5.1 函数的概念与图象（讲义，知识点&11大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

第五章 函数概念与性质 5.1 函数的概念与图象 课标要点 1、理解函数的概念，能从集合与对应角度认识函数 2、掌握函数的三要素（定义域、对应法则、值域），会求简单函数的定义域 3、理解相等函数的含义（定义域与对应法则均相同） 4、了解函数图象的意义，会用描点法作简单函数的图象 学习重难点 重点：1.函数概念、三要素 2.求简单函数的定义域 难点：1.函数概念的理解与相等函数判断 2.描点法作图 知识点 函数的定义（重点） 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 特别提醒函数的四个特征 1）非空性：，必须为非空数集（注意，不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的 2）任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值 3）单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多） 4）方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系 随学随练 1．下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【分析】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应，逐个判断即可. 【详解】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图象都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 2．（多选）（25-26高一上·陕西安康·期中）下列选项中，为上的函数有（    ） A．为“乘以” B．为“对应元素为或” C．为“求倒数” D．为“求平方根” 【答案】AC 【分析】根据函数的定义进行判断选项. 【详解】对于任意实数，乘以2得到都是唯一确定的，所以A正确； 对于任意，对应到4或5均有可能，不是唯一确定的，所以B错误； 对于任意，求倒数得到都是唯一确定的，所以C正确； 对于任意，求平方根得到不是唯一确定的，所以D错误. 故选:AC. 3．（多选）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有（   ） A．   B． x 1 1 3 4 y 2 4 4 3 C． D．   【答案】AD 【分析】根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项． 【详解】对于A，满足函数的定义，故A正确； 对于B，由对应关系可知，不满足函数的定义，一个对应两个不同的的值，故B错误； 对于C，，一个对应两个不同的的值不满足函数的定义，故C错误； 对于D，由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确． 故选：AD． 知识点 函数的三要素（重点） 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range) 教材延伸 函数值域求法 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域； 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，解得且，即的定义域是. 2．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】且（或写成） 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】要使函数有意义，需同时满足两类定义域约束： 对于二次根式，被开方数需满足非负要求，即，解该不等式得； 对于分式，分母不能为0，即. 综合上述两个约束条件，可得自变量的取值范围为且. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据一次函数求解即可； （2）配方，结合函数图象求解即可. 【详解】（1）解：因为，所以，即函数的值域为. （2）解：， 因为，所以的图象如图所示， 所以，当时，函数取得最小值； 所以的值域为. 知识点 相等函数 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数 随学随练 1．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为R，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，B是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为R，C不是； 对于D，函数与的定义域均为R，而的值域为， 函数的值域为R，D不是. 故选：B 2．（多选）（25-26高一上·广西玉林·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据两个函数的定义域与对应关系是否相同进行判断. 【详解】选项A：两函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，两函数不是同一函数. 项C：由可知两函数是同一函数. 选项D：由，可知两函数对应关系不相同，不是同一函数. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各组函数是否是相等函数． (1)； (2)， . 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）根据函数定义域，对应关系是否一致判断即可. （2）根据函数定义域，对应关系是否一致判断即可. 【详解】（1）由题知的定义域均为，对应关系相同， 所以是相等函数． （2）∵的定义域为， 的定义域为或， 显然两个函数的定义域不同， ∴与不是相等函数． 知识点 函数图象（重点） 1．函数的图象 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点 当自变量取遍函数定义域的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为，所有这些点组成的图形就是函数的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 拓展 函数图象变换（难点） 1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④(，且)的图象(，且)的图象. 3、伸缩变换 ①. ②. 4、翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） 活学活用 1．（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域为，再由于原函数解析式可化为，故函数图象可以由通过平移而得到. 【详解】函数的定义域为，由于原函数解析式可化为，故函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图所示. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】利用描点法作出函数图象. 【详解】的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： 题型 函数关系判断（重点） 解题贴士 紧抓定义： 如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作 ▌例1 （25-26高一上·山西大同·期中）若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义逐项判断即可， 【详解】对于A，图象中不含，不符合函数的定义域，故错误； 对于B，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于C，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于D，符合函数的定义域和值域，正确， 故选：D ▌例2 （多选）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的定义，验证ABD选项，由函数表达得到定义域，判断C选项. 