重难题型卷(二)三角形的全等-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（冀教版·新教材）河北专版

答案与解析 .AF=AE+EF,.'.BE=EF+FC. (3)【解】7 分析：：△ABC的面积为21，CD=2BD, :△ABD的面积为21×号=7. 由(2)得△ABE≌△CAF, .△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=7. 4.重难题型卷（二）三角形的全等 1.B 2.36【解析】：△ABC≌△DEF,EF=7, .EF=BC=7,SADEF=SMIC, SAABC-SADG=SADEF-SADG .Sg边形AQGD=S佛形EG,即S阴影=S佛形BERc. .CG=2,∴.BG=BC-CG=7-2=5, :Sm=Se-合(BG+EP)·BE=号×(5+7)XG =36.故答案为36. 3.A 4.①②③【解析】.∠E=∠F=90°，∠B=∠C, ∴.∠EAB=∠FAC, ∴.∠EAB-∠CAB=∠FAC-∠CAB, ∴.∠1=/2，故①正确； ,∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF, ∴.△ABE≌△ACF(AAS),∴BE=CF,故②正确； .·△ABE≌∧ACF,∴.AB=AC 又∠BAM=∠CAN,∠B=∠C, ∴.△ABM≌△ACN(ASA),故③正确. 综上，正确的有①②③.故答案为①②③. (AB-AD 5.【证明】(1)在△ABC与△ADC中，AC=AC, BC=DC, .△ABC≌△ADC(SSS), ∴.∠BAC=∠DAC,即AC平分∠BAD. (2)由(1)可知，∠BAE=∠DAE. (BA-DA, 在△BAE与△DAE中，∠BAE=∠DAE, AE-AE, ∴.△BAE≌△DAE(SAS),∴.BE=DE 6.60°【解析】.△ABC是等边三角形， ∴.∠ABD=∠C=60°，AB=BC 又，'BD=CE,∴.△ABD≌△BCE(SAS), .∠BAD=∠CBE. ,∠ABD=∠ABE+∠EBC=60°，∴.∠ABE+∠BAD=60°， .∠APE=∠ABP+∠BAP=60. 故答案为60°. 7.1872【解析】，AE⊥AB,EF⊥FH,BG⊥FH, '.∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°， ∴.∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°， ∴.∠EAF=∠ABG. 又.AE=AB, .△EFA≌△AGB(AAS), ∴.AF=BG=3,AG=EF=8. 同理证得△BGC≌△CHD,得CG=DH=4,CH=BG=3. FH=FA+AG+GC+CH=3+8+4+3=18. 故阴影部分图形的面积S=S佛形HD一S△Ar一S△Ac一S△DH= 合×(8+40×18-7×3×8-合×(8+4)×3-7×3×4= 72.故答案为18；72. 8.(1)【解】DE D (2)【证明】如图①，过点D作DMLB AF于点M,过点E作EN⊥AF于 HGN 点N.由“K字”模型得△ABF≌F △DAM(AAS),.∴.AF=DM. 同理△AFC≌△ENA, ∴.AF=EN,∴.EN=DM. 第8题答图① .DM⊥AF,EN⊥AF, ∴.∠GMD=∠GNE=90°. (∠DMG=∠ENG=90°， 在△DMG与△ENG中，了∠DGM=∠EGN, DM=EN, ∴.△DMG≌△ENG(AAS), ∴.DG=EG,即点G是DE的中点 (3)【解】5分析：如图②，过点D作 、M 、Q PQ⊥CE于点P,交AF于点Q,过点A A作AM⊥PQ于点M,过点F作 FN⊥PQ于点N. ,四边形ABCD和四边形DEGF为 正方形，.∠ADC=∠EDF=90°，B AD=CD,DE=DF.由“K字”模型得 第8题答图② △ADM≌△DCP(AAS),△DFN≌△EDP(AAS), .SAADM-SADCP SADEN=SABDP. 由(2)同理可得△AMQ≌△FNQ(AAS), ∴.SAAQ=SAQ, ∴.SAAa+SAFNQ+SAFN=S△AQ+SAQ+SAN=SAADM+ SADEN-SADCP +SARDP S=S2. S十S2=10,.S的值为5. 9.B【解析】，△ABC2△DBE,∠ABE=160°，∠DBC=30°， ∴.∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, 即∠ABD=∠CBE=(ZABE-∠DBG=合×(160°-30) =65°.故选B. 10.(1)【证明】：∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD, .∠BAD=∠CAE. (AB-AC, 在△BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE, AD-AE, ,.△BAD≌△CAE(SAS). (2)【解】BD=CE,BD⊥CE 证明：由(1)知，△BAD≌△CAE, .BD=CE,∠ABD=∠ACE. :∠ABD+∠DBC=45°， .∠ACE+∠DBC=45, .∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=9O°， ∴.∠BDC=90°，则BD⊥CE. 11.3<AC<17【解析】如图，延长AD至点 E,使DE=AD,连接CE.在△ABD与 (DB-DC, △ECD中，∠ADB=∠EDC, B D: AD-ED, .∴.△ABD≌△ECD(SAS), ∴.EC=AB. :在△ACE中，AE-EC<AC<AE+EC, 第11题答图 ∴.5+5-7<AC5+5+7,∴.3<AC<17. 故答案为3<AC<17. 12.(1)【解】1.5<AD6.5 (2)【证明】如图①，延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,则 AG=2AD.,点D为BC的中点，∴.CD=BD (AD-DG. 在△ADC和△GDB中，3∠ADC=∠GDB, CD-BD, .∴.△ADC≌△GDB(SAS), .∠C=∠GBD,AC=GB. .AC=AF,∴.BG=AF. '∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF+∠BAC=180, ∴.∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠C=180°-∠BAC =∠EAF. AE-BA, 在△EAF和△ABG中，∠EAF=∠ABG, AF-BG, .△EAF2△ABG(SAS), .∴.EF=AG=2AD. H's-- D G ① ② 第12题答图 (3)【解】BD=2EF.证明如下：如图②，延长EF到点G,使得 EF=FG,连接CG,延长CA到点H,使得AH=AD,连接BH. ,点F是BC边的中点， .'CF=BF. ∠EFB=∠CFG, .∴.△BEF≌△CGF(SAS), .BE=CG,∠G=∠BEF,∴.CG∥BE, ∴.∠BEH=∠GCE. :∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180°， .∠BAH=∠BAD. .·BA=BA,.△BAH≌△BAD(SAS) .BD=BH,∠H=∠ADB. N∠CEF=∠ADB,.∠H=∠CEF, .△HBE≌△EGC(AAS), ∴.EG=BH=BD=2EF. 13.4【解析】如图，延长AB至点E,使BE=DG,连接CE. (CD-CB, 在△CDG和△CBE中，∠CDG=∠CBE, DG-BE .△CDG≌△CBE(SAS), D .∠DCG=∠BCE,CG=CE. 459 :∠DCB=90°，∠GCH=45°， .∴.∠DCG+∠HCB=45°， .∠BCE+∠HCB=45°， ∴.∠GCH=∠ECH=45. H 在△CGH和△CEH中， 第13题答图 (CG=CE, ∠GCH=∠ECH, CH=CH, '.△CGH2△CEH(SAS)， .GH=HE=BE+HB=DG+BH, 真题圈数学八年级上9G ,∴.△AGH的周长=AG+GH+AH=AG+DG+BH+AH= AD+AB=4.故答案为4. 14.【解】(1)：∠B=60°，∴.∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180° -60°=120°.：AD,CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线， ÷∠DAC=t∠BAC,∠ECA=合∠BCA,:∠CFD= ∠DAC+∠BCA=合∠BAC+合∠BCA=合（∠BAC+ ∠BCA)=60°. (2)结论：FE=FD. 理由：如图，在AC上截取点 B G,使AG=AE,连接FG. :AD是∠BAC的平分线， ∴./EAF=∠GAF D 在△EAF和△GAF中， (AE=AG, G ∠EAF=∠GAF, 第14题答图 LAF-AF, .△EAF≌△GAF(SAS),∴.FE=FG. 又.∠CFD=60°，∴.∠EFA=∠GFA=60° ,∴.∠GFC=180°-∠EFA-∠GFA=180°-60°-60°=60° .∴.∠CFD=∠GFC. :CE是∠BCA的平分线，.∠FCD=∠FCG. ∠CFD=∠CFG, 在△FDC和△FGC中，FC-FC, ∠FCD=∠FCG, ∴.△FDC≌△FGC(ASA),∴.FD=FG..FE=FD. 15.C【解析】①如图①，当点E在线段AC上运动时， ·BD⊥BE,BC⊥BA,AM⊥AN, ∴.∠MAN=∠DBE=∠ABC=90°， 即∠DBA+∠ABE-∠ABE+∠EBC,∴.∠DBA=∠EBC. :AB平分∠MAN,.∠DAB=∠EAB=45°， .∠ACB=45°，.∠DAB=∠ECB. (∠DAB=∠ECB, 在△DAB和△ECB中，AB=CB, ∠DBA=∠EBC, .△DAB≌△ECB(ASA),.BD=BE. M M B B D E C N A CEN D ① © 第15题答图 ②如图②，当点E在线段AC的延长线上时，'BD⊥BE, BC⊥BA,AM⊥AN,∴.∠MAN=∠DBE=∠ABC=90°， 即∠DBA+∠DBC=∠DBC+∠EBC,∴.∠DBA=∠EBC. ·AB平分∠MAN,BC=AB,∴.∠BAC=∠ACB=∠MAB= 45°，.∠DAB=∠ECB=135. ∠DAB=∠ECB, 在△DAB和△ECB中，3AB=CB, ∠DBA=∠EBC, .△DAB≌△ECB(ASA),∴.BD=BE. 综上可知，点E在运动过程中，BD和BE一直相等.故选C 16.C【解析】①若x=1,则点P的速度是点Q的2倍，故点P的 运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确，符合题意； ②点P到达点A的时间为6÷2=3(s),当x=6时，点Q到达 点A的时间为(8+10)÷6=3(s),故②正确，符合题意；③当a 答案与解析 =90°，t=5,x=1时，如图，只 D 有∠CAB=∠QBP=90°，而 AP=4,DQ=5,则BQ=3,无 法得到线段之间的相等关系， 故③错误，不符合题意；④由题 意得AP=2t-6,则PB=10- A (2t-6)=16一2t,QD=xt,则 BQ=8-xt.若△ACP与 第16题答图 △BPQ全等，则AC=BP且AP=BQ或AC=BQ且AP= BP,即6=16-2t且2t-6=8-xt或6=8-xt且2t-6=16 2,解得x=0.8或青，故④正确，符合题意.故选C 17.(1)40(2)2或5【解析】(1).∠ACB=90°， .∠CAB+∠CBD=90°. :CD为AB边上的高，.∠CDB=90°， .∴.∠BCD+∠CBD=90°，∴.∠CAB=∠BCD :∠BCD=∠ECF,.∠CAB=∠ECF=40°. (2):过点E作BC的垂线交直线CD于点F, .∠CEF=90°=∠ACB. 「∠CEF=∠ACB, 在△CEF和△ACB中，∠ECF=∠A, CF=AB, .△CEF≌△ACB(AAS),.CE=AC=7cm ①如图，当点E沿射线BC移动时， BE=CE+BC=7+3=10(cm), ,点E从点B出发，在直线BC上 以2cm/s的速度移动， .点E移动了10÷2=5(s). ②如图，当点E沿射线CB移动时， BE'=CE'-BC=7-3=4(cm). :点E从点B出发，在直线BC上 A 以2cm/s的速度移动， ,点E移动了4÷2=2(s). Y 综上所述，当点E移动5s或2s时， CF=AB.故答案为(1)40；(2)2或5. 第17题答图 5.阶段学情调研（一） 题号123456789101112 答案CBCABDACBBCB 1.C【解标：分式号的值为0，z+1=0且2x-1≠0，解 得x=-1.故选C. 2.B3.C4.A 5.B【解析】：EA⊥AB,.∠A=90°.：△EAB≌△EDB≌ △EDC,∴.∠C=∠ABE=∠DBE.∠ABC+∠C=90°， ∴.∠ABE+∠DBE+∠C=90°，∴.3∠C=90°，∴.∠C=30°.故 选B 6.D【獬析】：AE∥FD,·∠A=∠D.,CE∥FB,∴.∠ACE =∠DBF A.由AB=BC得不到两三角形一边对应相等的条件，不能判定 △EAC≌△FDB,故A不符合题意； B.两三角形全等至少需要一边对应相等的条件，∠E=∠F,则有 三组角对应相等，不能判定△EAC≌△FDB,故B不符合题意； C.由AE∥FD,推出∠A=∠D,只有两组角对应相等，不能判定 △EAC≌△FDB,故C不符合题意； D.由AAS判定△EAC≌△FDB,故D符合题意.故选D. A【折++-生平2· (z十2)(x一2.n。=”,则6十m=m,即n一m=6,故选A x+2x 8.C【解析】原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后 每人每周投通(<十40)件，由题意得220220故选C x 9.B【解析】，CA平分∠DCB,∴.∠BCA=∠DCA (CB=CD, 在△ABC和△ADC中，∠BCA=∠DCA, LAC=AC, ∴.△ABC≌△ADC(SAS),.∠BAC=∠DAC, 即∠BAE+∠CAE=∠DAC. ∠CAE=45,.∠DAC=180°-45°=135°， .∠BAE+45°=135°，.∠BAE=90°.故选B. 10,B【解析1已知关于x的方程异十十2=0的解为x=-1,则 景十1=0，那么A=-2,检验A=一2是该分式方程的解，那 么当x=一1时，1一x=1十1=2，则A不符合题意，当x=-1 时，x一1=一1一1=一2，则B符合题意，当x=一1时，2一x=2 十1=3，则C不符合题意，当x=一1时，x一2=一1一2=一3， 则D不符合题意，故选B. 11.C【解析】A由全等三角形的判定定理SAS证得A中两个小三 角形全等，故A不符合题意B由全等三角形的判定定理SAS证 得B中两个小三角形全等，故B不符合题意.C如图①，，∠DC =∠B+∠BDE,∴.x+∠FEC=x°+∠BDE,∴.∠FEC= ∠BDE,.BE和CF是对应边，而已知给的是BD=CF=3, .不能判定两个小三角形全等，故C符合题意. A ① © 第11题答图 D.如图②，.∠DEC=∠B+∠BDE,∴.x°十∠FEC=x°十 ∠BDE,∴.∠FEC=∠BDE.,·BD=EC=2,∠B=∠C, ∴.△BDE≌△CEF(ASA),.能判定两个小三角形全等，故D 不符合题意.故选C. 2B【解折】当m>2时，由F(m,2)-F(2,m)=1得是2 2=1,去分每得2-2m=m2解得m一专经检验m 专是原方程的根，但m<2,不符合题意，舍去；当m<2时，由 Fm,2)-F2,mW=1得2m22n-1,去分母，得4一2 2一m,解得m=0,经检验，m=0是原方程的根，且m<2,符合 题意.综上，m=0.故选B. 13.a=90°，=90° 14.2【解析】根据题意得十y=3,去分母得x十y=3x,即y= 2x,把y=ax代人得ax=2x,即(a一2)x=0, 解得a=2.故答案为2. 1523【解打等式益理得乙点与》， (x-2)(x一3) .5.x-13=(A+B)x+(-2A-3B), :/A+B=5@, 2A+3B=13② ①X3-②，得A=2,真题圈数学 同步调研卷 八年级上9G 4.重难题型卷（二） 粕 三角形的全等 蝴 题型一 全等模型 回肌 类型1平移模型 1.如图，AB∥CD,点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明 △ABC≌△DCE还需要的条件是( ) A.AB-CD B.∠ACB=∠E C.∠A=∠D D.AC-DE G D B 第1题图 第2题图 製 2.(月考·24-25石家庄二十八中)如图，△ABC≌△DEF,已知 ∠ABC=∠DEF=90°，若BE=6,EF=7,CG=2,则图中阴影 部分的面积为 类型2翻折模型 3.(期中·23-24邢台信都区)如图，AD与BC交于点O,OC- 批 OD,添加一个条件后能使用“SAS”基本事实判定△AOC≌ △BOD的是( 金星教 A.OA=OB B.AC=BD C.∠A=∠B D.∠C=∠D 第3题图 第4题图 些0 4.(期中·23-24石家庄二中润德学校)如图，EB交AC于点M, 明删 交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°，∠B=∠C, 胞) 司 AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF;③△ACN ≌△ABM.其中正确的结论有 (填序号) 5.(期中·24-25石家庄九中改编)如图，AB=AD,BC=DC,点 E在AC上. (1)求证：AC平分∠BAD. (2)求证：BE=DE. 第5题图 类型3一线三等角模型 6.（月考·23-24石家庄八十一中)如图，在等边三角形ABC中， BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是 8 B 、 B D 第6题图 第7题图 7.(期中·22-23廊坊六中改编)如图，已知AE⊥AB且AE= AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，则FH= ,图中阴影部分图形的面积S= 8.思维探索通过对如图所示数学模型的研究学习，解决下列 问题： D 12 ⑦ ② ③ 第8题图 (1)如图①，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点 C,过点D作DE⊥AE于点E.由∠1十∠2=∠2十∠D=90°， 得∠1=∠D.由∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE.进而得到AC= ,BC=AE.我们把这个数 学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型。 (2)如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接 BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.求证： 点G是DE的中点. 11 (3)如图③，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD 的面积为S1,△DCE的面积为S2,S1+S2=10.则S1的值 为 类型4旋转模型 9.(期中·24-25石家庄四十八中)如图，已 知△ABC≌△DBE,点D在AC上，BC与 DE交于点P,若∠ABE=160°，∠DBC= A 30°，则∠ABD的度数为( A.60° B.65 第9题图 C.75° D.80° 10.(月考·24-25唐山九中改编)如图，在△ABC,△ADE中， ∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=45°，AB=AC,AD=AE,点 C,D,E在同一直线上，连接BD. (1)求证：△BAD≌△CAE. (2)请写出BD,CE的关系，并证明. 第10题图 题型二添加辅助线构造全等三角形 类型1倍长中线法 11.(期中·23-24石家庄二十七中)如图，AD 4 是△ABC的边BC上的中线，AB=7,AD =5,则AC的取值范围为 12.在通过构造全等三角形解决的问题中，有B D 一种方法叫倍长中线法。 第11题图 (1)如图①，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的 取值范围. 我们可以延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS 可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下来，在△ABE中 利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中 线AD的取值范围是 (2)如图②，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°.点D 为BC的中点.求证：EF=2AD. (3)如图③，四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点E,点F 是BC边的中点，∠CEF=∠ADB,∠BAC+∠BAD=180°， 试探索BD与EF的数量关系，并证明 品 D ① ② ③ 第12题图 类型2截长补短法 13.如图，G,H分别是四边形ABCD的边AD,D AB上的点，AD=AB=2,∠D=∠DCB=G ∠B=90°，∠GCH=45°，则△AGH的周长 为 H B 14.如图，在△ABC中，∠B=60°，AD,CE分 第13题图 别是∠BAC,∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F. (1)求∠CFD的度数. (2)写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由. B E 4 第14题图 -12 题型三动点问题 15.(月考·23-24邢台十九中)如图，直线M AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作 BC⊥BA交AN于点C,且BC=AB.动 点E从点A出发，沿射线AN运动，作 BD⊥BE,交直线AM于点D.关于BD和 第15题图 BE的关系，下列说法正确的是() A.点E只有在线段AC上运动时，BD和BE才相等 B.点E只有在线段AC的延长线上时，BD和BE才相等 C.点E在运动过程中，BD和BE一直相等 D.无法判断 16.(期中·23-24石家庄外国语)已知 AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB =∠DBA=a,点P以每秒2个单位 长度的速度，沿着路径C→A→B运 动.同时，点Q以每秒x个单位长度 第16题图 的速度，沿着路径D→B→A运动，一 个点到达终点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间 米为ts. ①若x=1,则点P的运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P,Q两点同时到达点A时，x=6; ③当a=90°，t=5,x=1时，△ACP2△BPQ; ④若△ACP与△BPQ全等，则x=0.8或是 以上说法中正确的是( ) A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 17.(期末·22-23邯郸广泰中学)如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC= 3cm,CD为AB边上的高，E在直线 BC上. (1)若∠ECF=40°，则∠CAB= (2)若点E从点B出发，在直线BC上以 2cm/s的速度向一个方向移动，过点E作 第17题图 BC的垂线交直线CD于点F,当点E移动 s时， CF=AB.