第十五章 二次根式 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（冀教版·新教材）河北专版

14.70°【解析】，△ABC≌△A'B'C',∴.∠ABC-∠A'B'C :∠BAC-∠A'BC'=10°，.∠BAC-∠ABC=10, :∠C=50°，∴.∠BAC+∠ABC=180°-∠C=130°， 则/∠BAC-∠ABC-1O, ∠BAC=70°， ∠BAC+∠ABC-130,解得{∠ABC-60, .∠BAC=70°故答案为70°， 15.8-2【解析】当x=2时，2士1-a,即a=2X号牛- x 2 2； 当x=n时，2红十1-1，即2+1-1，解得n=一1，经检验，m -1是分式方程的解，当x=nm时，3x十1=b,即3n十1=b,∴.b -3×(-1D+1=-2故答案为号；-2. (AC=EC, 16.2或4【解析】在△ACB和△ECD中，3∠ACB=∠ECD, BC=DC, .△ACB≌△ECD(SAS),.∠A=∠E,ED=AB=8cm. 当线段PQ经过点C时，如图， 在△ACP和△ECQ中， P B (∠A=∠E, AC=EC, ∠ACP=∠ECQ, ∴.△ACP≌△ECQ(ASA), ∴.AP=EQ. 当点P沿A→B方向运动时， p AP=3t cm,DQ=t cm, 第16题答图 .EQ=ED-DQ=(8-t)cm,.3t=8-t,解得t=2; 当点P沿B→A方向运动时，AP=2AB一3t=(16一3t)cm DQ=tcm,∴.EQ=ED-DQ=(8-t)cm,∴.16-3t=8-t, 解得t=4. 综上可知，t的值为2或4，故答案为2或4. 1.【-爵-摄- (2:25r-36t-器解得x=士号 (3)√16+(-2)+√(-7)7=4+(-2)+7=9. 18【解1(x-2是)-叶. x+2 x-4 =一x-4. 解分式方程计3是-=0，得x=-6, 经检验，x=一6是原方程的根， 把x=一6代入，得原式=一（一6）一4=2. 19.【解】(1)：a十3的立方根是2，b-1的算术平方根为3， .a+3=8,b-1=9,解得a=5,b=10.c2=16,∴.c=±4. (2)若c0,则c=一4.a=5,b=10, ∴.3a-b+c=15-10-4=1,.3a-b+c的平方根是士1. 20.【解】(1)如图①，△ECB即所求. (2)如图②，△FAC即所求， (3)如图③，△DGH即所求（答案不唯一）. © 真题圈数学八年级上9G ⊙ 第20题答图 2L【架K1D第6个等式碧+1-号+0 (②猪起的第a个等式为千D十1高+D 证明如下： :左边-+1-D-2然+ 22 (n+1)2 (n+1)2, 右边9+D》+中D =2m2+2n+1 (n+1)2, 左边=右边， GDy n 1 22.【解】(1)√36<√37<√49，∴.可设√37=6+k(0<k1), .(√37)2=(6十)2，.37=36+12k十2， 3736+12,解得bV≈6+2≈608， (2)0c+2aa+6品a+名 ②≈7+景≈7.14 23.【解)(1)360-2z 3x 2依题意，得1802_36024-号解得z=60 3x 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意， 1+微0-1+青-子 3×60 答：汽车实际走完全程所用的时间为了人 (3)t>t2.理由：= 180x3,ls0X2-g0e士0h: a b ab 1,=360bb 有-。-90(a+D-360-90(a+b)2-360ab ab a+b ab(a+b) =90a2-180ab+90&_90(a-b)2 ab(a+b) ab(a+b)· a,b均为正数，且a≠b,.(a-b)2>0,ab(a十b)>0, ÷088>0,0aD-20,即6> ab 24.(1)【证明】：∠AOB=90°，∴.∠BOD+∠AOC=90°. :AC⊥直线L,BD⊥直线l,∴.∠ACO=∠ODB=90°， .∠BOD+∠B=90,.∠AOC=∠B. 又：OA=BO,.△AOC≌△OBD(AAS), ∴.AC=OD,OC=BD. (2)【解】PB=PN 分析：由旋转的性质得OM=ON,∠MON=∠PON=90°. :OC=BD,点M与点C重合，∴.ON=DB. :BD⊥直线L,∴.∠PDB=90°，∴.∠PON=∠PDB. 又：∠OPN=∠DPB, 答案与解析 .△PON≌△PDB(AAS),∴.PB=PN. (3)【解】PB=PN. 证明如下：过点N作NE」直线L于点E,如图①， A P D N 第24题答图① .∠OEN=90°，∠ENO+∠EON=90°. 由旋转的性质得OM=ON,∠MON=90°， ∴.∠COM+∠EON=90°，∴.∠COM=∠ENO. .AC⊥直线1，∴.∠MCO=∠OEN=90°， .△MOC≌△ONE(AAS),∴.OC=NE, 由(1)得OC=BD,.OC=NE=BD. 又.∠PEN=∠PDB=90°，∠EPN=∠DPB, .△PNE≌△PBD(AAS),∴.PB=PN. (4解】号 分析：过点N作NH⊥直线l于点H,如图②， A B H D 第24题答图② .∠OHN=90°，∴.∠HON+∠HNO=90°. 由旋转的性质得OM=ON,∠MON=90°， .∠MOC+∠CON=90°，..∠MOC=∠HNO. ,AC⊥直线l,.∠MCO=∠OHN=90°， ∴.△ONH≌△MOC(AAS),∴.NH=OC,SAONH=SAMOC, 由(1)得OC=BD,∴.OC=NH=BD. 又：∠NHP=∠BDP=90°，∠HPN=∠DPB, ∴.△PNH≌△PBD(AAS), ∴.NP=BP,SANH=SAPBD,∴.SAONP=S△oPB. SAONH SAMOC=,SAONP=SAOPB=y, .SANH=SAPBD=x十y,∴.SAAOC=SAOBD=x+2y, 5aw-e-Sae-2y3=式-号 9.第十五章学情调研 题号123456789101112 答案ACBCACBABDAA 1.A 2.C【解析A√合=号，不符合题意：BA=2,不符合题意！ C.√I0是最简二次根式，符合题意；D.√⑧=2√2，不符合题意. 故选C 3.B 4.C【解析】长=面积÷宽=√24÷√2=√12=23.故选C. 5.A 6.C【解析】由题图知a<0,a一b<0,∴.原式=-a-(b-a)= 一a-b十a=一b.故选C 7.B【獬析】：ab>0,a十b<0,∴.a<0,b<0.①a<0,b<0, “,6不能做被开方数，故①错误：②√？·√臣 √会·吾-1-1，故②正确：③v历÷√号=历√日 a =√ab·=F=-b,故③正确，故选B 8.A【解析】：√x-8与√8-x有意义，.x=8,.y=18,则W元 -√=√⑧-√18=2W2-3√2=-√2.故选A 9.B【解析】√75n=5√3n,∴.使√75n是整数的正整数n的 最小值是3.故选B. 10.A【解析】9÷3一√2=3-√2>1，(3-√2)×(3十√2)=9-2 =7.故选A 11.D【解析】：三个小正方形的面积分别为18,12,2， .三个小正方形的边长分别为√18=3√2，√J12=2√3w2. 由题图知，大正方形的边长为3√2+2√/3一√2=2√2+2√3， ∴.S室白=(2W2+2V3)2-(18+12-2)=8+12+8√6-(18+ 12-2)=8√6-8.故选D. 12.A【解析】设x=√6+33-√6-33，易知√6十33> √6-33，故x>0,则x2=(W6十33-√6-3√5)2 =6+3√5-2W√(6+3√3)(6-3√3)+6-3√3 =12-2√/36-27=12-2√9=12-6=6. x>0,.x=√6.故选A. 13.5【解析】由题意可知m一3=2，解得m=5.故答案为5. 14.>【解析】：(23)2=12，(3W2)2=18,∴.23<32， .-2W5>-3√2.故答案为> 15.65 5 【解析13※5=万×5+√停=+压 5 6压.故答案为5压 5 16.26【解析】由题图可知，第n行最后一个数为 √1+2+3十…+n=√D,则第6行最后一个数为 /7=√2I,第7行从左至右第3个数是V21+3=√2网 =2√6.故答案为2√6 1n.【懈11原式=V28-V√任=子 (2)原式=43+23-33=3√3. (3)原式=5-25+1+25=6. 18.【解】(1)① (2)原式=8-4W6+3+(23)2-1=22-4√6. 19.【解】a=√7+2，b=7-2, ∴.a十b=√7+2+7-2=2√7，a-b=(W7+2)-(W7-2)= 4,ab=(W7+2)×(W7-2)=7-4=3. (1)a2-2ab+b=(a-b)2=42=16. (2)a2-b=(a+b)(a-b)=2W7×4=8√7. (3)a6+a2b=ab(b+a)=3X2√7=6√7. 20.【解1(1)10Y3五103 分折，由题意得，圆形用扇的半径为√严-10(am,正 π 方形团扇的边长为√300=10W3(cm). (2)由(1)得圆形团扇的半径为10Y3示cm, 圆形团扇的周长为2x×10y3五=20√/3元(cm. 由(1)得正方形团扇的边长为103cm, ∴.正方形团扇的周长为10W3×4=403(cm). :40V3=20√12,3<π<4， .3π<12，.20√3元<20√12，即20√3π<40√3， ∴.圆形团扇所用的包边长度更短 21.【解11当“△处的数字是一号时， 5+1-23)-△(V2-3） =+1-43+12+号×(23-5) =13-3g+号×5y9-13. 3 (2)设▲=m, 则3+1-23)-m(厘-√)=8-33， -m(25-9）=8-35-8-13+45, m=-5,解得m- .-53 22.【解】(1)m2+3m22mn 分析：(m+n√3)2=m2+2mm√3+3n=a十b√3， .∴.a=m2十3n2,b=2mn. (2)由(1)得a=m+3m,4=2mn,∴.mn=2. ,m,n均为正整数，∴.m=2,n=1或m=1,n=2, 当m=2,n=1时，a=m2+3n2=22十3X12=7; 当m=1,n=2时，a=m2+3n2=12+3×22=13. 综上所述，a的值为7或13. 23.【解】1)由题意可知（≥0·解得a≤4,6≥0. 1b≥0， (2)①当a是正整数时，a可以取1,2,3,4，此时b的对应值为 √3W2,1,0.又√3b是有理数，b=√3或b=0. ②.√3b是有理数，.b是3的整数倍. 当a是整数时，b从小到大排列为0，√3,23,3√3，…，则排在 第3个位置的数为2√3，排在第11个位置的数为10√3， 由4-a=12,解得a=-8,由4-a=300,解得a=-296. 即将符合条件的α的值从大到小排列后，排在第3个位置和第 11个位置的数分别为-8，一296. 24.【解】(1)√13√7-√5（答案不唯一） (203=3×5=3压-西 √/1515×√/15 15 5 ②11 11×(25+3) 2√5-3(2√5-3)×(25+3) =1×(25+3)_11×(25+3》=25+3. 20-9 11 (3)2 2 2 2 十十 √5+15+√5√7+5 √2025+√2023 =√3-1+5-√3+√/7-√5+…+√2025-√2023 =√/2025-1=45-1=44. 10.重难题型卷（三）二次根式 1.A【解析】由题意得，x-1>0,解得x>1.故选A. 真题圈数学八年级上9G 2.D【解析】：a=√m-3,.a是一个非负数，且m-3≥0， .m≥3.b=93-m,3-m≤0，.b0.∴.a≥b.故选D. 3.2026【解析】：a-2026≥0，.a≥2026， ∴.2025-a<0,'.原式可化为a-2025+√a-2026=a, .√/a-2026=2025,∴.a-2026=20252, .a-20252=2026.故答案为2026. 4.【解】(1)根据题意，得a-√8=0，b-5=0,c-3√2=0， 解得a=2W2,b=5,c=3√2. (2)能.理由如下：：2√2+3√2=5√2>5,3√2-2√2=√2<5， .能构成三角形，三角形的周长=2√2+5+3√2=5√2+5. 5.A 6.A【解析】：2<x<3,.x-2>0,x-3<0,.√(x-2)2+ |x-3|=x-2+3-x=1.故选A. 7.B 8.A【解析】由题意得，2<a<4,则9一2a>0,3一2a<0,所以 19-2a-√9-12a+4a=9-2a-(2a-3)=9-2a-2a+3 =12-4a.故选A. 9.【解】1)20号3a-a (2)由题图知，a<0,b>0,a-b<0,.√匠-√厅+√a-b =|a-|bl+|a-b=-a-b-(a-b)=-2a. 10.B 11.B【解析】：3★2=√3-√2,8★12=√8+√12=2W2+2W3, .(3★2)×(8★12)=(W5-√2)×(2√2+2√3)=2×(W3- √2)×(W3+√2)=2X1=2.故选B. 12.6【獬析】√18-√2=3√2-√2=2/2，a=3,b=2,.ab =3×2=6.故答案为6. 18a14(21【解折11)：x2+后2-3，y-2+5, 1 .x-y=(2-3)-(2+√3)=-2W3, xy=(2-√3)×(2+√3)=4-3=1， ∴.x2+y=(x-y)2+2xy=(-2W3)2+2×1=12+2=14. (2)由(1)知x-y=-2W3,xy=1, ∴.(x-y)2-xy=(-23)2-1=12-1=11. 14【解11W8-√月=2E-景反-号 (2)(W5+3)(W5-3)-(W3-1)2=5-9-(3+1-23) =5-9-3-1+2w3=-8+23. 15.【解】(1)原式=45+3√5-2√2+4√2=75+2√2. (2②)原式=V83-2√号×30=4-2w6. (3)原式=1+√6-3-2=√6-4. 16.【解1(1号×2-8-2-22=2. (2)设口内的数字为x,可得2x一√12=√3， 移项，得2x=√3+√12， 合并同类项，得2x=33, 系数化为1，得x=3y5, 2, 所以口内的数字为兰。 (3)设☐内的数字为y,可得一√3×√5-y=一√， 移项，得-y=一√5+3×√15， 合并同类项，得-y=25,真题圈数学 同步调研卷 八年级上9G 抱 9.第十五章学情调研 蝴 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1.若√a为二次根式，则a为() A.正数和零 B.负数 C.只有零 D.全体实数 2.（期末·22-23石家庄四十中)下列选项中，属于最简二次根式的是( ) A B.√4 C.√10 D.√8 单 3.若√=一x,则x的值不能是( A.-√2 B.4 C.-2 D.0 4.(期中·22-23石家庄二十八中改编)已知一个长方形的面积是√24，宽是√2，则它的长是() A.32 B.√3 % C.2√3 D.43 5.（期中·24-25石家庄四十八中)下列计算中，正确的是( A.3√2×22=12 412 B49=3 C.√16=±4 D.√5-√3=√2 6.(期中·24-25石家庄四十四中)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简√a2一|a一b 的结果为( -106 第6题图 A.b B.-2a+6 0 H C.-6 D.2a-b 题)点 7.(期末·22-23邯郸南湖中学)如果ab>0,a十b<0,那么下列各式：①，√号 =la ③ab÷√ =一b.其中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 8.(月考·22-23保师附校)已知y=√x一8十√8一x十18，则代数式√元一√y的值为() A.-√2 B.-√3 C.√2 D.√3 9.（期中·23-24石家庄精英中学)若√75n是整数，则正整数n的最小值是( A.2 B.3 C.4 D.5 10.程序框图按如图所示的运算程序，若输入的数字为“9”，则输出的结果是( ×(3+N2) 输人+÷3-2 大于1 输出 ×(3-2) 否 第10题图 A.7 B.11-6√2 C.1 D.11-3√2 11.(期中·24-25石家庄四十八中)如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已 知两个小正方形的面积分别为S1=18,S2=12,重叠部分是一个正方形，其面积 为2，则空白部分的面积为( S A.6 B.16 C.8√6-16 D.8√/6-8 第11题图 12.方法探索（期中·22-23保定十七中）我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无 理数，如：对于√3十5-√3-√/5，设x=√3+√5-√3-√5，易知3十√5>√3-√5，故x>0,由 x2=(√3十√5-W3-√5)2=3+√5-2√(3+√5)(3-√5)+3一√5=2，解得x=√2，即W3+√5- √3-√5=√2.根据以上方法，化简√6十33√6-3√3后的结果为( ) A.√6 B.-12 C.-√6 D.-63 二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13.若最简二次根式2√m一3与√2可以合并，则m的值为 14.比较大小：-23 一32（填“>”或“<”）. 15.新定义试题规定a※6=a·6+√号，则3※5= 16.数学归纳（期末·22-23石家庄四十八中改编）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵 的排列规律，则第7行从左至右第3个数为 N 256 万22310 第16题图 29 三、解答题（本大题共8题，共72分） 17.(期中·23-24石家庄四十一中)(9分)计算：(1)√2÷√8. (②vs+2w5-9,√F. (3)(5-1)2+√20 18.(月考·23-24邢台三中)(6分)下面是小淇同学做的一道题： (2W2-√5)2+(2√3-1)(1+23) 解：原式=8-3+23+6-1+2√3 … ① =5+4√5十5… ② =10+4V3… …③ (1)上面的计算过程中开始出现错误的步骤是（填序号）. (2)请写出正确的计算过程. 19.(9分)已知a=√7+2，b=√7一2，求下列代数式的值. (1)a2-2ab+b2. (2)a2-b2. (3)ab+a2b. 20.传统文化（期末·24-25石家庄栾城区）(8分)团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如 意.某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300cm.为了提升 团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示. (1)圆形团扇的半径为 cm,正方形团扇的边长为 cm. (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短， 学子 拒绝盗印 第20题图 换 -30 21.9分》琪琪在解题计算w3+1-23)-▲(v厘-√ ”时，发现“▲”处的数字印刷不清楚 显 狗 (1)若“▲”处的数字是一号，请计算结果。 垣 抑 (2)若该题的答案是8一3√3.通过计算说明原题中“▲”是多少 海田 真题圈 精品图书 金星教育 围 22.思维探索(9分)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3十2√2=(1十√2)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a十b√2=(m十n√2)2（其中a,b,m,n均为正整数），∴.a十b√2=m2+2n2+2mn√2，∴.a= m2十2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a十b√2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a十b√3=(m十n3)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a= ,b= (2)若a十4√3=(m十n√3)2，且a,m,n均为正整数，求a的值. 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 31- 23.(期中·23-24石家庄四十八中)(10分)实数a与b满足b=√4一a. (1)写出a与b的取值范围. (2)已知W3b是有理数， ①当a是正整数时，求b的值； ②当a是整数时，若将符合条件的a的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置 的a的值， 直题圈 金星教管精品图书！ -3 24.方法探索(12分)【材料阅读】 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数 式互为有理化因式. 例如：w3×√3=3，（√6一√2）（√6+√2）=6一2=4，我们称3的一个有理化因式是3，w6一√2的一 个有理化因式是6十√2， 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使 分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化， 如店-号62g2 8(6+W2)=8(W6+②)=26+22. 4 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)√13的有理化因式为 ,W7十5的有理化因式为 .(均写出一个即可) (2)将下列各式分母有理化： ①3 (写出变形过程) √15 ②11 2√5-3 212 2 2 (3)化简：3+5+7+5 √/2025+√2023 关爱学子 拒绝盗印 2-