专题01 利用勾股定理解决折叠问题（3大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学复习讲义通过知识框架图系统梳理了利用勾股定理解决折叠问题的知识体系，按“轴对称变换本质-勾股定理+方程思想方法-三大基本题型模型应用”的逻辑呈现，结合折叠性质与图形特征，清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分题型分层设计，如长方形对角线折叠模型中构造直角三角形列方程，培养几何直观；直角三角形折叠结合性质推导新直角三角形边长，发展推理意识；综合题通过“找-标-设-表-列-求-验”步骤实现代数几何融合，提升模型意识。典例与基础、提升练习结合，助力不同层次学生掌握，支持教师精准教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题01 利用勾股定理解决折叠问题（3大基本题型） 题型1：长方形折叠 题型2：直角三角形折叠 题型3：折叠问题与一次函数的综合 一、折叠问题的本质：轴对称变换 折叠是一种轴对称变换，折痕为对称轴。折叠前后的图形满足： 1. 对应边相等：如折叠后点C与点C′重合，则BC＝BC′，AC＝AC′； 2. 对应角相等：如∠C＝∠C′，∠B＝∠B′； 3. 对称轴垂直平分对应点连线：折痕垂直平分折叠后重合点的连线（如折痕EF垂直平分BD，当点B与点D重合时）。 这些性质是解决折叠问题的核心依据，需通过画图明确对应关系（建议用不同颜色标注折叠前后的图形）。 二、解决折叠问题的核心方法：勾股定理＋方程思想 折叠问题中，未知边长通常通过“构造直角三角形＋勾股定理”求解。具体步骤如下： 1. 设未知数：设所求线段长为x； 2. 用含x的代数式表示其他边长：根据折叠性质，将未知边用x表示； 3. 构造直角三角形：找到折叠后形成的新直角三角形； 4. 列勾股定理方程：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； 5. 解方程求x：解一元一次方程，得到未知边长。 三、常见折叠模型及应用 1. 长方形折叠：对角线折叠（点B与点D重合） (1) 模型特征：长方形ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，折痕EF垂直平分BD。 (2) 核心结论：BE＝DE（折叠性质）；EF⊥BD（对称轴垂直平分对应点连线）；构造Rt△ABE（或Rt△DFE），用勾股定理列方程。 2. 直角三角形折叠：直角边折叠至斜边 (1) 模型特征：直角三角形ABC（∠A＝90°）沿折痕BE折叠，使直角边AB落在斜边BC上，形成新的直角三角形CDE。 (2) 核心结论：AE＝DE（折叠性质）；AB＝BD（折叠性质）；∠BDE＝90°（折叠性质），故△BDE为直角三角形。 四、折叠问题与一次函数的综合 1. 折叠问题的核心性质（轴对称）：折叠是一种轴对称变换，折痕所在直线为对称轴，折叠前后的图形全等。因此： (1) 对应边相等：折叠后重合的线段长度不变； (2) 对应角相等：折叠后重合的角大小不变； (3) 折痕是对称轴：折痕垂直平分对应点的连线。 2. 一次函数的核心知识点 (1) 解析式求解：通过已知点坐标（如折叠后的对应点、与坐标轴的交点）代入y＝kx＋b（k≠0），解方程组求斜率k和截距b； (2) 图像与坐标轴的交点：令y＝0，解得x＝，即与x轴的交点为(,0)；令x＝0，与y轴的交点得(0,b)。 (3) 函数的应用：通过一次函数表示点的坐标（如折叠后点的坐标满足某直线解析式），结合如勾股定理解决问题。 3. 综合应用的关键工具 (1) 勾股定理：折叠后形成的直角三角形（如矩形折叠后，折痕与边形成的直角三角形）中，用勾股定理列方程求解未知边长； (2) 方程思想：通过设未知数（如折叠后点的坐标、线段长度），结合折叠性质和一次函数解析式，建立方程求解。 【题型1】长方形折叠 核心特征：长方形沿某条直线折叠，对应顶点/边重合，常涉及对角线折叠“顶点折叠到对边”“折痕为对称轴”等模型。 核心思路：利用长方形性质（对边相等、四个角为直角）与折叠性质（对应边/角相等），构造直角三角形，通过勾股定理列方程求解。 1. 长方形对角线折叠（点B与点D重合） (1) 模型描述：长方形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，求折痕EF的长或相关线段长度。 (2) 核心结论： 1 折叠性质：BG＝DC，BE＝DE，GF＝CF，∠G＝∠C＝90°； 2 勾股定理：在Rt△AEB中，BE²＝AB²＋AE²； 3 折痕EF垂直平分BD（对称轴性质）。 2. 长方形顶点折叠到对边（点B折叠到AD边的E点） (1) 模型描述：长方形ABCD中，将点C沿某直线折叠，落在AD边的F点，折痕为MN，求CF的长或相关线段长度。 (2) 核心结论： 1 折叠性质：BM＝MG（对应边相等），∠GFN＝∠BCN＝90°（对应角相等）； 2 勾股定理：在Rt△DNF中，DN²＋DF²＝NF²；在Rt△ABF中，AB²＋AF²＝BF²。 【典例1】如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题、点坐标与图形、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据长方形的性质和点坐标可得，根据折叠的性质可得，利用勾股定理可得，则，再设点的坐标为，则，，在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴在中，， ∴， ∵点在边上，，， ∴设点的坐标为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴点的坐标为． 【练习2】如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则_； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为_． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 【练习3】一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为； (2) (3)点P的坐标为或． 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【题型2】直角三角形折叠 核心特征：直角三角形沿某条直线折叠，直角边或斜边重合，常涉及直角边折叠到斜边“斜边折叠到直角边”等模型。 核心思路：利用直角三角形性质（勾股定理、两锐角互余）与折叠性质（对应边/角相等），构造新直角三角形，通过勾股定理列方程求解。 1. 直角边折叠到斜边（点A折叠到斜边BC上的D点） (1) 模型描述：Rt△ABC中，∠A＝90°，将点A沿BE折叠，落在斜边BC上的D点，求CD的长或相关线段长度。 (2) 核心结论： 1 折叠性质：AB＝BD（对应边相等），∠AEB＝∠BED＝90°（对应角相等）； 2 勾股定理：在Rt△CDE中，CD²＋DE²＝CE²；在Rt△ABC中，BC²＝AB²＋AC²。 2. 斜边折叠到直角边（点A折叠到直角边BC上的E点） (1) 模型描述：将直角三角形的斜边沿某条直线折叠，使斜边的端点（或整条斜边）落在直角边上，形成新的直角三角形。 (2) 核心结论： 1 折叠性质：AB＝BE（对应边相等）；∠ACB＝∠ACE＝90°（对应角相等）； 2 新直角三角形：折叠后形成新的直角三角形（如Rt△CDE），其边长可通过原三角形的边长推导。 【典例1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理． 先根据勾股定理求出的长，再由图形折叠的性质可知，，故可得出结论． 【详解】解：∵是直角三角形，两直角边，， ∴， ∵由折叠而成， ∴． 故答案为：． 【练习1】如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上的点处，折痕与交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． 由折叠得，，，可得，利用勾股定理求出长，可得长，设，，，在中，利用勾股定理列方程可求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠得：，，， ∴， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴ 故答案为： 【练习2】如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【练习3】如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 【题型3】折叠问题与一次函数的综合 折叠问题与一次函数的综合题，解题的关键是将折叠的几何性质与一次函数的代数表达式结合，通过“几何分析＋代数计算”解决问题。核心思路可归纳为以下8个步骤： 1. 找：确定折叠的对称轴（折痕）：折叠问题中，折痕是对称轴，需先明确折痕的位置（如题目中给出的直线、或通过折叠条件推导的直线）。 2. 标：标注折叠后的对应关系：根据折叠的性质，标注对应点、对应边、对应角。 3. 设：设未知数（关键变量）：根据题目要求，设未知量（如折叠后点的坐标、线段长度）。 4. 表：用一次函数表示点的坐标：将折叠后的点坐标与一次函数解析式结合，用k、b或未知数表示点的坐标。 5. 找：寻找等量关系（几何＋代数）：通过折叠性质（对应边相等、对应角相等）和一次函数（点在直线上），寻找等量关系。常见的等量关系包括：折叠后对应边相等；折叠后对应角相等；点在一次函数上；勾股定理。 6. 列：列方程（或方程组：根据找到的等量关系，列方程（或方程组）。 7. 求：解方程（或方程组）：解出方程（或方程组）中的未知数（如k、b、点的坐标、线段长度）。 8. 验：验证结果的合理性：检查解出的结果是否符合题目条件（如点是否在折叠后的图形上、线段长度是否为正）。 【典例1】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，轴对称的性质，点的坐标，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，得到，，求出， 当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为，求出，，根据勾股定理，得到，求出，则当点A落在y轴上时，点C的坐标为，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为， 将沿所在的直线折叠，点A落在y轴上时，如图 ∴， ， ∴， ∴ ∴当点A落在y轴上时，点C的坐标为 故答案为：． 【练习1·分情况讨论】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为____． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用轴对称的性质，勾股定理解题是关键． 分两种情况讨论：当A点落在y轴正半轴上处时，在中，，求出m；当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 在中， ，求出m；即可求解． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连结， ∵A与关于对称， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 【练习2】一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． (1)求直线的表达式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行列式计算，得出直线的表达式为， （2）先得出，再结合折叠性质得，，运用勾股定理列式计算，得，即可得的长． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点． ∴， 解得， ∴直线的表达式：． （2）解：∵点和点． ∴， 则， ∵将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． ∴，，， 则，， ∴， 故在中，， ∴， 解得， 则． 【练习3】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题01利用勾股定理解决折叠问题（3大基本题型) 专题概览 题型1：长方形折叠 题型2：直角三角形折叠 题型3：折叠问题与一次函数的综合 核心知识点总结 一、折叠问题的本质：轴对称变换 折叠是一种轴对称变换，折痕为对称轴。折叠前后的图形满足： 1.对应边相等：如折叠后点C与点C'重合，则BC=BC',AC=AC'; 2. 对应角相等：如∠C=∠C',∠B=∠B'; 3.对称轴垂直平分对应点连线：折痕垂直平分折叠后重合点的连线（如折痕EF垂直平分BD,当点 B与点D重合时)。 这些性质是解决折叠问题的核心依据，需通过画图明确对应关系（建议用不同颜色标注折叠前后的 图形)。 二、解决折叠问题的核心方法：勾股定理十方程思想 折叠问题中，未知边长通常通过“构造直角三角形十勾股定理”求解。具体步骤如下： 1.设未知数：设所求线段长为x: 2.用含x的代数式表示其他边长：根据折叠性质，将未知边用x表示； 3.构造直角三角形：找到折叠后形成的新直角三角形： 4.列勾股定理方程：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； 5.解方程求x:解一元一次方程，得到未知边长。 三、常见折叠模型及应用 1.长方形折叠：对角线折叠（点B与点D重合） (I)模型特征：长方形ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，折痕EF垂直平分BD。 G (2)核心结论：BE=DE(折叠性质)；EF⊥BD(对称轴垂直平分对应点连线)；构造Rt△ABE(或 Rt△DFE),用勾股定理列方程 2.直角三角形折叠：直角边折叠至斜边 (I)模型特征：直角三角形ABC(∠A=90°)沿折痕BE折叠，使直角边AB落在斜边BC上，形成 新的直角三角形CDE。 夕 A E (2)核心结论：AE=DE(折叠性质)；AB=BD(折叠性质)；∠BDE=90°（折叠性质），故△BDE 为直角三角形。 四、折叠问题与一次函数的综合 1.折叠问题的核心性质（轴对称）：折叠是一种轴对称变换，折痕所在直线为对称轴，折叠前后的 图形全等。因此： (1)对应边相等：折叠后重合的线段长度不变； (2)对应角相等：折叠后重合的角大小不变； (3)折痕是对称轴：折痕垂直平分对应点的连线。 2.一次函数的核心知识点 (1)解析式求解：通过已知点坐标（如折叠后的对应点、与坐标轴的交点）代入y=a十b(k≠0)， 解方程组求斜率k和截距b: (②图像与坐标轴的交点：令y=0,解行x=冬，即与x维的交点为(-免.0：令x=0,与y轴的交点 得(0，b) (3)函数的应用：通过一次函数表示点的坐标（如折叠后点的坐标满足某直线解析式），结合如勾股 定理解决问题。 3.综合应用的关键工具 / ()勾股定理：折叠后形成的直角三角形（如矩形折叠后，折痕与边形成的直角三角形）中，用勾股 定理列方程求解未知边长： (2)方程思想：通过设未知数（如折叠后点的坐标、线段长度），结合折叠性质和一次函数解析式， 建立方程求解。 题型归纳 【题型1】长方形折叠 核心特征：长方形沿某条直线折叠，对应顶点边重合，常涉及对角线折叠“顶点折叠到对边”“折 痕为对称轴”等模型。 核心思路：利用长方形性质（对边相等、四个角为直角）与折叠性质（对应边/角相等），构造直角 三角形，通过勾股定理列方程求解。 1,长方形对角线折叠（点B与点D重合）》 (I)模型描述：长方形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，求折痕EF的长或相关线段长度。 D B (2)核心结论： ①折叠性质：BG=DC,BE=DE,GF=CF,∠G=∠C=90°； ②勾股定理：在Rt△AEB中，BE?=AB2十AE; ③ 折痕EF垂直平分BD(对称轴性质)。 2. 长方形顶点折叠到对边（点B折叠到AD边的E点） (I)模型描述：长方形ABCD中，将点C沿某直线折叠，落在AD边的F点，折痕为MN,求CF的 长或相关线段长度。 (2)核心结论： ①折叠性质：BM=MG(对应边相等)，∠GFN=∠BCN=90°（对应角相等）； ②勾股定理：在Rt△DNF中，DNP十DF2=NF2;在Rt△ABF中，AB2十AF2=BF2。 【典例1】如图，将一个边长分别为16cm,8cm的长方形ABCD纸片折叠，使点C与点A重合，折痕分 别交BC、AD于点E、F,则BE的长是() E A.8cm B.7cm C.6cm D.5cm 【练习I】如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后 顶点D恰好落在边0C上的点F处，若点D的坐标为(5,4)，求点E的坐标. 【练习2】如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在边AB,CD上，沿着MN折叠长 方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处. B(M) N 图1 图2 (I)如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN=_ (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为_· 【练习3】一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片ABCD放在平面直 角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，AB=8,AD=6,P为边CD上一 动点，连接BP,将△BCP沿BP折叠，点C落在点C处. D(P) OA)川 B (4) (A) B 图1 C'图2 备用图 (I)如图1，连接BD,当点C在线段BD上时，求点P的坐标. (2)如图2，当点P与点D重合时，沿BD将△BCD折叠得△BC'D,DC'与x轴交于点E,求aODE的 面积， (3)是否存在点P,使得点C到长方形的两条较长边的距离之比为1：5？若存在，直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由 【题型2】直角三角形折叠 核心特征：直角三角形沿某条直线折叠，直角边或斜边重合，常涉及直角边折叠到斜边“斜边折叠 到直角边”等模型。 核心思路：利用直角三角形性质（勾股定理、两锐角互余）与折叠性质（对应边/角相等），构造新 直角三角形，通过勾股定理列方程求解。 1.直角边折叠到斜边（点A折叠到斜边BC上的D点） (I)模型描述：Rt△ABC中，∠A=90°，将点A沿BE折叠，落在斜边BC上的D点，求CD的长 或相关线段长度。 E (2)核心结论： ① 折叠性质：AB=BD(对应边相等)，∠AEB=∠BED=90°（对应角相等）； ② 勾股定理：在Rt△CDE中，CD2+DE=CE;在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2。 2.斜边折叠到直角边（点A折叠到直角边BC上的E点） (①)模型描述：将直角三角形的斜边沿某条直线折叠，使斜边的端点（或整条斜边）落在直角边上， 形成新的直角三角形。 / B C D (2)核心结论： ①折叠性质：AB=BE(对应边相等)；∠ACB=∠ACE=90°（对应角相等）； ②新直角三角形：折叠后形成新的直角三角形（如Rt△CDE)，其边长可通过原三角形的边长推导。 【典例1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm,BC=10cm,将ABC折叠，使点B与 点A重合，折痕DE,则AE的长为 C =.B 【练习1】如图，在直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，折叠纸片使得点A落在BC边上的点D处，折 痕与AC交于点E,若AB=5,AC=I2,则△ABE的面积为 O A E 【练习2】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=15,AC=12.D为AC边上一点，连接 BD.将△ABD沿BD折叠，若点A恰好落在线段BC的延长线上的点E处，连接DE,则DE的长为 【练习3】如图，在RtAABC中，∠C=90°，AC=12,BC=10,D是BC的中点，E是AC边上一动 点.将aCDE沿DE所在直线折叠得到AC'DE·当△AEC是直角三角形时，AC'的长为_ / 【题型3】折叠问题与一次函数的综合 折叠问题与一次函数的综合题，解题的关键是将折叠的几何性质与一次函数的代数表达式结合，通 过“几何分析+代数计算”解决问题。核心思路可归纳为以下8个步骤： 1.找：确定折叠的对称轴（折痕）：折叠问题中，折痕是对称轴，需先明确折痕的位置（如题目中 给出的直线、或通过折叠条件推导的直线)。 2.标：标注折叠后的对应关系：根据折叠的性质，标注对应点、对应边、对应角。 3. 设：设未知数（关键变量）：根据题目要求，设未知量（如折叠后点的坐标、线段长度）。 4.表：用一次函数表示点的坐标：将折叠后的点坐标与一次函数解析式结合，用k、b或未知数表示 点的坐标。 5.找：寻找等量关系（几何+代数）：通过折叠性质（对应边相等、对应角相等）和一次函数（点 在直线上)，寻找等量关系。常见的等量关系包括：折叠后对应边相等；折叠后对应角相等；点在一次 函数上；勾股定理。 6.列：列方程（或方程组：根据找到的等量关系，列方程（或方程组）。 7.求：解方程（或方程组）：解出方程（或方程组）中的未知数（如k、b、点的坐标、线段长度）。 8.验：验证结果的合理性：检查解出的结果是否符合题目条件（如点是否在折叠后的图形上、线段 长度是否为正)。 3 【典例1】如图，一次函数y=-二x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,C在x轴负半轴，连 4 接BC,将ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 A八 【练习1·分情况讨论】如图，一次函数y=-x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,C是x轴 上一动点，连接BC,将ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为： B A 【练习2】一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴、y轴分别相交于点A(-8,0)和点B(0,6).点C在线 段AO上，如图，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处. B D (I)求直线AB的表达式： (2)求AC的长. 【练习3】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=√3x+2√3的图象与x轴，y轴分别交于点A, C,∠ACO=30°，过点A作AB⊥x轴，垂足为A,过点C作CB⊥y轴，垂足为C,两条垂线相交于点 B E 图1 图2 (I)求线段AC的长： (2)如图2，将图1中的ABC折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点 D,交AC于点E,连接CD,求点D的坐标； (3)M是射线EC上的一个动点，过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N.请直接写出△AOC与 △MCN全等时，点M的坐标.