【详解】A选项，，，，A选项正确； B选项，，，，B选项正确； C选项，∵函数的定义域为，，C选项不正确； D选项，，，，D选项正确； 故选：ABD. ▌对点练1-1．（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B ▌对点练1-2．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）下列各图中，可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，可得答案． 【详解】因为函数图象要满足对于定义域内任意一个x都有唯一的y与其相对应， 因此可知A，B，C不符合，D符合． 故选：D． ▌对点练1-3．（25-26高二上·江西宜春·期中）以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（   ） A． x 1 2 3 4 y 1 2 1 2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一对选项进行分析即可. 【详解】对于A选项，运用的是列表法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 对于B选项，运用的是图象法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 对于选项C，时，，有两个与之对应，所以不是的函数； 对于D选项，运用的是解析法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 故选：C. 题型同一函数 解题贴士 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数。 ▌例1（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. ▌例2（多选）（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数相等的定义一一判断即可. 【详解】函数的定义域为， 函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 函数的定义域为，且， 两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B正确； 函数的定义域为，且， 两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故C正确； 函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故D错误. 故选：BC. ▌对点练2-1（多选）（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）下列各组函数中，表示同一函数的有（   ） A．与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】BD 【分析】根据函数的三要素逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且，函数的定义域为， 定义域相同且对应关系一致，所以是同一函数，故B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且， 函数与函数的定义域且对应关系一致，所以是同一函数，故D正确. 故选：BD. ▌对点练2-2（多选）（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）下列每组中的两个函数是相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】根据相同函数的定义进行判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项两个函数是相同函数，符合题意； B：由，所以本选项两个函数不是相同函数，不符合题意； C：因为本选项两个函数定义域、值域、对应关系相同，所以本选项两个函数是相同函数，符合题意； D：由， 由，或， 所以本选项两个函数不是相同函数，不符合题意， 故选：AC ▌对点练2-3（多选）（25-26高一上·贵州·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BD 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数定义域为R，函数定义域为， 它们的定义域不同，是不同函数，A不是； 对于B，函数与的定义域都是R，且对应法则相同，它们是同一函数，B是； 对于C，函数定义域为，定义域为R，它们的定义域不同，是不同函数，C不是； 对于D，函数与的定义域都是，且，它们是同一函数，D是. 故选：BD 题型 求函数值或已知函数值求参数 ▌例1（23-24高一上·北京海淀·期中）已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据表格列出关于等式并解出，代入求出即可. 【详解】由表知，，，解得， 所以， 所以. 故选：B ▌例2已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. ▌对点练3-1（2025高一上·吉林长春·专题练习）若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先计算，再将所得结果代入求值. 【详解】因，则，则. 故选：A ▌对点练3-2（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）已知函数，那么___________． 【答案】 【详解】因为，所以. ▌对点练3-3（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数，若则a的值为______． 【答案】-2或1 【分析】把a代入函数表达式解方程即可得出结果. 【详解】由，解得或者， 故答案为：-2或1. 题型具体函数的定义域（重点） 解题贴士 (1)分式型函数：分母不等于零 (2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0 (3)一次函数、二次函数的定义域均为 (4)的定义域是 ▌例1（25-26高一上·广西玉林·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为． ▌例2求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. ▌对点练4-1（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0，再解一元二次不等式即可. 【详解】要使有意义，只需，即， 解得或，所以函数的定义域为. 故选：C ▌对点练4-2（25-26高一上·北京·期末）函数定义域是______． 【答案】 【详解】令，解得， 令，， 综上可得，则定义域是. ▌对点练4-3（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】直接解即可求得答案. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为 故答案为： 题型 抽象函数的定义域（难点） 解题贴士 紧抓对于同一对应关系作用下，“（）”内整体取值范围相同； 定义域是指单独一个“”的取值范围 ▌例1（25-26高二下·河北沧州·期末）已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以由. 所以函数的定义域为. ▌例2（25-26高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】由题可得：,解得：， 所以函数的定义域是, 故选：B ▌对点练5-1（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由的定义域求出的定义域，再结合分母不为，即可得解. 【详解】由，得，所以的定义域为. 故选：A. ▌对点练5-2（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： ▌对点练5-3（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【分析】利用抽象函数的定义域的求法计算即可. 【详解】由得， 对于函数，需使，解得． 故答案为： 题型 已知函数定义域求参数（难点） ▌例1（25-26高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，则k的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意得到恒成立，通过即可求解. 【详解】由题意可知恒成立， 即， 解得：， 即k的取值范围为， 故答案为： ▌例2（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数_______实数b的取值范围_______． 【答案】 2 【分析】利用函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； ▌对点练6-1（24-25高一上·全国·课后作业）若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由函数特征得到不等式，得到，结合函数的定义域得到方程，求出. 【详解】由题得，解得， 函数的定义域为，故，. 故选：B ▌对点练6-2（25-26高一上·天津·期中）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围为______________ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立求解即得. 【详解】由函数的定义域为R，得， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为： ▌对点练6-3已知函数的定义域为，则实数的值为______，实数的值为______. 【答案】 3 【分析】先将问题转化为不等式在给定区间上恒大于或等于0，然后根据二次函数的性质并结合根与系数的关系列方程计算即可 【详解】由题意得不等式的解集为， ∴和是关于的方程的两个实根，且， 于是有解得 ∴实数的值为，实数的值为3. 故答案为：；3. 题型 一次函数，二次函数，反比例函数值域（重点） 解题贴士 结合图象求解 ▌例1（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数，，则此函数的值域为______． 【答案】 【分析】求出给定函数的值域. 【详解】由，且，则， 所以函数的值域为. 故答案为： ▌例2（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． ▌对点练7-1（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． ▌对点练7-2（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解； （2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为. （2）由函数，因为，可得， 所以函数的值域为． ▌对点练7-3求下列函数的值域． (1)； (2)； 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）利用函数的单调性可求出最值，可求得值域； （2）将函数式分离常数，结合反比例函数的值域可得解. 【详解】（1）解：由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，， 所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （2）解：由函数， 可得其定义域为，则，即， 所以函数的值域为且. 题型 根式型函数值域（重点） 解题贴士 换元法 如：函数，可以令，得到，函数 可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题， 求解过程中要注意t的取值范围的限制。 ▌例1（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D ▌例2（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）函数的值域为_______. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. ▌对点练8-1（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B ▌对点练8-2（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： ▌对点练8-3求函数的值域． 【答案】 【分析】根据换元法，结合二次函数即可求值域. 【详解】令，则， 所以， 故函数的值域为． 题型 分式型函数值域（重点） 解题贴士 分离常数法 模型一：将形如()的函数分离常数，变形过程为 ，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域 模型二：形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 模型三：形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ▌例1（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】根据给定的函数，利用不等式的性质求出值域. 【详解】函数，当时，，则， 因此，所以函数的值域为. 故答案为： ▌例2已知函数，则的值域为___________． 【答案】． 【分析】首先化简，再用基本不等式可得出的最小值，代入端点可得出最大值，从而得到值域. 【详解】， 即； ，； 当且仅当，即时，取最小值2； 又最大值应在两个区间端点的某一处取到， ；；． 所以．所以值域为． 故答案为: ▌对点练9-1函数的值域为______． 【答案】且. 【分析】由题意得，其中且，由此即可得解. 【详解】，其中且， 所以， 所以且， 所以函数的值域为且. 故答案为：且. ▌对点练9-2（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 【答案】5 【分析】构造基本不等式，利用基本不等式求得函数的最小值即可. 【详解】由题意得函数， 因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，且当时，函数取得最小值，最小值为. 故答案为：. ▌对点练9-3求函数的值域. 【答案】 【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 题型 根据函数值域求参数（难点） ▌例1（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【答案】AC 【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数. 【详解】因为，所以， 当时，有解， 当不是0时，，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC ▌例2（25-26高一上·重庆南岸·阶段检测）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【详解】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围是． ▌对点练10-1（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. ▌对点练10-2已知函数的值域为，求实数k的取值范围______． 【答案】 【分析】根据函数的值域为，可得是函数的值域的子集，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 所以是函数的值域的子集， 当时，，符合题意， 当时， 则，解得， 综上所述，. 故答案为：. ▌对点练10-3已知函数的最大值为4，最小值为—1，则=______________，=______________ 【答案】 【分析】函数转化为方程，利用方程有实数根，得，有，由题意可知，求的值. 【详解】函数变形为，即，显然时，方程可以成立，当时，，即，由题意可知， 得，，解得：，. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查利用判别式法求函数的值域，利用，转化为关于的一元二次不等式，求的取值范围. 题型 函数图象（重点） 解题贴士 (1)描点法作图 (2)图象变换法 ▌例1（多选）（25-26高二上·江苏常州·期中）直线（为实数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据直线的图象特征，根据的不同取值，判断选项. 【详解】直线（为实数）过点，故排除D， 当时，为A选项的图象，当时，为B选项的图象，当为C选项的图象. 故选：ABC ▌例2（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象． (1)； 【答案】(1) 【分析】（1）由二次函数图象，根据函数图象的翻折变换，可得答案； 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示： ▌对点练11-1（多选）（25-26高一上·甘肃白银·期中）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数图象平移的规则进行判断即可. 【详解】对于A，因为函数的图象无法通过平移后得到函数的图象，故A错误； 对于B，因为将函数的图象向右平移一个单位， 可得函数的图象，故B正确； 对于C，因为将函数的图象向上平移一个单位， 可得函数的图象，故C正确； 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：BCD. ▌对点练11-2（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数的图象． 【答案】 【分析】将函数变形为，再结合函数进行图象变换可得所求函数图象. 【详解】因，先作出的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图像，如图. ▌对点练11-3作出函数的图象. 【答案】 【分析】先作的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图象. 【详解】先作函数的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图象，如下图所示： 基础通关 1．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）下列各图中，一定不是函数图象的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的概念逐项判断即可. 【详解】四个选项中，只有B选项存在一个对应两个，不符合函数概念， 即不符合每一个自变量的值都有唯一的值与它对应，所以B的图象一定不是函数图象. 故选：B. 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式有意义和分母不为0求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：A. 4．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 5．（25-26高一上·安徽黄山·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域可知，解出的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】因为函数的定义域为，函数， 所以，解得：或, 所以函数的定义域为， 故选：D 6．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若函数，，则（    ） A． B．9 C．4 D． 【答案】D 【分析】代值计算即可. 【详解】由题可得：，则. 故选：D 7．（多选）（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的定义结合图像逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，A正确； 对于B，，2 在中找不到元素与之对应，不符合函数的定义，B错误； 对于C，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，C正确； 对于D，中有的元素在中对应两个值，不符合函数的定义，D错误； 故选：AC. 8．（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段检测）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 9．（25-26高一上·新疆·期中）函数的值域是__________. 【答案】 【分析】利用配方法可得出所求二次函数的值域. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域是. 故答案为：. 10．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 素养提升 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 2．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·四川泸州·期中）定义：表示不小于x的最小整数，如：，，当时，则______；当，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据可得，再结合定义计算可得结果；将转化为，分类讨论可知当时有符合题意的解集，由此可得结果. 【详解】当时，则； 由得：，即， 当时，，则（舍）； 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：（舍）； 依次类推可知，当时，不成立， 综上所述：，即的取值范围为. 故答案为：；. 5．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是化简函数解析式后，得到，，由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解. 迁移创新 1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】求出两个函数的值域，再利用集合之间的包含关系求参. 【详解】在上的值域为， 在上的值域为， 由题意得，，则，得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 2．表示不超过的最大整数，例如，，则函数的最小值为______，最大值为______. 【答案】 1 4 【分析】分离常数后求得，再求的值域，从而得函数的最值. 【详解】∵，又，故， 则， 函数的最小值为1，最大值为4. 故答案为：； 3．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，为的限定值. (1)若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值. (2)若函数，判断是否是受限函数.若是，求出的限定值的最小值；若不是，请说明理由. (3)若函数在上是限定值为11的受限函数，求的取值范围. 【答案】(1)7 (2)是，7 (3). 【分析】（1）求得函数值域，结合新定义构造不等式即可求解； （2）求得函数值域，即可判断； （3）由题意得到在上恒成立，通过参变分离，基本不等式求最值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 因为在上是限定值为8的受限函数，所以， 解得，则的最大值为7. （2）由题意可得，解得. 当时，，所以， 所以，即， 所以是上的受限函数，且的限定值满足， 故的限定值的最小值为7. （3）因为在上是限定值为11的受限函数，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以，即的取值范围为. 4．（23-24高一上·江苏·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：． (1)已知，分别求两方程的解集； (2)设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据高斯函数的定义求解； （2）根据高斯函数的定义求得集合，从而得出集合的可能情形，根据集合的情形求解． 【详解】（1）由题意，则，， ，则，即； （2），则，，∴， ， （时）或（时）， ，则，解得，即的范围是． 5．（23-24高一上·辽宁大连·阶段检测）设函数在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的稳定点． (1)求函数的稳定点； (2)若函数有两个关于原点对称的稳定点A，B，求a的值及函数的稳定点； (3)已知函数，．若，函数恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)；，， (3) 【分析】（1）根据定义直接列出方程求解； （2）根据题意知方程有两个互为相反数的根，由根与系数关系求解即可； （3）根据题意，方程恒有两个不相等实数根，利用判别式恒成立求解即可. 【详解】（1）由题意可知，得，故函数的稳定点为 （2）设点是稳定点，则有即， 由题意知方程有两个根，且这两个根互为相反数．故，且， 解得． 得，则稳定点为， （3）对任意实数b，函数恒有两个相异的稳定点， 即恒有两个不相等实数根， 即有两不等实数根， 恒成立， 令，视作关于b的不等式恒成立， 所以，解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 函数概念与性质 5.1 函数的概念与图象 课标要点 1、理解函数的概念，能从集合与对应角度认识函数 2、掌握函数的三要素（定义域、对应法则、值域），会求简单函数的定义域 3、理解相等函数的含义（定义域与对应法则均相同） 4、了解函数图象的意义，会用描点法作简单函数的图象 学习重难点 重点：1.函数概念、三要素 2.求简单函数的定义域 难点：1.函数概念的理解与相等函数判断 2.描点法作图 知识点 函数的定义（重点） 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 特别提醒函数的四个特征 1）非空性：，必须为非空数集（注意，不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的 2）任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值 3）单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多） 4）方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系 随学随练 1．下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    2．（多选）（25-26高一上·陕西安康·期中）下列选项中，为上的函数有（    ） A．为“乘以” B．为“对应元素为或” C．为“求倒数” D．为“求平方根” 3．（多选）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有（   ） A．   B． x 1 1 3 4 y 2 4 4 3 C． D．   知识点 函数的三要素（重点） 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range) 教材延伸 函数值域求法 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域； 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）函数的自变量x的取值范围是______． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)． 知识点 相等函数 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数 随学随练 1．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（多选）（25-26高一上·广西玉林·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各组函数是否是相等函数． (1)； (2)， . 知识点 函数图象（重点） 1．函数的图象 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点 当自变量取遍函数定义域的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为，所有这些点组成的图形就是函数的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 拓展 函数图象变换（难点） 1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④(，且)的图象(，且)的图象. 3、伸缩变换 ①. ②. 4、翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） 活学活用 1．（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 题型 函数关系判断（重点） 解题贴士 紧抓定义： 如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作 ▌例1 （25-26高一上·山西大同·期中）若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（   ） A． B． C． D． ▌例2 （多选）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   ▌对点练1-2．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）下列各图中，可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高二上·江西宜春·期中）以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（   ） A． x 1 2 3 4 y 1 2 1 2 B． C． D． 题型同一函数 解题贴士 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数。 ▌例1（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． ▌例2（多选）（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-1（多选）（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）下列各组函数中，表示同一函数的有（   ） A．与 B． 与 C． 与 D． 与 ▌对点练2-2（多选）（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）下列每组中的两个函数是相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练2-3（多选）（25-26高一上·贵州·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型 求函数值或已知函数值求参数 ▌例1（23-24高一上·北京海淀·期中）已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， ▌例2已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． ▌对点练3-1（2025高一上·吉林长春·专题练习）若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练3-2（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）已知函数，那么___________． ▌对点练3-3（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数，若则a的值为___ 题型具体函数的定义域（重点） 解题贴士 (1)分式型函数：分母不等于零 (2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0 (3)一次函数、二次函数的定义域均为 (4)的定义域是 ▌例1（25-26高一上·广西玉林·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． ▌例2求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； ▌对点练4-1（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） ▌对点练4-2（25-26高一上·北京·期末）函数定义域是______． ▌对点练4-3（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域为______． 题型 抽象函数的定义域（难点） 解题贴士 紧抓对于同一对应关系作用下，“（）”内整体取值范围相同； 定义域是指单独一个“”的取值范围 ▌例1（25-26高二下·河北沧州·期末）已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____． ▌对点练5-3（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 题型 已知函数定义域求参数（难点） ▌例1（25-26高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，则k的取值范围为__________. ▌例2（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数_______实数b的取值范围_______． ▌对点练6-1（24-25高一上·全国·课后作业）若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练6-2（25-26高一上·天津·期中）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围为______________ ▌对点练6-3已知函数的定义域为，则实数的值为______，实数的值为______. 题型 一次函数，二次函数，反比例函数值域（重点） 解题贴士 结合图象求解 ▌例1（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数，，则此函数的值域为______． ▌例2（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． ▌对点练7-1（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． ▌对点练7-2（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． ▌对点练7-3求下列函数的值域． (1)； (2)； 题型 根式型函数值域（重点） 解题贴士 换元法 如：函数，可以令，得到，函数 可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题， 求解过程中要注意t的取值范围的限制。 ▌例1（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）函数的值域为_______. ▌对点练8-1（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． ▌对点练8-2（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. ▌对点练8-3求函数的值域． 题型 分式型函数值域（重点） 解题贴士 分离常数法 模型一：将形如()的函数分离常数，变形过程为 ，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域 模型二：形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 模型三：形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ▌例1（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数的值域为___________． ▌例2已知函数，则的值域为___________． ▌对点练9-1函数的值域为______． ▌对点练9-2（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的最小值为________ ▌对点练9-3求函数的值域. 题型 根据函数值域求参数（难点） ▌例1（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． ▌例2（25-26高一上·重庆南岸·阶段检测）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． ▌对点练10-1（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练10-2已知函数的值域为，求实数k的取值范围______． ▌对点练10-3已知函数的最大值为4，最小值为—1，则=______________，=______________ 题型 函数图象（重点） 解题贴士 (1)描点法作图 (2)图象变换法 ▌例1（多选）（25-26高二上·江苏常州·期中）直线（为实数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象． (1)； ▌对点练11-1（多选）（25-26高一上·甘肃白银·期中）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． ▌对点练11-2（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数的图象． ▌对点练11-3作出函数的图象. 基础通关 1．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）下列各图中，一定不是函数图象的是（    ） A．  B．  C．   D．   2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽黄山·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若函数，，则（    ） A． B．9 C．4 D． 7．（多选）（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段检测）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·新疆·期中）函数的值域是__________. 10．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 素养提升 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 4．（25-26高一上·四川泸州·期中）定义：表示不小于x的最小整数，如：，，当时，则______；当，则x的取值范围是______． 5．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是______． 迁移创新 1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 2．表示不超过的最大整数，例如，，则函数的最小值为______，最大值为______. 3．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，为的限定值. (1)若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值. (2)若函数，判断是否是受限函数.若是，求出的限定值的最小值；若不是，请说明理由. (3)若函数在上是限定值为11的受限函数，求的取值范围. 4．（23-24高一上·江苏·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：． (1)已知，分别求两方程的解集； (2)设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围． 5．（23-24高一上·辽宁大连·阶段检测）设函数在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的稳定点． (1)求函数的稳定点； (2)若函数有两个关于原点对称的稳定点A，B，求a的值及函数的稳定点； (3)已知函数，．若，函数恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $