专题01 图形的轴对称13大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“概念识别-性质应用-实践作图”为主线，系统覆盖轴对称核心题型，提炼“折叠转化”“对称性质迁移”等方法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |轴对称图形识别|1典例+3变式|找对称轴判重合，记特殊图形对称轴条数|从概念到辨析，建立轴对称图形认知| |成轴对称特征|1典例+3变式|对应边角相等，对称轴垂直平分对应点连线|特征判断到计算，深化对称性质理解| |折叠问题|1典例+3变式|标注等量边角，结合内角和、勾股定理推导|轴对称性质在动态问题中的应用| |垂直平分线|2题型各1典例+3变式|性质得线段相等，判定用两点距离等|从性质到判定，构建逻辑闭环| |作图应用|4题型各1典例+3变式|尺规作图保留痕迹，依据对称性质操作|从理论到实践，培养空间观念|

专题01 图形的轴对称 （题型突破·举一反三） 题型01 轴对称图形的识别 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型04 台球桌面上的轴对称问题 题型05 轴对称中的光线反射问题 题型06 折叠问题 题型07 线段垂直平分线的性质 题型08 线段垂直平分线的判定 题型09 命题 题型10 作已知线段的垂直平分线 题型11 作垂线 题型12 画对称轴 题型13 求对称轴条数 ▌题型01 轴对称图形的识别 判断轴对称图形，关键找一条直线，沿直线对折后直线两旁部分能完全重合。这条直线就是对称轴。注意：平行四边形不是轴对称图形；等腰三角形 1 条、等边三角形 3 条、矩形 2 条、圆无数条。只需找到至少一条对称轴即为轴对称图形。 【典例】（2026·云南·中考真题）下列四个图形中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点， 由图可知点． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ ▌题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 成轴对称的两个图形，对应边相等、对应角相等，对称轴垂直平分两组对应点连线。解题时先标记相等线段与角，利用等量代换计算角度、线段长；折叠问题本质是轴对称，可借助性质转化条件，结合三角形内角和、勾股定理列式求解。 【典例】（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________． ▌题型04 台球桌面上的轴对称问题 【典例】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【变式2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） ▌题型05 轴对称中的光线反射问题 【典例】（25-26六年级下·山东烟台·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称．         (1)在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） (2)如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： (1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． (2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． ▌题型06 折叠问题 折叠的本质是轴对称，折叠前后对应角、对应边完全相等，折痕为对称轴且平分对应点连线。解题先标注所有等量边角，依托平角、三角形内角和、等腰三角形性质推导角度，利用线段等量代换求边长，梳理隐藏相等关系即可解题。 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图①是长方形纸条，点E，F在和上，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_____ 【变式2】（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． ▌题型07 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等。解题看到垂直平分线，直接得到线段相等，进而得到等腰三角形、等角。常用于转化线段周长，进行等量代换；结合三角形内角和求角度，注意区分垂直平分线与垂线的不同含义。 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 【变式2】（25-26八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【变式3】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． ▌题型08 线段垂直平分线的判定 【典例】（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【变式2】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． ▌题型09 命题 【典例】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 【变式1】（25-26八年级下·四川雅安·期中）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【变式2】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【变式3】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． ▌题型10 作已知线段的垂直平分线 作线段垂直平分线，用圆规分别以线段两端为圆心，大于半线段长为半径画弧，上下得两组交点，连接交点即为垂直平分线。作图依据：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上。作图要保留弧痕，可用来找中点、构造等腰三角形。 【典例】（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格图中，按下述要求画图并回答问题： (1)过点C画出线段的垂线，垂足为点D； (2)量出点C到线段所在直线的距离（精确到1）； (3)画出线段的垂直平分线． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【变式3】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． ▌题型11 作垂线 【典例】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点和点为圆心、相同长度为半径作弧，两弧分别相交于点和点；②作直线．则直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，的值可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东青岛·中考真题）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 【变式2】（2025·内蒙古赤峰·三模）解答以下问题 (1)尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) (2)若，，求四边形的面积． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线． （1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点； （2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点； （3）作直线，交于点，顺次连结、、、． 直线就是所要求作的垂线． 给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为． 以上结论正确的序号为______． ▌题型12 画对称轴 【典例】（25-26七年级下·全国·单元复习）分别画出如图所示图形的对称轴． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）已知五边形是轴对称图形，是一组对称点，仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)若点在上，在图①中作出五边形的对称轴和点的对称点； (2)为平面内任意一点，直线是五边形的对称轴． ①若点在五边形内，在图②中作出点关于直线的对称点； ②若点在五边形外，用两种方法在图③中作出点关于直线的对称点． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知：如图，在中，，作边上的高，并延长至点G，使，连接，作边上的高，并延长至点F，使，连接，与交于点H． (1)按照上述语句，用尺规作图，补全图形． (2)与的数量关系如何？证明你的结论． (3)补全后的图形是轴对称图形吗？若是，请画出对称轴，并指明对称轴；若不是，请说明理由． ▌题型13 求对称轴条数 【典例】（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）如图，该轴对称图形的对称轴有______条． 【变式1】（24-25七年级上·上海静安·期末）在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 图形的轴对称 （题型突破·举一反三） 题型01 轴对称图形的识别 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型04 台球桌面上的轴对称问题 题型05 轴对称中的光线反射问题 题型06 折叠问题 题型07 线段垂直平分线的性质 题型08 线段垂直平分线的判定 题型09 命题 题型10 作已知线段的垂直平分线 题型11 作垂线 题型12 画对称轴 题型13 求对称轴条数 ▌题型01 轴对称图形的识别 判断轴对称图形，关键找一条直线，沿直线对折后直线两旁部分能完全重合。这条直线就是对称轴。注意：平行四边形不是轴对称图形；等腰三角形 1 条、等边三角形 3 条、矩形 2 条、圆无数条。只需找到至少一条对称轴即为轴对称图形。 【典例】（2026·云南·中考真题）下列四个图形中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．图形沿着一条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，故此选项符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 【答案】A 【详解】解：A、成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图，正确，故本选项符合题意； B、若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴，说法错误，对称轴是直线而不是线段，故本选项不符合题意； C、所有直角三角形都不是轴对称图形，说法错误，等腰直角三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、两个内角相等的三角形不是轴对称图形，说法错误，两个内角相等的三角形是等腰三角形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 【答案】 【分析】先根据题意建立直角坐标系，再利用轴对称图形的性质找到放置的点的位置，再写出坐标即可． 【详解】由棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方子的位置用表示， 如图，建立直角坐标系， 要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点， 由图可知点． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念，轴对称，根据轴对称的定义逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当三个圆心不构成特殊三角形时不是轴对称图形，如图， ∴这个图形可能不是轴对称图形，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离不相等时，只有一条对称轴， ∴这个图形可能只有一条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离相等时，有两条对称轴， ∴这个图形可能有两条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心构成等边三角形时有三条对称轴，如图， ∴这个图形可能有三条对称轴，故此说法正确，符合题意； 只有三个圆重合时，有无数条对称轴， ∵两两都不重复， ∴这个图形不可能有无数条对称轴，故此说法错误，不符合题意； 综上正确， 故选：． ▌题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，图3中剪去的切口是斜向的，且没有经过折叠的顶点（即正方形的中心）．由于剪裁的斜线不是垂直或平行于折痕的，展开后的四边形是菱形，不会是正方形，将图4展开铺平后的平面图形是一个正方形中间有一个倾斜的菱形空洞．而且剪下的菱形的对角线与正方形的对角线共线，只有选项C符合． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，垂直平分， ∴，， 综上可知：①②④正确，③错误， 故选：C． ▌题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 成轴对称的两个图形，对应边相等、对应角相等，对称轴垂直平分两组对应点连线。解题时先标记相等线段与角，利用等量代换计算角度、线段长；折叠问题本质是轴对称，可借助性质转化条件，结合三角形内角和、勾股定理列式求解。 【典例】（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，三角形内角和，求解即可； 【详解】解：∵关于的对称线段是， ∴． ∵， ∴， ∵关于的对称线段是， ∴， ∴， ∴， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 【答案】 【详解】在中，，， ， 点在边上，点在边上，点与点关于直线对称， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________． 【答案】 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、交于，交于，的周长最小值等于的长，然后依据中，，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于，   ，，， 根据轴对称的性质可得，， 的周长的最小值， 由轴对称的性质可得， 中，， . ▌题型04 台球桌面上的轴对称问题 【典例】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为，重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【变式3】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30； （2）的余角是：； （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）； 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3） 略 （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． ▌题型05 轴对称中的光线反射问题 【典例】（25-26六年级下·山东烟台·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称．         (1)在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） (2)如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 【答案】(1)如图：对称轴即为所求； (2)90 【分析】（1）对称轴是入射光线与反射光线夹角的角平分线，尺规作图方法：以入射光线和反射光线的公共交点为圆心，任意长为半径画弧，分别交两条光线于两点；分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角内部交于一点；连接顶点和交点得到直线，即为所求对称轴，保留作图痕迹即可． （2）根据反射性质和平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：根据反射性质，可得：，， ∵， ∴， ∴， 化简得， 在中：． 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 【变式3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： (1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． (2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①根据光的反射规律得，结合平角的定义即可解答； ②由反射规律得，， 结合平行线的性质即可解答； （2）①由反射规律得，， 结合平角的定义即可求出，， 过点作，根据和平行线的性质得出即可求解； ②设，，由反射规律得，， 则，，同①可得，再表示出，即可解答； 【详解】（1）解：①根据光的反射规律得：， ∵， ∴； ②由反射规律得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得； （2）解：①由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ②设，， 由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴（或等价形式等也正确）． ▌题型06 折叠问题 折叠的本质是轴对称，折叠前后对应角、对应边完全相等，折痕为对称轴且平分对应点连线。解题先标注所有等量边角，依托平角、三角形内角和、等腰三角形性质推导角度，利用线段等量代换求边长，梳理隐藏相等关系即可解题。 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠确定，，利用邻补角的关系求出，进而求出，的度数，再根据三角形外角的定义求出，又利用邻补角的关系求出，即得，问题随之得解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图①是长方形纸条，点E，F在和上，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_____ 【答案】 【分析】利用平行线的性质及折叠的性质即可求解． 【详解】解：由图①，∵， ∴， ∴， ∵将纸带沿折叠成图②， ∴， ∵纸带沿折叠成图③， ∴． 【变式2】（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，利用平角的定义可得，进而得出，解得，，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 【答案】(1) (2)证明：在中，，， ， 由翻折可得，， ， ， ， ， ． (3)的度数为，或 【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求解； （2）根据翻折可得，再利用垂直可得，即可证明； （3）分类讨论，当时、时，当时，结合三角形的内角和和外角的性质解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵沿翻折后得到， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图1， 当时， ∴， ∴， ∴； 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为、或． ▌题型07 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等。解题看到垂直平分线，直接得到线段相等，进而得到等腰三角形、等角。常用于转化线段周长，进行等量代换；结合三角形内角和求角度，注意区分垂直平分线与垂线的不同含义。 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点E作交的延长线于点H，求出，然后利用角平分线的性质定理求解； （2）连接，，首先证明，得到，推出，然后证明，得到，即证明． 【详解】（1）解：如图，过点E作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点E到的距离； （2）略 【变式2】（25-26八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)5 【分析】（1）利用证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直平分得，为等腰三角形，，故．由垂直平分得，为等腰三角形，为的外角，故，． （2）由（1）得．，周长为20，，得，即，可得． 【详解】（1）解：， ∴垂直平分， ， 为等腰三角形． ， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形， ． ， ． （2）解：由（1）得，且， 周长 ， ，即， ，即． ▌题型08 线段垂直平分线的判定 【典例】（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 【变式2】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解即可． （2）证明，，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分． ▌题型09 命题 【典例】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 【答案】②（或③，取其一即可） 【分析】要说明小红的观点错误，只需找到一个原命题为真命题，交换题设与结论得到的逆命题为假命题的命题即可，依次判断四个命题即可得解． 【详解】解：①原命题“两直线平行，内错角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“内错角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，不符合要求； ②原命题“对顶角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题，符合反例要求； ③原命题“邻补角互补”是真命题，交换后逆命题“互补的角是邻补角”为假命题，也符合要求，题目要求选择一个即可； ④原命题“若，则”是假命题，当，时，满足但，原命题不是真命题，不符合要求． 【变式1】（25-26八年级下·四川雅安·期中）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【答案】C 【分析】先写出每个选项的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：选项A：原命题“全等三角形的对应角相等”是真命题，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题“若，则”是真命题，逆命题为“若，则”，是假命题，例如时但，不符合要求； 选项C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合要求； 选项D：原命题“若，则”是假命题，时也可以是，不符合要求； 【变式2】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式3】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）略． （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． ▌题型10 作已知线段的垂直平分线 作线段垂直平分线，用圆规分别以线段两端为圆心，大于半线段长为半径画弧，上下得两组交点，连接交点即为垂直平分线。作图依据：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上。作图要保留弧痕，可用来找中点、构造等腰三角形。 【典例】（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】连接,作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为加油站的位置． 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格图中，按下述要求画图并回答问题： (1)过点C画出线段的垂线，垂足为点D； (2)量出点C到线段所在直线的距离（精确到1）； (3)画出线段的垂直平分线． 【答案】(1)解：所作垂足点D如图所示； (2)（若网格边长为） (3)解：所作线段的垂直平分线如图所示； 【分析】（1）借助网格特点作，再将向下平移个单位得到，记交于点，则，垂足为点D； （2）直接测量并按要求取精确值即可； （3）结合网格特点取线段中点，过点作，延长交网格于格点，则得到线段的垂直平分线． 【详解】（1）略 （2）解：若网格边长为，用直尺测量得点C到线段所在直线的距离为； （3）略 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)解：线段的垂直平分线，如图所示： (2)解：正确， 理由如下： 连接和，如图所示： ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ， 直线就是线段的垂直平分线． 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧交于两点，过这两点作直线即可作出线段的垂直平分线； （2）连接和，由尺规作图得到，，由全等三角形的判定与性质得到、，结合垂直平分线定义即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型11 作垂线 【典例】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点和点为圆心、相同长度为半径作弧，两弧分别相交于点和点；②作直线．则直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选项D符合题意． 【变式1】（2026·山东青岛·中考真题）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 【答案】解：如图，为所求． 【分析】由于点到边，的距离相等，则点D在的平分线上，因此根据作角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线，交于点D．由于，则，根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作的垂线，交于点E，则为所求． 【详解】略 【变式2】（2025·内蒙古赤峰·三模）解答以下问题 (1)尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)如图所示：点D是点C关于斜边的对称点，，，为所求作线段， (2) 【分析】（1）利用作关于直线的对称三角形，得到点D的位置，再连线即可； （2）利用四边形的面积等于的面积的2倍求面积． 【详解】（1）证明：由作图可知：，， 故点和点都在的垂直平分线上，即垂直平分， ∴点D是点C关于斜边的对称点； （2）解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴四边形的面积等于的面积的2倍， ∴四边形的面积为：． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线． （1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点； （2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点； （3）作直线，交于点，顺次连结、、、． 直线就是所要求作的垂线． 给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为． 以上结论正确的序号为______． 【答案】①②③ 【分析】根据作图可得是的垂直平分线，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据作图可得，，， ∴是的垂直平分线 ∴，故①正确， ，， ∴点与点关于直线对称；故②正确， ∵， 若，则四边形的周长为，故③正确， ∵， ∴四边形的面积为，故④不正确． 综上所述，正确的序号为①②③． ▌题型12 画对称轴 【典例】（25-26七年级下·全国·单元复习）分别画出如图所示图形的对称轴． 【答案】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这条直线就是该轴对称图形的对称轴，根据轴对称的定义画出图形即可． 【详解】略 【变式1】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）已知五边形是轴对称图形，是一组对称点，仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)若点在上，在图①中作出五边形的对称轴和点的对称点； (2)为平面内任意一点，直线是五边形的对称轴． ①若点在五边形内，在图②中作出点关于直线的对称点； ②若点在五边形外，用两种方法在图③中作出点关于直线的对称点． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】（1）连接交于点，过点、点作直线，直线即为所求对称轴，连接交直线于点，连接并延长交于点，点即为点的对称点； （2）①作射线交直线于点，作射线交直线于点，连接交于点，点即为点关于直线的对称点； ②连接交直线于点，连接交直线于点，作射线和射线，交于点，点即为点关于直线的对称点． 【详解】（1）解：连接交于点，过点、点作直线，直线即为所求对称轴， 连接交直线于点，连接并延长交于点，点即为点的对称点； 理由：是一组对称点， 由图，也是一组对称点，点在对称轴上， 对称轴经过的交点， 直线即直线为所求对称轴； 点和点关于直线对称，点在上， 点在上， 则连接交直线于点，连接并延长交于点，即可确定点的位置； （2）解：①作射线交直线于点，作射线交直线于点，连接交于点，点即为点关于直线的对称点； 理由：点关于直线对称， ， ， 同理得，， ， ， ， 点和点关于直线的对称； ②连接交直线于点，连接交直线于点，作射线和射线，交于点，点即为点关于直线的对称点； 理由：如图，记直线与交于点， 点关于直线对称， ， ， ， ，即， 同理得，， ， ， ， 点和点关于直线的对称． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可； （2）延长与直线m相交，作夹角的平分线即可； （3）分别以点B为圆心，以为半径和以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点． 【详解】（1）解：如图1所示，直线即为所求 （2）解：如图2所示，直线即为所求 （3）解：如图3所示，点即为所求 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知：如图，在中，，作边上的高，并延长至点G，使，连接，作边上的高，并延长至点F，使，连接，与交于点H． (1)按照上述语句，用尺规作图，补全图形． (2)与的数量关系如何？证明你的结论． (3)补全后的图形是轴对称图形吗？若是，请画出对称轴，并指明对称轴；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 由题意，作图如下： (2)， 证明如下： 由作图可知：垂直平分，垂直平分， ，． 又， ． (3)补全后的图形是轴对称图形，对称轴为直线，如（1）中的图所示． 【分析】本题考查尺规作图--作垂线，作线段，中垂线的性质，画对称轴： （1）根据题意，利用尺规作垂线和尺规作线段的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，得到，，再根据即可得证； （3）根据轴对称的性质，进行判断，画出对称轴即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ▌题型13 求对称轴条数 【典例】（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）如图，该轴对称图形的对称轴有______条． 【答案】 3 【分析】根据题意可知过圆心，且经过三角形的顶点的直线即为对称轴，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，对称轴有3条． 【变式1】（24-25七年级上·上海静安·期末）在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】本题考查轴对称图形和圆与圆的位置关系，掌握以上知识是解题关键； 根据三个圆的圆心的位置关系，分别作图进行讨论，逐一分析即可求解； 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，分析图②的特征，确定对称轴的数量即可． 此题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，    故答案为：4． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $