第十七章 特殊三角形 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（冀教版·新教材）河北专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上9G 狗 14.第十七章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 尽 回期 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1.(月考·23-24石家庄二中润德学校)如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=5,则AC的长为( A.2 B.3 C.4 D.5 D B 第1题图 第2题图 第3题图 散 2.(期末·22-23石家庄二十八中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，AB=12, 则CD的长等于() A.5 B.4 C.8 D.6 3.(月考·23-24石家庄四十八中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.若AB=13,则正方形ADEC 与正方形BCFG的面积和为() A.25 B.144 C.150 D.169 的 4.数学建模几何（期末·24-25石家庄外国语）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD与支 杆BC,CD=BC且∠BCE=120°.若CD的长度为50cm,则此时B,D两点之间的距离为() A.40 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm E \c B D 米F 第4题图 第5题图 5.(期末·24-25石家庄四十中)如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹， 警0 可知∠BCG的度数为( C A.60° B.50 C.45° D.40° 题) 6.下列可使两个直角三角形全等的条件是( ) 鼠 A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.斜边和一条直角边分别对应相等 7.(期末·24-25石家庄桥西区改编)用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,第一步应 假设() A.a∥b B.a与b垂直 C.a与b不一定平行 D.a与b相交 8.(中考·2023河北)四边形ABCD的边长如图，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当 △ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 第8题图 第10题图 9.思维探索（期末·24-25石家庄栾城区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角 的度数是() A.55° B.125° C.125°或55° D.55°或145° 10.（期末·22-23石家庄四十中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=9,将△ABC折叠， 使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M,交BC于点N,则线段BN的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 11.数学归纳如图，∠AOB=15°，点C在OB上，且OC=1.按下列要求画图：以C为圆心、1为半径向 右画弧交OA于点C1,连接CC,得第1条线段CC;再以C1为圆心、1为半径向右画弧交OB于 点C2,连接C1C2,得第2条线段CC2;再以C2为圆心、1为半径向右画弧交OA于点C3,连接 C2C3,得第3条线段C2C3;;这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线 段了，则n的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 A C 0 0 B 第11题图 第12题图 12.（月考·23-24廊坊六中)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点 D,P是BA延长线上一点，O是线段AD上一点，OP=OC,连接OB.结论I:△OPC是等边三角 形；结论Ⅱ：AC=AO+AP. 判断上面两个结论的正误() A.结论I正确，结论Ⅱ错误 B.结论Ⅱ正确，结论I错误 C.两个都正确 D.两个都错误 二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分）》 13.（期末·24-25石家庄四十四中改编)如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°， ∠BAC=60°，AC=2,则BB长为 60 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14.(月考·23-24石家庄二中润德学校)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线 DE分别交AC,AB于点D,E.若∠DBC=15°，则∠A= 15.如图，∠BAC=90°，AB=2√2，AC=2√2，BD=12,DC=4√10，则∠DBA= 16.(月考·22-23石家庄十七中)如图，点M在等边三角形ABC的边BC上，BM=4,射线CD⊥山 BC,垂足为C,P是射线CD上一动点，N是线段AB上一动点，当MP十NP的值最小，且BN=5 时，AC的长为 三、解答题（本大题共8题，共72分） 17.(期末·22-23石家庄二十八中)(8分)已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=DB,AC,DB相交于点 O.求证：△OBC是等腰三角形. D 精品图书 B 金星教 第17题图 18.(8分)题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，求证AC≠BC. 证明：假设AC=BC,因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B, 所以AC≠BC,这与假设矛盾，所以AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以改正. 19.(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，G是中线EC的中点， CD=AE,求证：DG LCE. 拒绝盗印 E D 第19题图 6- 20.(期末·24-25石家庄藁城区)(8分)如图①，在△ABC中，∠B是锐角，AD⊥BC于点D,且∠B =2∠C,AB=3.5,BD=1,求DC的长， 小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 国 狗 解：如图②，在线段DC上取一点E,使DE=DB,连接AE. 物 .AD⊥BC,DE=DB, 尽 .AD垂直平分BE, 书州 回期 ∴.AB=AE,(依据1) ∴.∠B=∠AEB.(依据2) ∠B=2∠C,∴.∠AEB=2∠C. 又.'∠AEB=∠EAC十∠C, .∠EAC+∠C=2∠C, .∠EAC=∠C, .∴.AE=CE,(依据3) ∴.AE=CE=AB, .DC=DE+CE=BD+AB=1+3.5=4.5. (1)上述解题过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是什么？ 会 依据1： 依据2： 依据3： (2)看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 请根据小创的思路写出完整的解题步骤， 精品图书 解：如图③，延长DB到点E,使BE=AB,连接AE… D B D ① ② ③ 第20题图 些咖 21.（期末·22-23邯郸南湖中学)(8分)近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向、距A 城240km的B处，并以12km/h的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为 受影响区域。 (1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？ (2)若A城受这次沙尘暴的影响，那么受影响的时间有多长？ 北 西 B A东 第21题图 22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在△ABC内部，BD=BC,∠DBC=60°，点E在 △ABC外部，∠BCE=150°，∠ABE=60°. (1)求∠ADC的度数 (2)判断△ABE的形状并加以证明. (3)连接DE,若DE⊥BD,DE=4,求BC的长.盗印 B 第22题图 47 23.思维探索(10分)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证 明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余的数学爱好者.以下为发现的一个新的证法， 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图①放置，其三边长分别为a,b,c.显 然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE.请用a,b,c分别表示出梯形ABCD,△EBC,四边形AECD的 面积： S梯形ABCD一 S△BC= S四边形ABCD= 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ,化简后， 可得到勾股定理 【知识运用】如图②，河道上A,B两点（看作直线上的两点）相距200，C,D为两个菜园（看作两 个点)，AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=80m,BC=70m,现在菜农要在AB上确定一 个抽水点P,使得抽水点P到两个菜园C,D的距离和最短，则该最短距离为 m. 【知识迁移】借助上面的思考过程，请直接写出当0<x<15时，代数式√x2+9+√(15一x)2+25 的最小值 D B b ② 金星教育 第23题图 4 24.(期末·22-23石家庄四十八中)(12分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=10. (1)如图①，求点C到边AB的距离. (2)如图②，点M是线段AB上一动点，过点M作MN⊥AB交AC于点N,当MN=CN时，求 MN的长. (3)如图③，点M是直线AB上一动点，连接CM,请直接写出当AM的长为何值时，△ACM为等 腰三角形. B B M ① ① ③ 第24题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 8-23.【解】(1)如图，连接AO,,AB,AC 的垂直平分线交于点O,∴.AO= BO=CO,AD=BD. 又OD=OD, ∴.△ADO≌△BDO(SSS), B ∴.∠OAB=∠OBA, 第23题答图 同理∠OCA=∠OAC, ∠ABC+∠ACB+∠BAC-180°， ∴.∠ABO+∠OBC+∠OCB+∠ACO+∠BAO+∠CAO= 2∠BAO+2∠CAO+∠OBC+∠OCB=2(∠BAO+∠CAO)+ ∠OBC+∠OCB=2∠BAC+∠OBC+∠OCB=2a+∠OBC+ ∠OCB=180°， .∠OBC+∠OCB=180°-2a,∴.∠BOC=180°-（∠OBC+ ∠0CB)=180°-(180°-2a)=2a. (2)∠ABO+∠ACB是定值. :'BO=CO,过点O作OF⊥BC交BC于点F(图略)，则OF为 BC的垂直平分线，∴.BF=CF,∠OFB=∠OFC. OF=OF,∴.△OBF≌△OCF(SAS),∴.∠OBC=∠OCB. ∴∠0BC=7(180°-∠B0O=90°-a. :∠ABO+∠OBC+∠ACB+∠BAC-180°， .∠ABO+∠ACB=18O°-∠BAC-∠OBC =180°-a-(90°-a)=90°. 24.【解】(1)是 25V月 3√nn产1=n√马m≥2且n为整数. 证明如下凸√中√x=√马 71 3 n 32 (4Nnn-1=nn-1 分渐声—-0x产马 n 14.第十七章学情调研 题号123456789101112 答案DDDC BDDBCBAC 1.D2.D 3.D【解析】在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=169,则正方形 ADEC与正方形BCFG的面积和=AC2十BC2=169.故选D. 4.C【解析】如图，连接BD,由题意可知，CD=BC, EG ,∠BCE=120°，.∠BCD=180°-∠BCE=180° -120°=60°，.△BCD是等边三角形，∴BD=CDB =50cm.故选C. 5.B【解析】由作法得CG⊥AB,,AC=BC,∠A= 40°，∴.CG平分∠ACB,∠A=∠B=40. ∠ACB=180°-40°-40°=100°， 第4题答图 ∠BCG=2∠ACB=50°.故选B 6.D7.D 8.B【解析】在△ACD中，AD=CD=2,∴.2-2<AC<2+2,即 0<AC<4.当AC=BC=4时，△ABC为等腰三角形，但不符合 题意，舍去；当AC=AB=3时，△ABC为等腰三角形.故选B. 9.C【解析】如图①，·AB=AC,BD⊥AC,∴.∠ADB=90°. :∠ABD=35,.∠A=55. 如图②，：AB=AC,BDLAC,∴.∠BDC=90. ∠ABD=35°，∴.∠BAD=55°，∴.∠BAC=125°. 真题圈数学八年级上9G一 综上所述，它的顶角度数为55°或125°.故选C. ① ② 第9题答图 10.B【解析】，D是AB的中点，AB=6,.AD=BD=3. :将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合， .DN=CN,.'.BN=BC-CN=9-DN. 在Rt△DBN中，DN=BN+BD, ∴.DN=(9-DN)2+9,.DN=5,.BN=4.故选B. 11.A【解析】根据题意可知∠CCC2=∠CC2C=∠COC+ ∠CC1O=15°+15°=30°，∠C3C1C2=∠C2C3C=∠C1OC2+ ∠CC2O=15°+30°=45°，…，∠C5C3C4=∠C4C5C3=∠C3OC4 +∠C3C4O=15°+60°=75°，∴.∠C5C4B=∠C5OC4+∠C4C5O =15°+75°=90°，.n的值为5.故选A. 12.C【解析】，AB=AC,ADLBC,∠BAC=120°， BD-CD,∠BMD=合∠BAC-号×120=60， .OB=OC,∠ABC=90°-∠BAD=30°. ,OP=OC,∴.OB=OC=OP, ∴.∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO, ∴.∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30. :∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴.∠APC+∠DCP=150°. :∠AP0+∠DC0=30°，∴.∠OPC+∠OCP=120°， ∴.∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP)=60°. :OP=OC,∴.△OPC是等边三角形，故结论I正确. 如图，在AC上截取AE=PA,连接PE, :∠PAE=180°-∠BAC=60°， .△APE是等边三角形， .∠PEA=∠APE=60°，PE=PA, .∠APO+∠OPE=60°. :∠OPE+∠EPC=∠CPO=60, .∠APO=∠EPC. :△OPC是等边三角形， .OP=CP, A 在△OPA和△CPE中， (PA=PE, E ∠APO=∠EPC, C OP=CP, 第12题答图 ∴.△OPA≌△CPE(SAS),∴.AO=CE, ∴.AC=CE十AE=AO十AP,故结论Ⅱ正确.故选C 13.8【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴.∠B=30° AC=2,.AB=2AC=4,.BB=2AB=8.故答案为8. 14.50°【解析】在等腰三角形ABC中，AB=AC,.∠ABC ∠C.DE垂直平分AB,.AD=BD,.∠A=∠ABD. ∠A+∠ABD+15°+∠C=180°， ∴.∠A+∠ABD+15°+∠ABD+15°=180°， .3∠A+30°=180°，∴∠A=50°.故答案为50°. 15.45°【解析】：∠BAC=90°，AB=22,AC=2W2, .∠ABC=45°，BC=√AB+AC=4. :BD=12,DC=4√10， .BD+BC2=144+16=160=DC, .△DBC是直角三角形，∠DBC=90°， 答案与解析 .∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°.故答案为45°， 16.7【解析】·△ABC是等边三角 A 形，∴.AC=BC,∠B=60°.作点M 关于直线CD的对称点G,连接 GC,过点G作GN⊥AB于点N,交 CD于点P,如图，此时MP+PN 的值最小. M G :∠B=60°，∠BNG=90°， 第16题答图 .∠G=30°. ,BN=5,.BG=2BN=10,∴.MG=BG-BM=10-4=6, .∴.CM=CG=3,.∴.AC=BC=BG-CG=10-3=7. 故答案为7. 17.【证明】：∠A=∠D=90°，BC=CB,AC=DB, .'.Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), .∠ACB=∠DBC,∴.OB=OC,∴.△OBC是等腰三角形. 18.【解】有错误.改正： 假设AC=BC,则∠A=∠B. 又因为∠C=90°，所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾， 所以AC=BC不成立，所以AC≠BC. 19.【证明】连接DE,如图. AD⊥BD,点E是AB的中 点，DE=名AB=AE .'DC=AE,∴.DC=DE, B D ∴.△DCE是等腰三角形. 第19题答图 ,G是CE的中点， .DGCE. 20.【解】(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等等边对等角等角对等边 (2)EB=AB=3.5,.∠E=∠EAB. :∠ABD是△ABE的一个外角， ∴.∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E. ∠ABD=2∠C,.∠E=∠C,∴.AE=AC .'AD BC,.'ED=DC=EB+BD=3.5+1=4.5, .DC的长为4.5. 21.【解】(1)受影响.理由：如图，过点 北 A作ACI BM,垂足为C, 在Rt△ABC中，由题意可知 ∠CBA=30,·AC=2AB= G E、 7×240=120(km. 西 B A 东 .120<150, 第21题答图 .A城会受到这次沙尘暴的影响. (2)设点E,F是以A为圆心、150km为半径的圆与MB的交 点，如图，连接AE,AF, 由题意得CE-√AE2-AC=√1502-120=90(km), .EF=2CE=2×90=180(km), ∴.A城受沙尘暴影响的时间为180÷12=15(h): 22.【解】(1)，BD=BC,∠DBC=60°， ∴.△DBC是等边三角形，∴.∠BDC=60°，BD=CD. (AB=AC, 在△ADB和△ADC中，AD=AD, DB-DC, .△ADB≌△ADC(SSS),∴.∠ADB=∠ADC, .∠ADC=∠ADB=2(360-∠BDC=150 (2)△ABE是等边三角形.证明如下： :∠ABE-∠DBC=6O°，.∠ABE-∠DBE=∠DBC-∠DBE, 即∠ABD=∠CBE. ∠ADB=∠ECB=150°， 在△ABD和△EBC中，{BD=BC, /ABD=∠EBC, ∴.△ABD≌△EBC(ASA),.AB=BE. :∠ABE=60°，.△ABE是等边三角形 (3)如图所示，连接DE, :△DBC是等边三角形， .∠DCB=∠BDC=6O°，BC=CD :∠BCE=150°，.∠DCE=90° .DE⊥BD,即∠EDB=90°， ∠BDC=60°，DE=4, ∴.∠EDC=30°， ·EC=2DE=2, B 第22题答图 ∴.CD=√DE-CE=2W3,.BC-CD=2√3 23.【解1小试牛刀】2a(a+0合(a-)合e 2a(a+b)= 2a-0+2c 【知识运用】250 分析：如图①，作点C关于AB的对称点F,连接DF交AB于点 P,连接PC,点P即所求；作DE⊥BC交BC的延长线于点E 在Rt△DEF中，.'DE=AB=200m,EF=AD+BC=80+70 =150(m),∴.DF=√DE+EF=√2002+150=250(m), 故该最短距离为250m. D E 15 E---- ---D tC 5 B F ① ② 第23题答图 【知识迁移】17. 分析：如图②，AB=15,AD=5,BC=3,BC⊥AB于点B,DA山 AB于点A,P为线段AB上一点，BP=x,作点C关于AB的 对称点F,连接DF,作DE⊥BC交BC的延长线于点E. 则当D,P,F三点共线时， DF的长就是代数式√2+9+√(15一x)2+25的最小值. :DF=√DE+EF=√152+(3+5)F=17, ∴.代数式√x+9+√(15-x)+25的最小值为17. 24.【解】(1)如图①，过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ABC中，由 勾股定理得AC2+BC2=AB2,即82+BC2=102,解得BC=6. :SAm=2AB·CD=7AC·BC, ÷10CD=8X6,CD=兽，点C到边AB的距离为 ⊙ ② 第24题答图 (2)连接BN,如图②. MN⊥AB,∴.∠BMN=90°，∴.∠BMN=∠ACB=90°. (BN=BN, 在Rt△BCN与Rt△BMN中， CN=MN, '.Rt△BCN≌Rt△BMN(HL), .BM=BC=6,.AM=AB-BM=10-6=4. 设MN=x,则AN=AC-CN=AC-MN=8-x. 在Rt△AMN中，AN2=MN2+AM2,即(8-x)2=x2+4, 解得x=3,即MN=3. (3)当AM的长为5或8或时，△ACM为等腰三角形. 分析：分三种情况讨论. ①当AM=CM时，△ACM为等腰三角形. :AM=CM,∴.∠ACM=∠A. :∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90°，∠BCM+∠ACM=90°， .'.∠B=∠BCM,∴.BM=CM, .AM=BM=号AB,.AM=5. ②当AM=AC=8时，△ACM为等腰三角形， ③当AC=CM=8时，△ACM为等腰三角形. 如图③，过点C作CD⊥AB于点D, 由可得cD华AD=√AC-CD= 5 CM-CA,..AM=2AD-64 5 综上所述，当AM的长为5或8或时，△ACM为等腰三角形. M B D 第24题答图③ 15.重难题型卷（五）等腰三角形与直角三角形 1.B【解析】分两种情况讨论：①当∠A为顶角时，顶角为50°； ②当∠A为底角时，顶角为180°-50°-50°=80°.故选B. 2.D【解析】分情况讨论：①如图①，当AB=AC时， AD⊥BC,.BD=CD. AD-7BC..AD=BD=CD. :.∠B=∠DAB=号∠CDA=45, .底角的度数为45°. D ① ② ③ 第2题答图 ②如图@，当AC=BC时，：AD-2BC,AD-之AC, 易知∠ACB=30°，∴.∠CAB=∠B=75°，.底角的度数为75°. ③如图③，当AB=BC时，：AD=2BC,AD=2AB, 易知∠ABD=30°，.∠BAC=∠BCA=15°， .底角的度数为15°. 综上所述，等腰△ABC底角的度数为15°或45或75°.故选D. 真题圈数学八年级上9G 3.D【解析】以A为圆心、AB长 C5/1 为半径画弧，交4,2于4个点； 以B为圆心，AB长为半径画弧 C、 交l1,2于2个点；再作AB的C 秀B 垂直平分线交l1,2于2个点. A Cs C. 共有8个点.故选D. /C. 4.7【解析】根据题意，得a一1= 第3题答图 0,b-3=0,∴.a=1,b=3. 分情况讨论：①当a=1是腰时，三边长分别为1,1,3,1+1<3， 不能组成三角形；②当b=3是腰时，三边长分别为3,3,1，能组 成三角形，等腰三角形的周长为3十3十1=7.故答案为7. 5.6或3√2【解析】.∠BAC=90°，AB=AC=6, ∴.BC=√AB2+AC=√62+6=6√2，∠B=∠C=45° 分情况讨论： ①如图①，△ADE是等腰三角形，且AD=DE,,'∠ADE= 45°，∴.∠BAD+∠ADB=180°-∠B=135°，∠CDE+∠ADB =180°-∠ADE=135°， ∴.∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB,.∠BAD=∠CDE. (∠B=∠C, 在△ABD和△DCE中，∠BAD=∠CDE, AD-DE, ∴.△ABD≌△DCE(AAS),∴.AB=DC=6. ②如图②，△ADE是等腰三角形，且AE=DE,则∠EAD= ∠ADE=45°，∴.∠BAD=∠CAD=45°. :AB=AC,AD平分∠BAC,.DC=DB=2BC=3E. ③：点D不与点B重合，.∠DAE<90,∴.180°-45° ∠AED90°，∴.∠AED>45°，∴.∠AED≠∠ADE,∴.不存在 △ADE是等腰三角形，且AD=AE的情况， 综上所述，DC的长为6或3√2.故答案为6或3√2 A ① ② 第5题答图 6.D【解析】：在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点， .AD⊥BC,.∠ADC=90°.∠B=∠C=30°，∴∠DAC= 90°-∠C=60°.故选D. 7.C【解析】∠ACB=90°，∠B=28°，.∠A=90°-28°=62°， :∠ACB=90,CD是R△ABC斜边上的中线，∴CD=号AB =AD,∴.∠ACD=∠A=62°.故选C. 8.C【解析】根据题意画出图形，如图①，AB=10,AC=2√10， AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得BD= √AB2-AD=8,CD=√AC-AD=2,此时BC=BD+ CD=8+2=10. B ① ② 第8题答图 如图②，AB=10,AC=2√J10,AD=6, 在Rt△ABD和Rt△ACD中，