专题01 全等三角形的性质与判定九类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“判定定全等，性质定边角”为主线，系统整合九类热考题型，通过通法归纳、题型精讲与压轴挑战，构建从基础到综合的全等三角形解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心主线|判定与性质结合，“判定定全等，性质定边角”|上承线段角关系，下启相似四边形，构建几何基础| |九类题型|9典例+27变式|性质判断紧扣对应元素，判定选定理，动态问题分类列方程，辅助线用截长补短/中线倍长|从基础判断、求解到二次全等、动态应用，逐步深化| |压轴挑战|15综合题|综合应用全等判定与性质，结合实际情境与复杂图形|融合多知识点，提升综合解题与知识迁移能力|

专题01 全等三角形的性质与判定九类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、由全等三角形的性质判断正误 1 类型二、利用全等三角形的性质求解 2 类型三、选用合适的方法证明三角形全等 4 类型四、二次证明三角形全等 5 类型五、全等三角形与实际问题 6 类型六、全等三角形的动态问题 8 类型七、利用全等三角形的性质与判定确定线段间的数量关系 9 类型八、利用全等三角形的性质与判定确定线段间的位置关系 11 类型九、通过辅助线构造全等三角形 12 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形的性质与判定是初中几何的基石模块，上承线段与角的基本关系，下启相似三角形与四边形证明。所有题型均围绕判定与性质两大核心展开，解题贯穿一条主线：判定定全等，性质定边角—— 用 SSS / SAS / ASA / AAS / HL 判定三角形全等，再由 "对应边相等、对应角相等" 转化线段与角的关系，最终求解或证明。复杂题常需二次全等或辅助线构造全等，所有结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、由全等三角形的性质判断正误 典例精讲1（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出关于全等三角形性质的若干说法，要求判断正确或错误，常涉及对应边、对应角、周长、面积、对应线段等概念。 2.方法：紧扣全等三角形性质 —— 对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应高 / 中线 / 角平分线相等；逐项比对，凡超出 "对应" 范围的说法一般错误。 3.易错提醒：全等是 "对应" 元素相等，不是任意元素都相等；"面积相等的三角形全等"" 周长相等的三角形全等 " 均为假命题，不可反向推导。 变式训练1（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是(     ) A． B． C． D． 变式训练2（25-26八年级上·河北邢台·期末），按照如图所示方式拼图时边，重合，另一顶点不重合，若，，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C．四边形 为轴对称图形 D． 变式训练3（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，若点P在上，于点B，于点C，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 类型二、利用全等三角形的性质求解 典例精讲2（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点O旋转，得到，这时______．这两个三角形的对应边是：与______，与______，与______；对应角是：与______，与______，与______． 题型归纳 1.特征：已知两个三角形全等（或已证全等），给出部分边长、角度，求其余边长、角度、周长或面积。 2.方法：先按对应顶点顺序确定对应边与对应角，再由 "对应边相等、对应角相等" 直接代值求解；求周长 / 面积时先求全对应元素再计算。 3.易错提醒：对应顶点顺序不可写乱，写错则对应边 / 角全部错位；求角度时注意三角形内角和为 180°，勿遗漏隐含角。 变式训练1（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 变式训练2（25-26七年级上·山东烟台·期中）若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 变式训练3（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，两个三角形全等，则___________度． 变式训练4（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则________． 类型三、选用合适的方法证明三角形全等 典例精讲3（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 题型归纳 1.特征：给出两个三角形及部分已知条件，要求选择恰当的判定定理证明全等。 2.方法：根据已知条件类型选定理 —— 已知三边用 SSS；已知两边及夹角用 SAS；已知两角及夹边用 ASA；已知两角及对边用 AAS；直角三角形已知斜边直角边用 HL。 3.易错提醒：SSA（两边及非夹角）与 AAA（三角相等）不能判定全等，是最高频陷阱；SAS 必须是 "夹角"，HL 仅限直角三角形。 变式训练1如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 变式训练2（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 变式训练3（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 变式训练4（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 类型四、二次证明三角形全等 典例精讲4（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 题型归纳 1.特征：题目条件无法直接证明目标三角形全等，需先证明另一对三角形全等，为第二次全等提供边或角的条件。 2.方法：按 "先证全等→得边角相等→再证全等" 的链条推进；第一次全等的结论（对应边 / 角相等）作为第二次全等的已知条件，逐步逼近目标。 3.易错提醒：第一次全等得到的边角相等必须在证明中明确写出，不可默认 "显然"；两次全等的对应顶点顺序要分别写清，不可混淆。 变式训练1（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 变式训练2（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 类型五、全等三角形与实际问题 典例精讲5（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）根据以下素材，探索完成摆球摆动问题的任务． 素材1：如图1是一个单摆实验原理图，包括一个铁架台和一根悬挂的摆线，线端固定摆球．实验者调节摆球的初始位置，观察周期性运动． 素材2：如图2，开始时摆球位于点处，已知摆线长，小亮将摆球拉至点处进行单摆实验，当摆球摆动至点时，，过点作于点，过点作于点，测得． 问题解决： (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的长？ 