专题5.2 函数的表示方法重难点题型讲义（2个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

本讲义聚焦函数的表示方法及解析式求法核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示形式，以及配凑法、待定系数法等解析式求法，搭建从函数概念到性质应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以14大题型分层设计，结合出租车计费等情境例题，通过多样题型培养数学思维，情境问题提升数学眼光，课中例题辅助教学，课后拓展训练与自我检测助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题5.2 函数的表示方法重难点题型专训 （2个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 解析法表示函数 题型二 图象法表示函数 题型三 已知函数类型求解析式 题型四 已知f(g(x))求解析式 题型五 求抽象函数的解析式 题型六 求解析式中的参数值 题型七 函数方程组法求解析式 题型八 求分段函数解析式或求函数的值 题型九 分段函数的值域或最值 题型十 根据分段函数的单调性求参数 题型十一 分段函数的性质及应用 题型十二 已知分段函数的值求参数或自变量 题型十三 解分段函数不等式 题型十四 分段函数的单调性 拓展训练一 求函数解析式 拓展训练二 分段函数相关求解 知识点一： 函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 【即时训练】 1．（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【详解】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔 s时，y＝1会重复出现1次. 【答案】2 【分析】根据图象即可求解. 【详解】由图象可知：，所以至少隔2时，会重复出现1次， 故答案为：2. 知识点二： 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【即时训练】 1．（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求函数解析式，注意变量的取值范围. 【详解】令，则，可得， 所以. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题设，进行赋值即可求解. 【详解】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 故答案为：. 【经典例题一 解析法表示函数】 【例1】（25-26高一上·福建厦门·月考）设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，；，；，，找到规律，得到答案. 【详解】，，故， 所以，， 所以，， ……， ，. 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 【答案】(1) (2)18.5元． 【分析】（1）根据已知条件求得函数的解析式. （2）根据（1）的结论求得所付金额. 【详解】（1）由题得，当时，； 当时，，因此票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式为 （2）当时，，故需支付18.5元． 1．（24-25高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·福建厦门·期末）已知函数，则和满足（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】直接代入计算即可判断A；判断的单调性，可得成立,计算的值可判断B；分别计算以及可判断C；直接计算可判断D. 【详解】解:选项A:.故A正确; 选项B:为增函数，则成立， ，故B正确; 选项C: ，故C正确; 选项D:,故D错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为，满足，且当时，．则当时， ． 【答案】 【详解】当时，，此时．又，所以，故． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数,（）. (1)分别计算， 的值. (2)由（1）你发现了什么结论?并加以证明. (3)利用（2）中的结论计算的值. 【答案】(1)，. (2)结论，证明见解析. (3). 【分析】（1）根据函数解析式，代入求值即得答案； （2）根据（1）的结果可得结论，并利用函数解析式进行证明即可； （3）求出，根据（2）的结论，分组求和，可得答案. 【详解】（1）由题意得， . （2）由（1），得结论. 证明如下: . （3）由，可得， 故 . 【经典例题二 图象法表示函数】 【例1】（25-26高一上·四川成都·期中）下列平面直角坐标系中图象，可以表示函数图象的是（     ） A．   B．  C．   D．   【答案】D 【分析】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于ABC选项中的图象，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， D选项，符合函数的定义. 故选：D 【例2】（24-25高一·全国·课堂例题）试画出下列函数的图象： (1)； (2)，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据直线的性质进行画图即可； （2）根据二次函数的性质进行画图即可. 【详解】（1）因为一次函数的图象是直线， 所以取特殊点即可；        （2）因为二次函数是抛物线，当时，函数单调递增， 所以取特殊点连线即可，其中是空心点.    1．（25-26高一上·山东烟台·期中）如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据下降的快慢，判断选项. 【详解】因为水的流速一样，所以相同时间内流出水的体积一样， 因为容器的特征是上下细，中间粗，使得关于的变化是:下降由快到慢，再变快，只有C选项符合. 故选：C 2．（多选题）（24-25高一上·江苏南京·期中）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（    ） A．点到点只打开了两个进水口 B．点到点三个水口都打开 C．点到点只打开了一个出水口 D．点到点至少打开了一个进水口 【答案】ABD 【分析】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为，再分析丙图中点到点、点到点、点到点的蓄水量的变化可得进水口和出水口的打开情况，即可得正确选项. 【详解】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为， 对于A：由丙图知：点到点蓄水量增加，所以只打开了两个进水口，只进水不出水，故选项A正确； 对于B：点到点蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，故选项B正确； 对于C：点到点蓄水量减少，说明每个小时减少，所以打开了一个进水口和一个出水口，故选项C不正确； 对于D：由选项ABC的分析可知，点到点至少打开了一个进水口，故选项D正确； 故选：ABD. 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是 ；图③的建议是 . 【答案】 增加票价，运营成本不变 票价不变，降低运营成本 【解析】由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y轴上的截距的相反数表示运营成本，根据图②③中的斜率截距变化即可得出. 【详解】由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y轴上的截距的相反数表示运营成本， 图②中，直线的斜率增加，在y轴上的截距不变，即表示增加票价，运营成本不变， 图③中，直线斜率不变，直线的截距增加，即表示票价不变，降低运营成本. 故答案为：增加票价，运营成本不变；票价不变，降低运营成本. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象： (1)（）； (2)，． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）（2）利用给定条件描点作图即可. 【详解】（1） 因为，所以图象为直线上的孤立点，其图象如图所示． （2） ， 当或时，； 当时，，其图象如图所示． 【经典例题三 已知函数类型求解析式】 【例1】（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 【例2】（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）已知，. (1)求，的值； (2)求的值； (3)求的解析式. 【答案】(1)1；5 (2) (3)， 【分析】（1）代入求函数值； （2）将代入的解析式计算即可； （3）将代入的解析式可得. 【详解】（1）， 所以， （2）由（1）知，所以 （3）因为，， 所以， 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据和关于的方程只有一解，可求的值. 【详解】由； 又或, 因为关于的方程只有一解， 当为方程的唯一解时，，或方程无解，得； 当不为方程的解时，， 此时，满足题意； 所以或或. 故选：C 2．（多选题）（24-25高一上·江苏扬州·期中）一次函数满足：，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据待定系数法，设出，可得，再根据对应项系数相等即可求出． 【详解】设，则，所以 ，解得或，即或． 故选：AD． 3．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高一上·湖南·期中）（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入计算得解； （2）由是一次函数，设，代入已知等式计算得解. 【详解】（1）令，得，解得. （2）因为是一次函数，所以设， 由，可得， 化简可得， 所以解得，，故. 【经典例题四 已知f(g(x))求解析式】 【例1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 【例2】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【答案】（1） （2） 【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式. （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式. 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】代入求解，即可求解. 【详解】，，，     所以，，BD正确，AC错误， 故选：BD 3．（25-26高一上·湖北黄冈·月考）已知，则 【答案】 【分析】利用换元法求解析式即可． 【详解】令，则， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 4．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是二次函数，且满足． (2)已知． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由可求得的值，由可得出关于的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）设，代入化简可得函数的解析式； 【详解】（1）设，因为，所以， 因为， 又，所以，解得， 所以； （2）令，则，， 代入有， 所以. 【经典例题五 求抽象函数的解析式】 【例1】（24-25高一·浙江杭州·期末）已知函数是R上的单调函数，且对任意实数，都有成立，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】采用换元法可构造方程，进而求得解析式，代入即可得到结果. 【详解】由是上的单调函数，可设，则恒成立， 由得：，，解得：， ，. 故选：. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）若的定义域是正整数集，，且，求的解析式． 【答案】， 【分析】由题意，分别令，，…，，然后由累加法求解． 【详解】由题意，且①， 分别令①式中的，，…，， 得，，…，， 将上述各式相加得， 则， 所以，． 1．（24-25高三上·山东·月考）设为常数，，，则（    ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 【答案】D 【分析】利用赋值法逐一对各选项进行验证. 【详解】令，可得， 因为，所以，故选项A不正确； 令，得， 代入，得， 原等式变形为，故选项B不正确； 在中， 令，得，即函数取值非负， 令，得，所以， 即恒成立，满足条件的只有一个， 故选项D正确，C不正确. 故选:D. 2．（多选题）（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC． 3．（25-26高一上·重庆·月考）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 . 【答案】 【分析】通过赋值，得到，再令，得到，通过累加即可求解. 【详解】令， 可得：，又， 所以， 令，得， 所以，， 由， 令， 则， 两式相加可得： 所以， 当时，满足； 所以， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 【答案】 【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可. 【详解】令代入条件得出，∴． 令代入条件得出， ∴． 再令，则有， 而用代入条件中得，       ① ①中与条件相加得 ． ∵， ． ∴， 于是． 令，有， ∴，∴或． 当时，，∴． ∵，∴， ∴，即为所求． 【经典例题六 求解析式中的参数值】 【例1】（24-25高一上·河北张家口·期中）如图所示为函数的图象，则（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、特殊点的函数值求得，进而求得. 【详解】由图可知，的定义域为， 且经过点，而，解得，所以， 所以，解得，所以. 故选：C 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知为常数，若，求的值． 【答案】2 【分析】由化简，然后利用多项式相等的条件列方程组可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，解得或， 所以，或， 所以的值为2. 1．（2025·陕西商洛·一模）若函数满足：，且，则（    ） A．2953 B．2956 C．2957 D．2960 【答案】A 【分析】法一：利用特殊函数法与待定系数法，求得满足题意的一个函数，代入即可得解. 法二：利用赋值法，得到与，进而利用换元法与作差法得到，由此得解. 【详解】法一： 取，易验证满足． 由，得，解得， 故． 法二： 因为， 令，则，； 令，则，； 两式相减得， 由的任意性，令，得， 所以． 故选：A. 2．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 3．（24-25高三上·上海·月考）已知函数满足：①对任意恒有成立；②时，；若，则满足条件的最小的正实数是 . 【答案】40 【分析】取 则 ，从而 根据 进行化简，即可求出的取值范围． 【详解】取则，从而 ，其中 ， 设 则 所以，即 ∴满足条件的最小的正实数是40． 故答案为：40. 4．（24-25高一上·河北·月考）已知二次函数的解为. (1)求； (2)证明：也是方程的解，并求的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据，代入证明即可，展开解方程即可. 【详解】（1）因为的解为，则，解得. （2）由（1）可知：，且， 则， 即也是方程的解， 对于，即， 整理得：，解得， 所以的解集为. 【经典例题七 函数方程组法求解析式】 【例1】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程组法求解出的解析式. 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知，其中，为奇数，求的解析式． 【答案】 【分析】令，以替换得，与联立消去,进而求解即可 【详解】令，则， 于是有得， 即． 1．（25-26高一上·河北沧州·月考）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·江西南昌·期中）若函数满足关系式，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用换元构造方程组求函数解析式，进而判断各项正误. 【详解】将代换，则，又， 所以，故，，A对，C错； ，即，B对； 根据已知关系，显然，D对. 故选：ABD 3．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】将式子中的所有换成，即可得到与的方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以， 即，解得. 故答案为： 4．（25-26高一上·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 【答案】（1）（2）；（3） 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用配凑法求出解析式. （3）根据给定条件，利用方程组法求出解析式. 【详解】（1）令，则。 代入已知等式可得， ， 所以. （2）依题意，，又的值域为， 所以. （3）由，得， 两式联立消去得，解得， 所以的解析式为. 【经典例题八 求分段函数解析式或求函数的值】 【例1】（25-26高一上·四川资阳·期中）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用分段函数求解函数值. 【详解】因为函数，则. 故选：A. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y.求y关于函数关系式，并指出相应的定义域； 【答案】 【分析】分、及讨论计算的面积即可得. 【详解】当时，点P在边BC上，， 当时，点P在边CD上，， 当时，点P在边DA上，， 即. 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则等于（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】应用分段函数计算函数值即可. 【详解】因为函数， 则. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当时，；当时，，所以即，A错误，C正确；则，B正确，D错误． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则 ， ． 【答案】 【分析】分情况写出函数解析式，然后求得.讨论的范围，由函数解析式，求得. 【详解】过作轴交轴于，过作轴交轴于， ∴，即，∴. ①当时，如图，， ②当时，如图，， ③当时，如图，， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴， 故答案为：， 4．（25-26高一上·海南·期中）已知函数，.    (1)在图1同一坐标系中画出函数，的图象： (2)，用表示，中的最小者，记作，分别用图象法（图2）和解析法表示函数. 【答案】(1)图象见解析 (2)，图象见解析； 【分析】（1）根据解析式直接作出图像即可； （2）根据的定义可得解析式和图象. 【详解】（1）图象如下图所示，    （2）令，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，；当时，；当时，； ； 图象法表示如下：    【经典例题九 分段函数的值域或最值】 【例1】（24-25高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，再作出其图象求解. 【详解】解：由题意得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数y的值域为， 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】． 【分析】法1，分段去绝对值求出函数的值域.法2，利用绝对值的三角不等式求出值域. 【详解】法1：函数的定义域为R， 当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 法2：，当且仅当时取等号， 因此， 所以函数的值域为. 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，，则（   ） A．的最小值为，最大值为2 B．的最小值为2，无最大值 C．的最小值为，无最大值 D．的最小值为，最大值为2 【答案】C 【分析】先求出，再画出的图象，结合图象研究的最大值和最小值. 【详解】，， 当时，，解得或，， 当时，，解得，， ， 的图象为：    从图像可知，当时，取最小值为，无最大值. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高一上·山东临沂·月考）已知，且，则的最值情况是（    ） A．无最大值 B．有最小值 C．无最小值 D．有最大值 【答案】AC 【分析】依题意将写成分段函数形式，分别画出两函数在同一坐标系下的图象，并结合图象即可得出结论. 【详解】由 ，得：； 由 ，得：或； 所以，作出函数图像，如图，    由图可知函数无最小值，无最大值， 故选：AC. 3．（25-26高一上·陕西延安·期中）若函数的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分段函数的值域并集来得到函数值域为，从而分析参数的取值范围即可. 【详解】由在的值域为， 则当，结合二次函数开口向上可得，的值域显然不为. 当，设，， 要使函数的值域为，则在上的值域必须覆盖，即其上确界不小于2， 二次函数的对称轴为。 若对称轴（即），则在上单调递减， 其值域为，需满足，即，与矛盾， 若对称轴（即），则在上的最大值为， 需满足，解得。， 结合和，可得， 综上，的取值范围为， 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，四边形是平行四边形，，，动直线从轴起向右平行移动，分别交平行四边形于不同的两点． 求的面积，并观察最大值时的位置特点． 【答案】，就是直线 【分析】由直线所处位置不同，分段求得的面积的解析式，从而得解. 【详解】依题意，当时，，∴； 当时，． 所以， 当时，； 当时，； 所以时，取到最大值，这时就是直线． 【经典例题十 根据分段函数的单调性求参数】 【例1】（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性建立不等式组进行求解即可． 【详解】由分段函数的单调性可得 解得， 故选：C． 【例2】（24-25高一·全国·课前预习）已知函数是上的增函数，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数是上的增函数. 函数在上为增函数，则，可得， 函数在上为增函数，则， 且有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）若函数是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性的性质得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【详解】由题意， 解得. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值不可以为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】CD 【解析】根据题意，讨论时，是二次函数，在对称轴对称轴左侧单调递减，时，是反比例函数，在时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满足条件的的取值范围． 【详解】解：由函数在区间上是减函数， 当时，，二次函数的对称轴为， 在对称轴左侧单调递减， ，解得； 当时，， 在时单调递减； 又， 即； 综上，的取值范围是， 则整数的取值不可以为或； 故选：C D. 【点睛】思路点睛：利用分段函数的单调性求参数的问题. 解决分段函数的单调性问题，先在各自的区间内利用单调性求参数的范围，再利用上，下段端点值的大小关系. 3．（25-26高一上·四川内江·月考）已知，若且，都有，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】求出时的范围，分、、求出的值域，结合题意分析即可. 【详解】易知在上单调递减，且， 当时，的值域为，不满足题意； 当时，的值域为，不满足题意； 当时，的值域为， 要使且，都有，则， 所以，解得， 又，所以，所以的最大值为. 故答案为： 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数， (1)求函数的解析式； (2)若函数在R上单调，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法求解析式； （2）分析每段函数的单调性，根据的取值分类讨论可得． 【详解】（1）令，则， 当时，，； 当时， ，， 则， 故； （2）当时，，因时，函数为常函数， 故在R上不单调，不合题意； 当时，若，为增函数， 若，的对称轴为直线， 要使函数在R上单调，需使，解得； 当时，若，为减函数， 若，的对称轴为直线， 要使函数在R上单调，需使，解得. 综上，的取值范围为． 【经典例题十一 分段函数的性质及应用】 【例1】（25-26高一上·河南郑州·月考）若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合一次函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，则； 当时，，则， 所以函数的值域为. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·重庆·月考）某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量． 【答案】（1）；（2）320千瓦时． 【分析】（1）根据题意求得y关于x的函数关系式. （2）根据y关于x的函数关系式，求得该户居民该月的用电量. 【详解】（1）由题意得 （2）当时，， 当时，， 当时，. 因为，所以， 则，解得． 即该户居民该月的用电量为320千瓦时． 1．（25-26高一上·黑龙江·期中）定义符号函数，设，，若，，且有两个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，，求得，作出其图象，再利用数形结合法求解. 【详解】①当时，，， ，且在上是减函数，； ②当时，，则， ，，，； ③当时，，， ，且在上是增函数，， 如图所示： 综上，若有两个不同的实数解，则. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数则下列说法中，正确的有（    ） A．若，则方程有实数根 B．若，则方程有2个实数根 C．若方程有3个不同实数根，则 D．若方程有4个不同实数根，则 【答案】ACD 【分析】根据一次函数、指数函数的图象与性质判断各个选项； 【详解】函数大致图象如图所示， 对于A，可知时，有实数根，选项A正确； 对于B，若，则有1个实数根，选项B错误； 对于C，若有3个不同实数根，则，选项C正确； 对于D，若方程有4个不同实数根，则，选项D正确． 故选：ACD 3．（2025高三·全国·专题练习）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02； （2）关于x的方程f（x）＝a无实数解， 则a的取值范围是 ． 【答案】（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞） 【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1对应的函数值，进而结合条件（2）可得a的范围 【详解】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1， 由方程，则或者，只需令，此时只有， 又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，则必定无解， 故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）， 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 4．（24-25高一上·四川成都·月考）据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量对应的关联函数家庭作业量对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值(即).通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 【答案】（1）；；（2）；（3）是最佳. 【解析】（1）根据三角形面积公式计算可得，由即可求得； （2）利用分段函数依次计算可得的解析式； （3）根据已知计算可得成都七中高一某班的家庭作业量，进而计算，与30作比较即可得出结果. 【详解】解：（1） （2）当时， 当时， 当时， 当时， 所以 （3）成都七中高一某班的家庭作业量为 所以这个班级的数学学科家庭作业量是最佳家庭作业量. 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查计算能力和理解能力，属于中档题. 【经典例题十二 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例1】（25-26高一上·广东汕头·期中）设，若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用给定的分段函数，分段求解判断即得. 【详解】函数，而， 则当时，，解得，矛盾； 当时，，解得，因此； 当时，，解得，矛盾， 所以等于. 故选：A 【例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数 (1)当时，求的值； (2)当时，若，求实数a的值． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据可得，求出后代入计算可得结果； （2）由可得，对的取值进行分类讨论解方程可得实数a的值． 【详解】（1）当时可得，解得； 所以，可得， 则，所以； （2）当时可得，解得； 可得， 当时，可知，解得； 当时，可知，整理可得， 解得或（舍）； 综上可知，或 1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数，若，则（   ） A．0或2 B．0或3 C．2 D．0或2或3 【答案】A 【分析】由和分别计算求解即可. 【详解】当时，，得， 当时，，得（舍去）或， 所以0或2， 故选：A 2．（多选题）（24-25高一上·山东·期中）已知函数若，则a的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先设，求出的值，再根据的值求出的值. 【详解】先设 , 当时，，解得或（舍去，因为）. 当时，，解得.   再根据的值求的值， 当时： 若，则，，此方程无实数解. 若，则，解得（舍去，因为）.   当时： 若，则，，，解得. 若，则，解得.    综上所得，的值可能为或. 故选：BD. 3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若，的值是 . 【答案】或1/1或 【分析】根据分段函数的组成，分段解方程，验证后即得的值. 【详解】依题意，当时，由，解得，符合题意； 当，由，解得，符合题意； 当，由，解得，不符合题意. 综上可得，的值是或1. 故答案为：或1. 4．（24-25高一上·广东佛山·月考）已知函数 (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）由内向外代入求值即可； （2）通过，，分类讨论即可. 【详解】（1）所以， 因此， （2）当时，由，可得，舍去； 当时，由，可得； 当时，由，可得（舍）或． 综上所述，或． 【经典例题十三 解分段函数不等式】 【例1】（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【例2】（24-25高一上·湖北十堰·开学考试）（1）解不等式：； （2）已知函数，解不等式. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将不等式化为，分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，解不等式即可求得结果； （2）分别在和的情况下解不等式即可求得结果. 【详解】（1）； 当时，，解得：； 当时，，不等式无解； 当时，，解得：； 综上所述：不等式的解集为； （2）当时，，解得：； 当时，恒成立； 综上所述：不等式的解集为. 1．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或 解得或，所以的取值范围是. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京·月考），，若，则实数n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据表示和中较大者，求得的解析式，再分类解不等式，即可得到结果. 【详解】当时，若，则， 当时，若，则， 所以， 若，则当时，，解得，即或； 当或时，，解得，即或， 综上所述，实数n的取值范围是. 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由图象求解函数解析式，再由解析式分类化简不等式求解即可. 【详解】由图象：当时，设的解析式为，将代入， 可得到方程组，解得，故当时，； 同理可得，当时，． 当时，不等式， 可化为， 解得，所以． 当时，不等式， 可化为， 解得，所以． 综上所述，不等式的解集为． 故答案为： 4．（25-26高一上·河北沧州·月考）已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）根据给定的分段函数，分段判断代入列式求出值. （2）由（1）求出，再分段列式求解. （3）由（1）的函数，分段求解不等式. 【详解】（1）函数，则，， 所以. （2）由（1）知，函数，而， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以或. （3）不等式，当时，恒成立，则； 当时，，解得或，因此或， 所以实数的取值范围是或. 【经典例题十四 分段函数的单调性】 【例1】（24-25高一上·宁夏·月考）已知函数对任意的，总满足以下不等关系： ，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得函数在定义域内为减函数，结合处的函数值，即可得答案； 【详解】，函数在定义域内为减函数， ， 故选：A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查数形结合思想，求解时注意端点处的函数值大小. 【例2】（24-25高一上·江西南昌·月考）已知函数． （1）求作函数的图像； （2）写出的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？（不必证明） 【答案】（1）见解析；（2）在上单调递增，在上单调递减. 【解析】（1）由已知得，可作出函数的图像； （2）由图象可得出函数的单调性； 【详解】（1）因为，所以作出函数的图像如下图所示： （2）由图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减. 1．（24-25高三上·安徽安庆·月考）已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知在R上为减函数有，即可求的取值范围. 【详解】由题意，要使在R上的减函数，故需要满足： ，解得， 故选：D 【点睛】本题考查了根据分段函数的单调性求参数范围，结合对数函数、一次函数的性质，注意分界点处函数值的大小关系，属于基础题. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数是R上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由分段函数的两段都是减函数，同时两个端点处的函数值左大右小可得． 【详解】由题意，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在定义域上是单调的，则它在所有段上都是同单调的，同时相邻端点处的函数值满足相应的不等关系． 3．（24-25高一上·浙江温州·月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由分段函数在其定义域内单调得在各段单调，且在连接点处须注意函数值大小，得，从而求出实数的取值范围． 【详解】解：∵， 且函数在上单调递增， ∴， 解得：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，分段函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 4．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当，且时，求的值； (2)若存在正实数a､b（）使得函数的定义域为时，值域为（），求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性可知，可等价于，即可解得的值； （2）根据函数在上的单调性，按照，且，以及分类，即可确定在上的值域，从而建立方程组，根据方程根与系数的关系即可解出m的取值范围． 【详解】（1）∵，∴在上为减函数，在上为增函数，由且，可得且，故. （2）若存在正实数a､b（），使得函数的定义域为时，值域为，. ①当a，时，由于在上是减函数，故. 此时得，得与条件矛盾，所以a､b不存在 ②当，时，易知0在值域内，值域不可能是， 所以a､b不存在. ③故只有a，. ∵在上是增函数，∴，即，所以 a､b是方程的两个根，即关于x的方程有两个大于1的不等实根.设这两个根为､，则，.∴，1-4m>0， ∴，即，解得. 故m的取值范围是. 【拓展训练一 求函数解析式】 【例1】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用换元法求函数解析式即可 【详解】令，则， 所以，. 所以. 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求所有的函数．使得对任意的均有． 【答案】 【分析】应用赋值法得出计算求解. 【详解】令．有．① 再令，即有． 在①中，令，． ∴．∴． 这样． 又在原式中，令，，有． 由此知． 这样易得， （由①得）②又在原式中令，， ∴． 于是． 而． 故，经检验满足方程． 1．（24-25高二下·江苏淮安·月考）若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】应用赋值法及方程组法计算求解. 【详解】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 2．（多选题）（25-26高一上·全国·月考）下列选项中正确的是（ ） A．已知函数，则函数的解析式为 B．已知一次函数满足，则的解析式为 C．已知函数满足，则的解析式为 D．已知函数，则 【答案】CD 【分析】利用整体代换法求得的解析式判断A；利用待定系数法求得的解析式判断B；用替换可得，解方程组求得解析式判断C；分类讨论求得解析式求得解析式判断D. 【详解】对于A，，且，所以，故A错误； 对于B，设，则， 所以，解得或，则或，故B错误； 对于C，因为，所以， 即 ，解得，故C正确； 对于D，当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，，则， 综上所述，，故D正确. 故选：CD． 3．（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（满足，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确） 【分析】根据，求得，则满足的一次函数或二次函数均可. 【详解】，， ，， ，， 所以，则的解析式可以为. 经检验，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件. 4．（24-25高一上·云南昭通·期中）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一，令，得到，代入即可求解；法二，根据条件，通过配凑，即可求解； （2）设，根据条件，建立方程，即可求解. 【详解】（1）法一，设，则，得到， 所以，故. 解法二：因为， 所以. （2）设， 则， 又因为， 所以，解得， 所以． 【拓展训练二 分段函数相关求解】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 【例2】（24-25一上·广西钦州·期中）国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人数不超过，游客需付给旅行社飞机票每张元；若旅游团人数多于，则给予优惠：每多人，机票每张减少元，直到达到最多人数为止.旅行社需付给航空公司包机费元． (1)写出飞机票的价格单位：元关于旅游团人数单位：人的函数关系式． (2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润 【答案】(1) (2)60 【分析】（1）利用分段函数即可得到飞机票的价格关于旅游团人数的函数关系式； （2）利用分段函数的值域即可求得旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润 【详解】（1）由题意，得 即 （2）设旅行社获利元， 则 即 因为在区间上单调递增， 所以当时，取最大值元． 又，， 所以当时，取得最大值． 又因为， 所以当旅游团人数为时，旅行社可获得最大利润． 1．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的单调性结合一次、二次函数的单调性和函数的连续性可得. 【详解】二次函数的对称轴为， 当在上是单调递减函数时，此时二次函数在为增函数，不符合题意，所以在上是单调递增函数， 所以， 又当时， 综上实数a的取值范围是. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高一上·广东佛山·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（     ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项. 【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确； 因为函数，所以的定义域为，故B正确； 因为，所以，故C正确； 对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确， 故选：BCD. 3．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，若，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】结合分段函数解析式分情况列方程解方程即可. 【详解】设，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以或， 易知有两个解，即或， 若， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，的值有，，，， 其中最大值为， 故答案为：. 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由解析式代入即可求解； （2）分为，，分类计算即可； （3）分为、及分别求解即可． 【详解】（1）由题意可得； （2）当时， 方程，即为， 解得，不满足，故舍去； 当时， 方程，即为， 解得或舍去； 当时， 方程，即为， 解得； 综上，或； （3）当时， ，即为，解得， 所以； 当时， ，即为，解得， 所以或； 当时， ，即为，解得； 综上，x的取值范围为或 1．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 3．（25-26高一上·河北沧州·月考）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式. 【详解】由，用替换可得， 从而得方程组，解得，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数的单调性和二次函数的单调性以及一次函数的单调性判断即可. 【详解】二次函数的对称轴是， 当时，二次函数在为递减函数，此时，一次函数也为递减函数， 即，且处的函数值， 所以， 当时，由二次函数的单调性和题意判断不符合题意， 综上实数的取值范围是. 故选：D. 5．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数，若，则实数（   ） A． B．4 C．0 D．2 【答案】B 【分析】利用分段函数解方程即可． 【详解】若，则，则无解； 若，则，解得. 综上所述，. 故选：B. 6．(多选题)（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．若为一次函数，则存在且不唯一 C．若为二次函数，则存在且唯一 D． 【答案】AC 【分析】由条件可以推出.对于A：用代换即可；对于BD：利用待定系数法代入运算即可；对于D：赋值利用累加法运算求解即可. 【详解】因为，， 则， 所以，即. 对于选项A：由，可得， 满足，故A正确； 对于选项B：若为一次函数，设， 则不恒成立， 所以不存在，故B错误； 对于选项C：若为二次函数，设， 则， 则，解得，则， 且，可得， 所以，即存在且唯一，故C正确； 对于选项D：因为，且， 可得， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 7．(多选题)（2025高一·全国·专题练习）（多选题）存在函数满足：对任意都有（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AC，通过赋值说明不符合函数的定义即可判断；对于BD，找到对应的函数解析式即可判断. 【详解】A选项中，当或时，，有或，不符合函数的定义； C选项中，当时，有，当时，，不符合函数的定义； B选项和D选项中，与的图象具有相同的对称轴， 与的图象也具有相同的对称轴，因此不符合函数定义的情况不会发生． 事实上，对于B选项，取即可； 对于D选项，， 令，则，，取即可． 故选：BD． 8．（多选题）（24-25高一上·四川达州·期末）函数满足：，则（   ） A． B． C．图象不关于对称 D．的解析式可以是 【答案】AD 【分析】取特殊值判断A，取特殊函数判断BC，根据所给条件验证即可判断D. 【详解】令，可得，解得，故A正确； 取，则满足：，此时，故B错误； 由B，当时，函数图象关于对称，故C错误； 若时，， ，且 所以满足，故D正确. 故选：AD 9．（多选题）（25-26高一上·河南·月考）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ABC 【分析】先求，再求可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D不正确. 【详解】对于A:由题，故A正确； 对于B:当时，，解得（舍去）； 当时，，又，，故B正确； 对于C: 当时，； 当时，. 故的值域为，故C正确； 对于D: 当时，，解得； 当时，解得. 综上的解集为， 故D不正确. 故选：ABC 10．（多选题）（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数，若，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合函数的解析式，分与两种情况讨论，求出的根，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，函数， 当时，， 其中当时，，此时，解可得，符合题意； 当时，，此时，解可得或，符合题意； 当时，必有， 此时，变形可得或， 若，解可得， 若，无解； 综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合； 故选：ACD． 11．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 【答案】 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 12．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得，解方程组求解. 【详解】由①， 得②． ②①得， 得． 故答案为： 13．（24-25高一下·江苏南通·期中）设函数=，若函数f(x)-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】[0, 2) 【分析】先将方程 变形为,根据数形结合思想,y=a与f(x)必须有两个交点,即可求出a的范围. 【详解】函数有两个不同的零点,即有两个不同的交点, 所以函数与函数y=a有两个交点,如图所示:      所以a的范围是[0, 2) 【点睛】本题考查了数形结合和化归转化的数学思想，将函数的零点、方程的根、函数的交点的转化，再利用数形结合确定参数a的范围，属于中档题目；解题中关键是将方程的根转化为两个函数交点的问题. 14．（24-25高三上·江苏连云港·月考）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数单调性得出对应的不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 即，解得； 且在上单调递增，可得； 且需满足，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 15．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则 ，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数解析式求，进而求即可；设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而在分情况讨论求出的范围即可. 【详解】根据分段函数解析式有：，； 令，则，原式化为 当时，有，即，解得，即； 当时，有，即，所以，即. 若， 当时，有，即，解得； 当时，有，显然此时无解； 若， 当时，有，即，解得； 当时，有，，解得 综上所述：若，则a的取值范围是：. 故答案为：； 16．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）利用待定系数法，即可求得答案． 【详解】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 17．（2025高三·全国·专题练习）设是全体有理数的集合，求适合下列两个条件的从到的所有函数： ①； ②对Q中的所有和，． 【答案】 【分析】利用特殊值代入法分析出抽象函数的性质，得到整数满足函数，再证明分数满足函数，即可得到结论. 【详解】由题意，令，可得即． 于是，对任意正整数都有， ，即. 当时，令代入条件②，得， 解得，满足. 当为负整数时，则为正整数，为非负整数， 令代入条件②，得， 令代入条件②，得，解得， 又因为为非负整数，由上述结论可知， 所以. 综上，对任意，都有. 同理可得，对对任意正整数都有， ，即. 当时，显然成立. 当为负整数时，则为正整数，则即，即， 则. 综上，对任意，，都有. 令，代入条件②，得， 因为，，， 所以，整理可得. 令，代入条件②，得， 因为，，， 所以，得. 因此，对任意，都有. 所以，满足条件从Q到Q的函数为． 18．（24-25高一上·河南郑州·月考）（1）已知函数，求使成立的x的取值集合； （2）已知，若，求a的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用给定的分段函数，分段解一元二次不等式即得. （2）分分段代入求解方程即得. 【详解】（1）依题意，不等式化为或， 由解得；由解得或， 所以使成立的的值组成的集合为. （2）当时，，，由，得，解得； 当时，，，则，解得，无解， 所以. 19．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知 (1)若 求的值． (2)若 求的值． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）分类讨论和，带入解析式求出就即可. （2）先换元法另，分类讨论和求出，再分类讨论和求出即可. 【详解】（1）若时， ， 若时， （舍）或， 综上所述或； （2）令，则, 当时，由已知条件得， 得， 当时，由得（舍去）， 当时，由得（正值舍去）， 当时，由，得（舍去），， 若，，（舍） 若，，无实数解，舍去， 综上所述. 20．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为7，最小值为-1，求此函数解析式. 【答案】或 【分析】解法一：函数式变形为，，根据，将-1、7代入即可求解. 解法二：由解法一得，由题意可得的解，利用韦达定理即可求解. 【详解】解法一：函数式变形为，. 由已知得，， 即，① 不等式①的解为，则-1、7是方程的两根， 代入两根得解得或 或. 解法二：由解法一得.① 由不等式的解为，可设为的解. 即. 然后与不等式①比较系数而得： 解出或， 所以或 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 函数的表示方法重难点题型专训 （2个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 解析法表示函数 题型二 图象法表示函数 题型三 已知函数类型求解析式 题型四 已知f(g(x))求解析式 题型五 求抽象函数的解析式 题型六 求解析式中的参数值 题型七 函数方程组法求解析式 题型八 求分段函数解析式或求函数的值 题型九 分段函数的值域或最值 题型十 根据分段函数的单调性求参数 题型十一 分段函数的性质及应用 题型十二 已知分段函数的值求参数或自变量 题型十三 解分段函数不等式 题型十四 分段函数的单调性 拓展训练一 求函数解析式 拓展训练二 分段函数相关求解 知识点一： 函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 【即时训练】 1．（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔 s时，y＝1会重复出现1次. 知识点二： 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【即时训练】 1．（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【经典例题一 解析法表示函数】 【例1】（25-26高一上·福建厦门·月考）设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 1．（24-25高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·福建厦门·期末）已知函数，则和满足（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为，满足，且当时，．则当时， ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数,（）. (1)分别计算， 的值. (2)由（1）你发现了什么结论?并加以证明. (3)利用（2）中的结论计算的值. 【经典例题二 图象法表示函数】 【例1】（25-26高一上·四川成都·期中）下列平面直角坐标系中图象，可以表示函数图象的是（     ） A．   B．  C．   D．   【例2】（24-25高一·全国·课堂例题）试画出下列函数的图象： (1)； (2)，. 1．（25-26高一上·山东烟台·期中）如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·江苏南京·期中）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（    ） A．点到点只打开了两个进水口 B．点到点三个水口都打开 C．点到点只打开了一个出水口 D．点到点至少打开了一个进水口 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是 ；图③的建议是 . 4．（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象： (1)（）； (2)，． 【经典例题三 已知函数类型求解析式】 【例1】（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）已知，. (1)求，的值； (2)求的值； (3)求的解析式. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2．（多选题）（24-25高一上·江苏扬州·期中）一次函数满足：，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 4．（25-26高一上·湖南·期中）（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 【经典例题四 已知f(g(x))求解析式】 【例1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖北黄冈·月考）已知，则 4．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是二次函数，且满足． (2)已知． 【经典例题五 求抽象函数的解析式】 【例1】（24-25高一·浙江杭州·期末）已知函数是R上的单调函数，且对任意实数，都有成立，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）若的定义域是正整数集，，且，求的解析式． 1．（24-25高三上·山东·月考）设为常数，，，则（    ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 2．（多选题）（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·月考）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 【经典例题六 求解析式中的参数值】 【例1】（24-25高一上·河北张家口·期中）如图所示为函数的图象，则（    ） A． B．2 C． D．0 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知为常数，若，求的值． 1．（2025·陕西商洛·一模）若函数满足：，且，则（    ） A．2953 B．2956 C．2957 D．2960 2．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 3．（24-25高三上·上海·月考）已知函数满足：①对任意恒有成立；②时，；若，则满足条件的最小的正实数是 . 4．（24-25高一上·河北·月考）已知二次函数的解为. (1)求； (2)证明：也是方程的解，并求的解集. 【经典例题七 函数方程组法求解析式】 【例1】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知，其中，为奇数，求的解析式． 1．（25-26高一上·河北沧州·月考）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·江西南昌·期中）若函数满足关系式，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数满足，则 . 4．（25-26高一上·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 【经典例题八 求分段函数解析式或求函数的值】 【例1】（25-26高一上·四川资阳·期中）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y.求y关于函数关系式，并指出相应的定义域； 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则等于（   ） A． B． C．3 D．6 2．（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则 ， ． 4．（25-26高一上·海南·期中）已知函数，.    (1)在图1同一坐标系中画出函数，的图象： (2)，用表示，中的最小者，记作，分别用图象法（图2）和解析法表示函数. 【经典例题九 分段函数的值域或最值】 【例1】（24-25高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，，则（   ） A．的最小值为，最大值为2 B．的最小值为2，无最大值 C．的最小值为，无最大值 D．的最小值为，最大值为2 2．（多选题）（24-25高一上·山东临沂·月考）已知，且，则的最值情况是（    ） A．无最大值 B．有最小值 C．无最小值 D．有最大值 3．（25-26高一上·陕西延安·期中）若函数的值域为，则的取值范围为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，四边形是平行四边形，，，动直线从轴起向右平行移动，分别交平行四边形于不同的两点． 求的面积，并观察最大值时的位置特点． 【经典例题十 根据分段函数的单调性求参数】 【例1】（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·全国·课前预习）已知函数是上的增函数，求的取值范围. 1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）若函数是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值不可以为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 3．（25-26高一上·四川内江·月考）已知，若且，都有，则实数的最大值为 . 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数， (1)求函数的解析式； (2)若函数在R上单调，求的取值范围. 【经典例题十一 分段函数的性质及应用】 【例1】（25-26高一上·河南郑州·月考）若函数则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·重庆·月考）某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量． 1．（25-26高一上·黑龙江·期中）定义符号函数，设，，若，，且有两个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数则下列说法中，正确的有（    ） A．若，则方程有实数根 B．若，则方程有2个实数根 C．若方程有3个不同实数根，则 D．若方程有4个不同实数根，则 3．（2025高三·全国·专题练习）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02； （2）关于x的方程f（x）＝a无实数解， 则a的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·四川成都·月考）据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量对应的关联函数家庭作业量对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值(即).通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 【经典例题十二 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例1】（25-26高一上·广东汕头·期中）设，若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数 (1)当时，求的值； (2)当时，若，求实数a的值． 1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数，若，则（   ） A．0或2 B．0或3 C．2 D．0或2或3 2．（多选题）（24-25高一上·山东·期中）已知函数若，则a的值可能为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若，的值是 . 4．（24-25高一上·广东佛山·月考）已知函数 (1)求； (2)若，求的值． 【经典例题十三 解分段函数不等式】 【例1】（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·湖北十堰·开学考试）（1）解不等式：； （2）已知函数，解不等式. 1．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京·月考），，若，则实数n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 4．（25-26高一上·河北沧州·月考）已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 【经典例题十四 分段函数的单调性】 【例1】（24-25高一上·宁夏·月考）已知函数对任意的，总满足以下不等关系： ，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·江西南昌·月考）已知函数． （1）求作函数的图像； （2）写出的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？（不必证明） 1．（24-25高三上·安徽安庆·月考）已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数是R上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江温州·月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 4．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当，且时，求的值； (2)若存在正实数a､b（）使得函数的定义域为时，值域为（），求m的取值范围. 【拓展训练一 求函数解析式】 【例1】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求所有的函数．使得对任意的均有． 1．（24-25高二下·江苏淮安·月考）若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（多选题）（25-26高一上·全国·月考）下列选项中正确的是（ ） A．已知函数，则函数的解析式为 B．已知一次函数满足，则的解析式为 C．已知函数满足，则的解析式为 D．已知函数，则 3．（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可） 4．（24-25高一上·云南昭通·期中）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【拓展训练二 分段函数相关求解】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【例2】（24-25一上·广西钦州·期中）国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人数不超过，游客需付给旅行社飞机票每张元；若旅游团人数多于，则给予优惠：每多人，机票每张减少元，直到达到最多人数为止.旅行社需付给航空公司包机费元． (1)写出飞机票的价格单位：元关于旅游团人数单位：人的函数关系式． (2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润 1．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·广东佛山·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（     ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立 3．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，若，则实数的最大值为 . 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求的取值范围． 1．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 3．（25-26高一上·河北沧州·月考）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数，若，则实数（   ） A． B．4 C．0 D．2 6．(多选题)（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．若为一次函数，则存在且不唯一 C．若为二次函数，则存在且唯一 D． 7．(多选题)（2025高一·全国·专题练习）（多选题）存在函数满足：对任意都有（    ）． A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高一上·四川达州·期末）函数满足：，则（   ） A． B． C．图象不关于对称 D．的解析式可以是 9．（多选题）（25-26高一上·河南·月考）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的值域为 D．的解集为 10．（多选题）（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数，若，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 12．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数满足，则 ． 13．（24-25高一下·江苏南通·期中）设函数=，若函数f(x)-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 14．（24-25高三上·江苏连云港·月考）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 ． 15．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则 ，若，则a的取值范围是 . 16．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 17．（2025高三·全国·专题练习）设是全体有理数的集合，求适合下列两个条件的从到的所有函数： ①； ②对Q中的所有和，． 18．（24-25高一上·河南郑州·月考）（1）已知函数，求使成立的x的取值集合； （2）已知，若，求a的值． 19．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知 (1)若 求的值． (2)若 求的值． 20．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为7，最小值为-1，求此函数解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $