点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰 三角形.由(1)知6s时M,N两点重合，恰好在点C处，即当点 M,N在BC上运动时，点N在点M下方， 如图①，假设△AMN是以MN为底 边的等腰三角形， 则AN=AM,∴.∠AMN=∠ANM, ∴.∠AMC=∠ANB. :△ACB是等边三角形， .∠C=∠B. 在△ACM和△ABN中， 第18题答图① :∠C=∠B,∠AMC=∠ANB,AM=AN, ∴.△ACM≌△ABN(AAS),∴.CM=BN, ∴.t一6=18-2t,解得t=8,符合题意. 所以假设成立，即当M,N运动8s时，能得到以MN为底边的 等腰三角形. (3)2或号或号或9 分析：分情况讨论： ①当点N在AB上运动时，如图②，若∠AMN=90°， .'BN=2t,AM=t,.'.AN=6-2t. :∠A=60°，∴.∠ANM=30, 2AM=AN,即2=6-2z,解得=号. W ② ③ 第18题答图 如图③，若∠ANM=90°，同理可得2AN=AM,即2(6一2t)=t, 真题圈数学八年级上9G 解得1=器 ②当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A,M,N不 能构成三角形. ③当点N在BC上运动时，如图④，当点N位于BC中点时，由 △ABC为等边三角形知AN⊥BC,即△AMN是直角三角形， 则2=6+6+3，解得4=只. M B(N) @ ⑤ 第18题答图 如图⑤，当点M位于BC中点时，由△ABC是等边三角形知 AM⊥BC,即△AMN是直角三角形，则t=6十3=9. 综上，当：=多或号或步或9时，△AMN是直角三角形. 专题复习卷 16.专题复习卷（一）分式和分式方程 1.C 2.C【解析】A分式之和2之的最简公分母是10x,所以A选项 错误；B当0时，合-，所以B选项错误；C张-号，所以 C选项正确：D分式。千6中的a,6同时扩大2倍，分式的值扩大 2倍，所以D选项错误.故选C 31【解标：分式号的值为0,1x-1=0,十1≠0，解 得x=1.故答案为1. 4x【解析】：告=a+D= x+1 十号 红一2D动心出号都不是最简分式产 x一1 无法化简，是最简分式.故答案为x. 5.一1或一3【解析】.m是负整数，∴.m一1<0.由题意可知m一1 =一1或-2或-4，①当m-1=-1时，m=0,不符合题意；②当 m一1=一2时，m=一1，符合题意；③当m一1=一4时，m=一3， 符合题意.综上所述，m=-1或-3.故答案为-1或-3. 6c【解折]乐+=》-千有= x2 x+1 x十1=x故选C 1B【解标1原式=2》-条。=异-华 (x十3)2 一x二3==(x十3》=-1，-1在②的范围内.故选B. x+3x十3 8.c【解标：x-1-1,c+之=(x-)广'+2=3， 2 1 .4+2x2+172+2+13+2-5·敢选 9B【解析：M-N=x+1-4g=x+1)2-4红=-(x-1) x+1x+1 x+1 3当>0时，M-N-}≥0，则EN,即心不正确，当 即十10时，M-N-<0,则M长N,即②正 确.故选B.