题型归纳 1.特征：以测量距离、镜面反射、标杆、工件检测等实际情境为背景，要求利用全等三角形求解不可直接测量的量。 2.方法：先把实际情境抽象为几何图形，构造全等三角形（如利用对顶角、公共边、垂直关系），再由全等性质将不可测量转化为可测量，列等式求解。 3.易错提醒：实际问题中单位须统一；构造全等时要确保所利用的边角条件在实际中可测量或可验证，不可凭空假设。 变式训练1（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯的长度，工作人员说滑梯的长度没有测量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，，，，，滑梯的长度为． (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯的长度； (2)两个滑梯和互相垂直吗，为什么？ 变式训练2（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 变式训练3（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 类型六、全等三角形的动态问题 典例精讲6（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 题型归纳 1.特征：点或图形在运动过程中，两个三角形在某一时刻全等，求运动时间、路程或某线段长度。 2.方法：设运动时间为 t（或路程为 x），用含 t 的式子表示相关线段；按动点所在边的不同位置分类讨论，利用全等对应边相等列方程求解。 3.易错提醒：动点位置变化可能产生多解，须按位置分类讨论并逐一验证全等条件，防止漏解；表示线段时注意 "剩余部分 = 全长 − 已走部分"。 变式训练1（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 变式训练2（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为_____． 变式训练3（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 类型七、利用全等三角形的性质与判定确定线段间的数量关系 典例精讲7（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）飞镖是生活中常见的图形．数学课上，李老师和同学们围绕着飞镖图形展开如下探讨：如图1，延长交于点E． 【问题发现】（1）延长交于点F，如图2，若，，则的数量关系为：__________；、的数量关系为：__________． 【类比迁移】（2）延长交于点F，连接，如图3，若，，，可在上取一点M，使得，连接．求证：． 【拓展应用】（3）如图4，若，，请判断的数量关系，并加以证明． 题型归纳 1.特征：要求证明两条线段相等、线段的和差关系（如 a+b=c）或倍分关系（如 a=2b） 2.方法：通过证明三角形全等将线段转化到同一直线上；和差关系常用 "截长补短"（截长：在长边上截一段等于短边；补短：延长短边等于长边），倍分关系常用中线倍长或中位线。 3.易错提醒：截长补短后须证明新构造的三角形全等，不可直接默认线段相等；和差关系中线段的方向与位置要标清，防止加减颠倒。 变式训练1（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 变式训练2（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 变式训练3（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 类型八、利用全等三角形的性质与判定确定线段间的位置关系 典例精讲8（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）如图，延长的边到E，使，连接交于点． (1)试说明：． (2)连接、相交于点，连接．与有怎样的数量关系与位置关系？说明理由． 题型归纳 1.特征：要求证明两条线段平行或垂直，常出现在四边形或复杂图形中。 2.方法：先证明相关三角形全等，由全等得对应角相等；再由角的关系推位置关系 —— 同位角 / 内错角相等推平行，两角互余或夹角为 90° 推垂直。 3.易错提醒：全等得到的角必须是判定平行 / 垂直的对应角，不可张冠李戴；证明垂直时须说明夹角为 90°，不能仅凭 "看起来垂直"。 变式训练1（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，点D，F分别在，上，，连接，且，连接． (1)求证：； (2)若，试判断与的位置关系，并加以说明． 变式训练2（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 变式训练3（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，在四边形中，，为边的中点，连接，，分别延长，，交于点，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，试探究与的位置关系，并说明理由． 类型九、通过辅助线构造全等三角形 典例精讲9（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 题型归纳 1.特征：原图中没有明显的全等三角形，需通过作辅助线将分散的边角条件集中，构造全等后求解或证明。 2.方法：常用辅助线套路 ——中线倍长（遇中点延长中线一倍）、截长补短（证和差）、作垂线（构造直角三角形用 HL）、旋转 / 平移（将一个三角形移到与另一个共顶点）；构造后证明全等，再用性质求解。 3.易错提醒：辅助线须写明作法（过哪点、作什么线），并说明由此得到的边角关系；旋转 / 平移后须验证重合或平行的依据，不可直接默认构造的三角形全等。 变式训练1（25-26九年级下·山东济南·自主招生）已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 变式训练2（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 变式训练3（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 变式训练4（20-21八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 2．（21-22八年级下·贵州毕节·期中）如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 6．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 7．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．（26-27八年级上·广东·开学考试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期末）学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 11．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，点，，，在一条直线上，，，，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的是___________．（直接填写序号） 12．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 13．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 14．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是线段上的点，．求证：．图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由． 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 16．（22-23八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图所示，在中，，D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点O在线段上由点C向点A运动； (1)设运动时间为t，则有：___________；____________；___________； (2)当点O运动在某一时刻使与全等，求点O运动的速度？ 17．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形的性质与判定九类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、由全等三角形的性质判断正误 1 类型二、利用全等三角形的性质求解 2 类型三、选用合适的方法证明三角形全等 6 类型四、二次证明三角形全等 12 类型五、全等三角形与实际问题 15 类型六、全等三角形的动态问题 19 类型七、利用全等三角形的性质与判定确定线段间的数量关系 23 类型八、利用全等三角形的性质与判定确定线段间的位置关系 30 类型九、通过辅助线构造全等三角形 36 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形的性质与判定是初中几何的基石模块，上承线段与角的基本关系，下启相似三角形与四边形证明。所有题型均围绕判定与性质两大核心展开，解题贯穿一条主线：判定定全等，性质定边角—— 用 SSS / SAS / ASA / AAS / HL 判定三角形全等，再由 "对应边相等、对应角相等" 转化线段与角的关系，最终求解或证明。复杂题常需二次全等或辅助线构造全等，所有结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、由全等三角形的性质判断正误 典例精讲1（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移前后对应边平行且相等，根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：由平移得， ， ，故A选项说法一定正确； 由平移得，故B选项说法一定正确； 由平移得，故C选项说法一定正确； 由平移得，， ，， 不一定等于， 不一定等于， 不一定正确．故D选项说法不一定正确． 题型归纳 1.特征：给出关于全等三角形性质的若干说法，要求判断正确或错误，常涉及对应边、对应角、周长、面积、对应线段等概念。 2.方法：紧扣全等三角形性质 —— 对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应高 / 中线 / 角平分线相等；逐项比对，凡超出 "对应" 范围的说法一般错误。 3.易错提醒：全等是 "对应" 元素相等，不是任意元素都相等；"面积相等的三角形全等"" 周长相等的三角形全等 " 均为假命题，不可反向推导。 变式训练1（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，，，，据此得出选项即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 变式训练2（25-26八年级上·河北邢台·期末），按照如图所示方式拼图时边，重合，另一顶点不重合，若，，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C．四边形 为轴对称图形 D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，轴对称图形的识别，三角形内角和定理的应用；根据全等三角形的性质可得，四边形 为轴对称图形，根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，，重合， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∴四边形 为轴对称图形，对称轴为直线，故C选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 变式训练3（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，若点P在上，于点B，于点C，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，则选项B和D正确；再根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，选项A正确；根据已知条件无法得出，则选项C错误． 【详解】解：∵， ∴，，，则选项B和D正确； ∵， ∴， ∴，则选项A正确； 假设， ∴，由已知条件无法得出这个结论，则选项C错误； 故选：C． 类型二、利用全等三角形的性质求解 典例精讲2（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点O旋转，得到，这时______．这两个三角形的对应边是：与______，与______，与______；对应角是：与______，与______，与______． 【答案】 【详解】解：∵将绕点旋转，得到， ∴， ∴这两个三角形的对应边是：与，与，与； 对应角是：与，与，与． 题型归纳 1.特征：已知两个三角形全等（或已证全等），给出部分边长、角度，求其余边长、角度、周长或面积。 2.方法：先按对应顶点顺序确定对应边与对应角，再由 "对应边相等、对应角相等" 直接代值求解；求周长 / 面积时先求全对应元素再计算。 3.易错提醒：对应顶点顺序不可写乱，写错则对应边 / 角全部错位；求角度时注意三角形内角和为 180°，勿遗漏隐含角。 变式训练1（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 变式训练2（25-26七年级上·山东烟台·期中）若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边上的高相等，可得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，和分别是对应边和的高， ， ， ． 变式训练3（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，两个三角形全等，则___________度． 【答案】66 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据图形可知是除，外的第三边的对角，则对应角也为除，外的第三边的对角，据此即可解答． 【详解】解：． 故答案为：66． 变式训练4（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，推出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， ∴； 故答案为：11． 类型三、选用合适的方法证明三角形全等 典例精讲3（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 【答案】 题设：①；②；③； 结论：④；⑤． 证明：∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意选择三个条件，然后证明出，然后根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】略 题型归纳 1.特征：给出两个三角形及部分已知条件，要求选择恰当的判定定理证明全等。 2.方法：根据已知条件类型选定理 —— 已知三边用 SSS；已知两边及夹角用 SAS；已知两角及夹边用 ASA；已知两角及对边用 AAS；直角三角形已知斜边直角边用 HL。 3.易错提醒：SSA（两边及非夹角）与 AAA（三角相等）不能判定全等，是最高频陷阱；SAS 必须是 "夹角"，HL 仅限直角三角形。 变式训练1如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 【答案】 解：有三种组合是成立的：或或． 对于，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵，∴， ∵，， ∴， ∴ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】略 变式训练2（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2) 选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）略 变式训练3（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】 解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 变式训练4（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由角平分线的判定定理可得平分，再由角平分线的定义和平行线的性质可 证明，得到，则可证明是等腰三角形； （2）证明，得到，求出的度数，可得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 类型四、二次证明三角形全等 典例精讲4（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴； 在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据已知条件，且为公共边，即可由得到和全等，再由全等三角形对应边相等可得；由得到和全等，再由全等三角形对应角相等即可得出结论． 【详解】略． 题型归纳 1.特征：题目条件无法直接证明目标三角形全等，需先证明另一对三角形全等，为第二次全等提供边或角的条件。 2.方法：按 "先证全等→得边角相等→再证全等" 的链条推进；第一次全等的结论（对应边 / 角相等）作为第二次全等的已知条件，逐步逼近目标。 3.易错提醒：第一次全等得到的边角相等必须在证明中明确写出，不可默认 "显然"；两次全等的对应顶点顺序要分别写清，不可混淆。 变式训练1（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】2 【分析】连接、，过点作，垂足为，由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再分别证明，，得到，，从而推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为， 为边的中点，， 垂直平分， ， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 变式训练2（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，最后根据等腰三角形的判定方法，得出结论即可． 【详解】略 类型五、全等三角形与实际问题 典例精讲5（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）根据以下素材，探索完成摆球摆动问题的任务． 素材1：如图1是一个单摆实验原理图，包括一个铁架台和一根悬挂的摆线，线端固定摆球．实验者调节摆球的初始位置，观察周期性运动． 素材2：如图2，开始时摆球位于点处，已知摆线长，小亮将摆球拉至点处进行单摆实验，当摆球摆动至点时，，过点作于点，过点作于点，测得． 问题解决： (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的长？ 【答案】(1) 解：，，， ， ，， ． ，， ． (2) 【分析】（1）根据垂直的定义通过角度等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明． （2）利用已知条件求出长度，结合证明，即可求出长度． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 由（1）可知， ． 题型归纳 1.特征：以测量距离、镜面反射、标杆、工件检测等实际情境为背景，要求利用全等三角形求解不可直接测量的量。 2.方法：先把实际情境抽象为几何图形，构造全等三角形（如利用对顶角、公共边、垂直关系），再由全等性质将不可测量转化为可测量，列等式求解。 3.易错提醒：实际问题中单位须统一；构造全等时要确保所利用的边角条件在实际中可测量或可验证，不可凭空假设。 变式训练1（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯的长度，工作人员说滑梯的长度没有测量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，，，，，滑梯的长度为． (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯的长度； (2)两个滑梯和互相垂直吗，为什么？ 【答案】(1) (2)解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）∵，则 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， （2）略 变式训练2（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 【答案】楼的高度为 【分析】证明，进一步利用全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：由题意，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 答：楼的高度为． 变式训练3（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 类型六、全等三角形的动态问题 典例精讲6（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 题型归纳 1.特征：点或图形在运动过程中，两个三角形在某一时刻全等，求运动时间、路程或某线段长度。 2.方法：设运动时间为 t（或路程为 x），用含 t 的式子表示相关线段；按动点所在边的不同位置分类讨论，利用全等对应边相等列方程求解。 3.易错提醒：动点位置变化可能产生多解，须按位置分类讨论并逐一验证全等条件，防止漏解；表示线段时注意 "剩余部分 = 全长 − 已走部分"。 变式训练1（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况讨论：①，②，继而可解． 【详解】解：设两点所用的时间为，则，，， 中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则，， 则，解得； 若，则 则， 解得， 的值为：或2； 故选：C． 变式训练2（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为_____． 【答案】4或 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为秒，由题意得，，则，然后分当时， 当时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可知：或4． 故答案为：或4． 变式训练3（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 类型七、利用全等三角形的性质与判定确定线段间的数量关系 典例精讲7（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）飞镖是生活中常见的图形．数学课上，李老师和同学们围绕着飞镖图形展开如下探讨：如图1，延长交于点E． 【问题发现】（1）延长交于点F，如图2，若，，则的数量关系为：__________；、的数量关系为：__________． 【类比迁移】（2）延长交于点F，连接，如图3，若，，，可在上取一点M，使得，连接．求证：． 【拓展应用】（3）如图4，若，，请判断的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2）如图所示，在上取一点M，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 如图所示，延长到，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明，再由全等三角形的性质可得答案； （2）在上取一点M，使得，连接，同理可证明，得到，再证明，得到，据此可证明结论； （3）延长到，使得，连接，证明，得到，，证明，得到，则可证明． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴； （2）略 （3）略 题型归纳 1.特征：要求证明两条线段相等、线段的和差关系（如 a+b=c）或倍分关系（如 a=2b） 2.方法：通过证明三角形全等将线段转化到同一直线上；和差关系常用 "截长补短"（截长：在长边上截一段等于短边；补短：延长短边等于长边），倍分关系常用中线倍长或中位线。 3.易错提醒：截长补短后须证明新构造的三角形全等，不可直接默认线段相等；和差关系中线段的方向与位置要标清，防止加减颠倒。 变式训练1（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； (2) 解：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）知，， ∴ 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用方法是解题的关键． （）先利用等角对等边得出，再证出，进而判断出，即可得出结论； （）先根据三角形的内角和求出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 变式训练2（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) 证明： ，， ， ， ， ， ， ， ； ，， ． (2) ，证明如下， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即． (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）方法证明即可； （3）同（2）方法求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即 变式训练3（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）略 类型八、利用全等三角形的性质与判定确定线段间的位置关系 典例精讲8（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）如图，延长的边到E，使，连接交于点． (1)试说明：． (2)连接、相交于点，连接．与有怎样的数量关系与位置关系？说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． (2) ，，理由如下： ∵连接、相交于点，， ∴，即是中点， 由（1）得， ∴，即是中点， ∴是中位线， ∴，， ∵，， ∴，． 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质； （1）由得到，，则，，结合，得到，即可证明． （2）由得到是中点，由，得到，即是中点，则是中位线，得到，，即可得到，． 【详解】（1）略 （2）略 题型归纳 1.特征：要求证明两条线段平行或垂直，常出现在四边形或复杂图形中。 2.方法：先证明相关三角形全等，由全等得对应角相等；再由角的关系推位置关系 —— 同位角 / 内错角相等推平行，两角互余或夹角为 90° 推垂直。 3.易错提醒：全等得到的角必须是判定平行 / 垂直的对应角，不可张冠李戴；证明垂直时须说明夹角为 90°，不能仅凭 "看起来垂直"。 变式训练1（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，点D，F分别在，上，，连接，且，连接． (1)求证：； (2)若，试判断与的位置关系，并加以说明． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∴； (2) ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先由同角的余角相等得到，即可根据“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，再由全等三角形的性质得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 变式训练2（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明： ， 即． 在和中， ； (2) 解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【详解】（1）略 （2）略 变式训练3（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，在四边形中，，为边的中点，连接，，分别延长，，交于点，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解答 (2)，理由见解答 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到． （1）证明可得，进而可得四边形的形状； （2）根据，证明，然后根据等腰三角形三线合一即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ， ， ∵为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 类型九、通过辅助线构造全等三角形 典例精讲9（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 题型归纳 1.特征：原图中没有明显的全等三角形，需通过作辅助线将分散的边角条件集中，构造全等后求解或证明。 2.方法：常用辅助线套路 ——中线倍长（遇中点延长中线一倍）、截长补短（证和差）、作垂线（构造直角三角形用 HL）、旋转 / 平移（将一个三角形移到与另一个共顶点）；构造后证明全等，再用性质求解。 3.易错提醒：辅助线须写明作法（过哪点、作什么线），并说明由此得到的边角关系；旋转 / 平移后须验证重合或平行的依据，不可直接默认构造的三角形全等。 变式训练1（25-26九年级下·山东济南·自主招生）已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 【答案】10 【分析】延长到点E，使，连接，证明，利用全等的性质得到对应边的长度和关系，根据勾股定理的逆定理和勾股定理求解． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ， ， ∵是的中线， ， ∵在和中， ， ， ∴，， ， ， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 变式训练2（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 变式训练3（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式训练4（20-21八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．在上截取，连接，通过证明得到，，结合得到，利用三角形外角的性质推出，推出，最后利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 【答案】C 【分析】根据网格的特点和全等三角形的判定定理可判断A、B、C；根据网格的特点求出和的面积可判断D． 【详解】解：A、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； B、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； C、设网格中的小正方形的边长为1，则，， 又∵， ∴，原说法错误，符合题意； D、设网格中的小正方形的边长为1，则，， ∴与面积相等，原说法正确，不符合题意． 2．（21-22八年级下·贵州毕节·期中）如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 3．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 5．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【分析】设点E运动时间为，则，分两种情况求解：①当点从点B出发，向点左侧移动时；②当点从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 【详解】解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 7．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 9．（26-27八年级上·广东·开学考试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期末）学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 【答案】 6 【分析】根据条件利用角边角证明三角形全等，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，点，，，在一条直线上，，，，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的是___________．（直接填写序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误． 12．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或 【分析】设秒时，和全等，则米，米，米，再分两种情况：①，②，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设秒时，和全等，则米，米， ∵米， ∴米， ∵射线，射线， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； 综上，线段的长度为32米或60米． 14．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是线段上的点，．求证：．图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 图中还有其他的全等三角形，如、， 理由：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用“”证明，再利用“”证明，“”证明即可． 【详解】略 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)能 【分析】（1）利用即可证明两个三角形全等； （2）利用即可证明两个三角形全等； （3）两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等； （4）利用即可证明两个三角形全等． 【详解】（1）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （3）解：不能，理由如下： ∵在和中，只有，没有一组边对应相等， ∴不能判定与全等； （4）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴． 16．（22-23八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图所示，在中，，D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点O在线段上由点C向点A运动； (1)设运动时间为t，则有：___________；____________；___________； (2)当点O运动在某一时刻使与全等，求点O运动的速度？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据中点定义可得，再根据点P的速度及可得答案； （2）先说明，再设点O的运动速度为，可得，然后分两种情况：当时，，可得，求出解即可；当时，，可得，求出解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点，且， ∴． ∵点P在线段上以的速度由点B向点C运动，且， ∴； （2）解：∵， ∴． 设点O的运动速度为，则， 当时，， ∴， 解得， 则点O的运动速度是； 当时，， ∴， 解得， 则点O的运动速度是， 所以点O的运动速度是或． 17．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴； (2) (3)若测量出，则河流，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴若测量出，则河流． 【分析】（1）利用证明即可； （2）在（1）的条件下，，，得到，利用面积相等得到高相等，即，再证明，得到，最后根据计算即可； （3）先证明，得到，，再证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）的条件下，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $