1.2菱形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册1.2菱形的性质与判定同步练，以“基础夯实+思维提升”分层设计，通过概念辨析、计算应用到综合证明的递进路径，巩固菱形性质与判定，培养几何直观、推理能力及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|菱形定义、性质（边/角/对角线/对称性）、判定（边/对角线）|选择填空聚焦概念辨析（如第1题定义判断）和基础计算（如第3题对角线求周长），强化性质直接应用| |思维提升|性质与判定综合、与平行四边形/直角三角形结合、实际应用|解答题设计证明推理（如第16题证DM=DN）、折叠情境（第18题）及实际问题（第15题标志牌计算），发展逻辑推理与模型意识|

1.2 菱形的性质与判定 · 同步练习 x² 北师大版 · 九年级数学上册 第1章 · 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 同 步 练 习 · 满分：100分 | 建议用时：45分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1．下列说法正确的是（ ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAC=32°，则∠ADB的度数为（ ） A．32° B．58° C．64° D．116° 3．一个菱形的两条对角线长分别为10 cm和24 cm，则它的周长为（ ） A．34 cm B．48 cm C．52 cm D．60 cm 4．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。添加下列条件后，不能判定▱ABCD是菱形的是（ ） A．AB=AD B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD 5．某学习小组要检验一个平行四边形框架是否为菱形。甲测得AB=BC；乙测得AC⊥BD；丙测得AC=BD；丁测得∠A=90°。其中能据此判定框架为菱形的是（ ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丁 D．丙、丁 6．关于菱形，下列结论：①四条边相等；②两条对角线相等；③两条对角线互相垂直；④每一条对角线平分一组对角；⑤是轴对称图形。其中正确的有（ ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB于点E。若AC=16 cm，BD=12 cm，则OE的长为（ ） A．2.4 cm B．4.8 cm C．9.6 cm D．10 cm 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD的中点。若菱形ABCD的周长为20 cm，则OH的长为（ ） A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．5 cm 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=48°，对角线AC平分∠DAB，则∠BAC=________。 10．一个菱形的周长为20 cm，两条对角线长之比为3∶4，则这个菱形的面积为________ cm²。 11．一个菱形的一条对角线长为6 cm，面积为24 cm²，则另一条对角线长为________ cm，周长为________ cm。 12．如图，已知▱ABCD，要使▱ABCD成为菱形，请再添加一个适当条件：________________________。（写出一个即可） 13．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，则两条对角线所在的直线都是它的________，点O是它的________。 14．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6 cm，对角线AC、BD相交于点O，则OA=________ cm。 三、解答题（共5题，共58分） 15．（12分）某校园制作一块菱形主题标志牌，两条对角线长分别为1.2 m和1.6 m，如图。 （1）求标志牌的面积；（4分） （2）求标志牌的边长和周长；（4分） （3）若正面覆膜每平方米75元，四周金属包边每米20元，均不计损耗，求覆膜与包边的合计费用。（4分） 16．（10分）如图，在菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N。 （1）求证：DM=DN；（4分） （2）求证：AM=CN。（6分） 17．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，过点A作AE∥CD，过点C作CE∥AB，AE与CE相交于点E。 （1）求证：四边形ADCE是菱形；（8分） （2）若AC=6 cm，BC=8 cm，求菱形ADCE的面积。（4分） 18．（12分）如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B恰好与点D重合，设AC与BD相交于点O。 （1）根据折叠过程，写出AC与BD的位置关系，并写出OB与OD的数量关系；（4分） （2）判断平行四边形ABCD的形状，并说明理由；（4分） （3）若∠BAD=74°，求∠BAC和∠ABC的度数。（4分） 19．（12分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB，交BC于点E；BF平分∠ABC，交AD于点F，连接EF。 （1）求证：四边形ABEF是菱形；（8分） （2）若AB=4 cm，∠ABC=60°，求菱形ABEF的周长和∠AEF的度数。（4分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 步骤完整 · 易错点明确 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．C　2．B　3．C　4．D　5．A　6．C　7．B　8．B 1．答案：C 解析：四条边都相等的四边形可判定为菱形。A、B都缺少“平行四边形”等必要条件；D“对角线相等的平行四边形”只能判定为矩形，不能保证是菱形。 易错提醒：判定定理要连同前提一起使用，不能只抓住“邻边相等”或“对角线垂直”这几个字。 2．答案：B 解析：AC平分∠DAB，所以∠DAB=2∠BAC=64°。菱形是平行四边形，邻角互补，故∠ADC=180°−64°=116°。又BD平分∠ADC，所以∠ADB=58°。 易错提醒：本题连续使用“对角线平分对角”和“邻角互补”两条性质。 3．答案：C 解析：设两条对角线交于O，则AO=5 cm，BO=12 cm，且∠AOB=90°。在Rt△AOB中，AB=13 cm，因此菱形周长为4×13=52 cm。 易错提醒：计算边长时使用的是两条“半对角线”构成的直角三角形。 4．答案：D 解析：在平行四边形中，一组邻边相等可判定为菱形；两条对角线互相垂直也可判定为菱形。A、B、C均满足相应判定条件；AC=BD只能说明该平行四边形是矩形。 易错提醒：“对角线垂直”对应菱形，“对角线相等”对应矩形，容易混淆。 5．答案：A 解析：题设已经确定框架是平行四边形。甲测得一组邻边相等，可判定为菱形；乙测得两条对角线互相垂直，也可判定为菱形。丙、丁得到的条件更符合矩形的判定特征。 易错提醒：做“检测方法”题，先看已经知道的四边形类型，再选用相应判定定理。 6．答案：C 解析：①③④⑤均为菱形的性质；②“两条对角线相等”不是一般菱形必有的性质。因此正确结论共有4个。 易错提醒：菱形的两条对角线若再满足相等，则该菱形是正方形。 7．答案：B 解析：AO=8 cm，BO=6 cm，且AC⊥BD，所以AB=10 cm。S△AOB=AO×BO÷2=24 cm²。又OE⊥AB，所以S△AOB=AB×OE÷2，即24=10×OE÷2，解得OE=4.8 cm。 易错提醒：OE不是菱形的整条高，而是对角线交点到一条边的距离。 8．答案：B 解析：菱形周长为20 cm，所以AB=5 cm。O是BD的中点，H是AD的中点。在△ABD中，OH连接两边的中点，因此OH=AB÷2=2.5 cm。 易错提醒：本题把菱形“对角线互相平分”与三角形中位线知识结合起来。 二、填空题（详细解析） 9．答案：66° 解析：∠DAB=180°−48°=132°。AC平分∠DAB，所以∠BAC=132°÷2=66°。 10．答案：24 解析：菱形边长为20÷4=5 cm。设两条对角线为3x、4x，则半对角线为1.5x、2x。由勾股定理：(1.5x)²+(2x)²=5²，解得x=2，所以两条对角线为6 cm、8 cm，面积为24 cm²。 11．答案：8，20 解析：由菱形面积=两条对角线乘积的一半，得另一条对角线长为8 cm。半对角线分别为3 cm、4 cm，边长为5 cm，所以周长为20 cm。 12．答案：AB=BC（答案不唯一） 解析：因为题目已知ABCD是平行四边形，只需再满足“一组邻边相等”即可判定为菱形，所以可添加AB=BC（或AB=AD等）。也可以添加AC⊥BD，利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定。 13．答案：对称轴，对称中心 解析：菱形的每一条对角线所在的直线都是它的一条对称轴；两条对角线的交点O是它的对称中心。 14．答案：3 解析：AC平分∠BAD，所以∠BAO=60°；又AC⊥BD，因此△AOB是直角三角形。AB=6 cm，∠BAO=60°，所以∠ABO=30°，在30°角所对的直角边为斜边一半，故OA=3 cm。 三、解答题（详细解答） 15．解： 设菱形ABCD的两条对角线AC=1.2 m，BD=1.6 m，交于点O。 （1）S菱形ABCD=×AC×BD=×1.2×1.6=0.96（m²）。 答：标志牌的面积为0.96 m²。 （2）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AO=CO=0.6 m，BO=DO=0.8 m，且AC⊥BD。 ∴ ∠AOB=90°。 在Rt△AOB中，由勾股定理， AB=√(AO²+BO²)=√(0.6²+0.8²)=1（m）。 ∴ 菱形ABCD的周长为4AB=4×1=4（m）。 答：标志牌的边长为1 m，周长为4 m。 （3）覆膜费用为0.96×75=72（元）， 包边费用为4×20=80（元）， ∴ 合计费用为72+80=152（元）。 答：覆膜与包边的合计费用为152元。 16． （1）证明： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ BD平分∠ABC（菱形的对角线平分一组对角）， ∴ ∠DBM=∠DBN。 ∵ DM⊥AB，DN⊥BC， ∴ ∠DMB=∠DNB=90°。 在△DBM和△DBN中， ∠DBM=∠DBN，∠DMB=∠DNB，DB=DB， ∴ △DBM≌△DBN（AAS）， ∴ DM=DN（全等三角形的对应边相等）。 （2）证明： 由（1）知△DBM≌△DBN， ∴ BM=BN（全等三角形的对应边相等）。 ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC。 又∵ M在AB上，N在BC上， ∴ AM=AB−BM，CN=BC−BN， ∴ AM=CN。 17． （1）证明： ∵ D为Rt△ABC斜边AB的中点， ∴ AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。 ∵ CE∥AB，且A、D、B三点在同一直线上， ∴ AD∥CE。 又∵ AE∥CD， ∴ 四边形ADCE是平行四边形。 ∵ AD=CD， ∴ 平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 （2）解： S△ABC=×AC×BC=×6×8=24（cm²）。 ∵ D为AB的中点， ∴ CD是△ABC的中线， ∴ S△ADC=S△ABC=12（cm²）。 ∵ AC是菱形ADCE的一条对角线， ∴ S菱形ADCE=2S△ADC=24（cm²）。 答：菱形ADCE的面积为24 cm²。 18． （1）解： 由折叠的性质可知，点B与点D关于直线AC对称， ∴ AC垂直平分BD， ∴ AC⊥BD，OB=OD。 （2）证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 （3）解： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC平分∠BAD， ∴ ∠BAC=74°÷2=37°。 又∵ AD∥BC， ∴ ∠BAD+∠ABC=180°， ∴ ∠ABC=180°−74°=106°。 答：∠BAC=37°，∠ABC=106°。 19． （1）证明： ∵ AE平分∠DAB， ∴ ∠BAE=∠EAD。 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC。 ∴ ∠EAD=∠AEB， ∴ ∠BAE=∠AEB， ∴ AB=BE。 ∵ BF平分∠ABC， ∴ ∠ABF=∠FBC。 ∵ AF∥BC， ∴ ∠FBC=∠BFA。 ∴ ∠ABF=∠BFA， ∴ AB=AF。 ∵ AB=BE， ∴ AF=BE。 又∵ AF∥BE， ∴ 四边形ABEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 ∵ AB=BE， ∴ 平行四边形ABEF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 （2）解： ∵ 四边形ABEF是菱形，AB=4 cm， ∴ 菱形ABEF的周长为4×4=16（cm）。 ∵ E在BC上，∠ABC=60°， ∴ ∠ABE=60°。 又∵ 四边形ABEF是菱形， ∴ ∠ABE+∠AEF=180°， ∴ ∠AEF=120°。 答：菱形ABEF的周长为16 cm，∠AEF=120°。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $