2027届高三新高考数学一轮复习考点训练03一元函数的导数及其应用 （新高考）

**基本信息** 聚焦一元函数导数应用七大核心考点，以题组形式覆盖单调性讨论、切线问题、恒成立等高频考法，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |含参函数单调性讨论|5解答题|已知单调求参、讨论单调性|导数与函数单调性的判定关系，分类讨论参数| |导数几何意义|8题（5单选+3填空）|在点/过点切线、公切线求参|导数几何意义的直接应用与逆向求解| |恒成立、存在性问题|6解答题|恒成立求参、存在性问题|函数最值与参数范围的转化，构造函数思想| |函数零点问题|6解答题|零点个数、隐零点应用|导数研究函数图像与零点存在性定理结合| |极值、最值|8题（2单选+2多选+2填空+2解答）|极值判定、闭区间最值|导数与函数极值、最值的关系及应用| |导数证明不等式|6解答题|构造辅助函数、简单放缩|利用导数研究函数单调性证明不等式| |双变量问题|4解答题|零点相关双变量、极值点性质|双变量问题的转化与函数思想应用|

2027年高中数学一轮复习热点考点精练 03一元函数的导数及其应用 热点考点一：含参函数单调性讨论（含已知单调性求参数） 一、解答题 1．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数，求在上的值域． 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数． (1)若在R上单调递增．求实数m的取值范围； (2)若，求在上的值域． 3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 参考数据：. 4．（24-25高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数． (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)若，求在上的值域． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 热点考点二：导数几何意义：切线（在某点、过某点、公切线、切线求参） 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江·期末）曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．（25-26高二下·福建南平·期末）若曲线在点处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）曲线在处的切线方程为_________． 7．（2026·河北秦皇岛·二模）曲线在点处的切线与直线平行，则________. 8．（25-26高三上·安徽·期中）若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_____. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 热点考点三：恒成立、存在性（能成立）求参数范围 一、解答题 1．（25-26高二下·北京西城·期末）已知函数，，，且曲线在点处的切线斜率为0． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 2．（25-26高二下·云南红河·期末）已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 3．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围． 4．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数； (1)求函数在处的切线方程； (2)函数（其中）是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； 6．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知三次函数，，若函数的图象在处的切线方程为 (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 热点考点四：函数零点问题（零点个数、零点存在定理、隐零点） 一、解答题 1．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知函数， (1)过点作曲线的切线，求切线的方程； (2)求函数的单调区间，并求函数在的值域； (3)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 2．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 3．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有1个零点，求的取值范围； (3)若是增函数，求的取值范围． 4．（25-26高二下·北京海淀·期末）已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点； (3)求函数的零点个数. 5．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)讨论在区间上的零点个数. 6．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，. (1)若1是的极值点，求实数的值； (2)若，求证：； (3)已知函数在上无零点，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 热点考点五：极值、最值（极值判定、极值点性质、闭区间最值） 一、单选题 1．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）若函数的最小值为，则（    ） A．1 B． C．e D． 二、多选题 3．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数在上单调递减 B．曲线在处的切线是 C．函数的最小值是 D．函数有且只有两个零点 4．（26-27高三上·河南·开学考试）设函数，则（    ） A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在区间上单调递减 三、填空题 5．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数在处取得极大值，则_________． 6．（26-27高三上·河北·开学考试）已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 四、解答题 7．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 8．（北京门头沟区2026-2027学年高三上学期9月学业水平阶段练习数学试题）已知函数，曲线在点处的切线为． (1)求，的值； (2)求的极值点的个数； (3)证明：除切点外，曲线在直线的上方． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 热点考点六：导数证明不等式（构造辅助函数、简单放缩） 一、解答题 1．（2026·四川巴中·模拟预测）已知函数，． (1)求证：；； (2)解不等式； (3)当时，求证：． 2．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数有唯一极值点； (3)求证：． 3．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）设函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②证明：． 4．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：对任意，都有. 5．（2026·湖北武汉·三模）已知函数． (1)当时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点、，求证：． 6．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若恒成立，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 热点考点七：双变量问题（零点相关双变量，弱化传统极值点偏移） 一、解答题 1．（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)设函数，若在定义域内恒成立，求的取值范围； (2)当时方程有两个实数根且．证明：． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）设函数． (1)若函数在点处的切线斜率为1，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点，，记过点，的直线斜率为，问：是否存在实数，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数 (1)求的所有极值点之和； (2)若，，，求的最小值； (3)求曲线过点的切线方程. 4．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)求的最小值； (2)若对，，使得，求实数的取值范围 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2027年高中数学一轮复习热点考点精练 03一元函数的导数及其应用 热点考点一：含参函数单调性讨论（含已知单调性求参数） 一、解答题 1．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数，求在上的值域． 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数． (1)若在R上单调递增．求实数m的取值范围； (2)若，求在上的值域． 3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 参考数据：. 4．（24-25高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数． (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)若，求在上的值域． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《1》参考答案 1．(1)； (2) 【分析】（1）由题得在上恒成立，接着分离参数，再转化成最值问题即可求解； （2）利用导数工具研究函数单调性，求出最值即可得解. 【详解】（1）由题， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，又在上恒成立，所以，即 所以实数的取值范围. （2）由题， 所以， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最大值为，最小值为. 所以函数的值域为. 2．(1)； (2). 【分析】（1）求导得，则恒成立，利用判别式即可得到答案； （2）代入，求导得到，再分析其单调性即可得到其最值. 【详解】（1）因为，所以． 因为在上单调递增，所以恒成立， 则，解得，即实数的取值范围是． （2）因为，则， 则， 由，得或；由，得． 可知在上单调递增，在上单调递减． 因为， 所以在上的值域为． 3．(1) （或近似值） (2) 【分析】（1）代入后求导，判断函数在给定区间的单调性，计算极小值与端点值比较得到值域； （2）由单调递减的性质得导数在上恒非正，分离参数后转化为求二次函数的最值，得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得：， 因，故，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取区间最小值：， 又，， 比较得最大值为， 故值域为. （2）若在上单调递减，则对任意，恒成立， ， 因，不等式整理得， 令，由得， 设，， 为开口向上的二次函数，对称轴为， 故的最小值为， 因此，解得， 即的取值范围为. 4．(1) (2) 【分析】（1）由题意知方程在R上有解，结合计算即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 因为在R上不单调，所以方程在R上有变号零点， 即方程在R上有两解， 得，解得， 即实数的取值范围为. （2）当时，，则， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的值域为. 5．(1)当时， 在上单调递增． 当时，在上单调递增；在上单调递减． (2) 【分析】（1）对进行分类讨论的单调性； （2）闭区间上的最值,比较端点值与极值可得. 【详解】（1）的定义域是，导函数． 设，二次方程的判别式． ①当即时，对一切都有，此时在上单调递增． ②当即时，仅对有，对其余的都有，此时在上的单调递增． ③当即时，方程有两个不同的实根，，． x + 0 - 0 + 单调递增↗ 极大 单调递减↘ 极小 单调递增↗ 此时在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． （2）当时，方程有两个不同的实根，． 由（1）知，在内，当时取得极值， ，，． 因为， 所以在区间上的值域为． 热点考点二：导数几何意义：切线（在某点、过某点、公切线、切线求参） 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江·期末）曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．（25-26高二下·福建南平·期末）若曲线在点处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）曲线在处的切线方程为_________． 7．（2026·河北秦皇岛·二模）曲线在点处的切线与直线平行，则________. 8．（25-26高三上·安徽·期中）若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_____. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C B A D D 1．C 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】 . ，故曲线在处的切线斜率为0. 2．B 【分析】利用导数的几何意义，求出在点处的切线斜率，进而写出直线方程，然后计算直线方程与两坐标轴的交点，然后利用直角三角形的面积公式求解即可. 【详解】，所以， ，所以在点处的切线方程为. 当时，；当时，. 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 3．A 【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线的斜率以及方程，将点的坐标代入直线的方程，即可求出的值. 【详解】因为，设切点坐标为， ， 直线的斜率为，解得：， 所以直线的方程为， 将点代入直线的方程得，解得. 4．D 【详解】，； ，，则切点， 曲线在点处的切线方程为，即； ，解得. 5．D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解. 【详解】函数，求导得，则， 由函数的图象在点处的切线与直线垂直，得， 即，所以. 6． 【详解】设， 对求导得， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 7． 【分析】根据导数的几何意义以及两直线平行，斜率相等可得结果. 【详解】对函数求导可得 ， 由于曲线在点处的切线与直线平行，那么 即 ，解得. 8．1 【分析】根据题意结合导数的几何意义计算即可. 【详解】因为，，则，， 若函数与函数的图象在处有相同的切线， 且，则，即. 故答案为：1. 热点考点三：恒成立、存在性（能成立）求参数范围 一、解答题 1．（25-26高二下·北京西城·期末）已知函数，，，且曲线在点处的切线斜率为0． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 2．（25-26高二下·云南红河·期末）已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 3．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围． 4．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数； (1)求函数在处的切线方程； (2)函数（其中）是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； 6．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知三次函数，，若函数的图象在处的切线方程为 (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《3》参考答案 1．(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则进行求解即可； （2）根据函数的单调性与导数的正负性的关系进行求解即可； （3）根据函数最值的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 因为曲线在点处的切线斜率为0， 所以； （2）函数的定义域为全体正实数， 由（1）可知：， 当时，解得，所以函数在上单调递增； 当时，解得，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由（2）可知：函数单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的最小值为， 要想对任意，都有恒成立， 只需， 所以的取值范围为. 2．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）先求导，再分和两种情况，利用导数分析求解即可； （3）由题意得到在上恒成立，再构造函数，并利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而求解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以切点为， 又斜率， 故切线方程为：， 即； （2），的定义域为， 当时，，，所以在上单调递增， 当时， 时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增； （3）由题可知在上恒成立， 即在上恒成立， 则有在上恒成立， 令，由可得在上单调递增， 故可化为， 所以在上恒成立, 即，解得， 故的取值范围为． 3．(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得； （3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. （2）因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 4．(1) (2)存在，的取值范围为 【分析】（1）求，根据切线方程的定义即可求得； （2）求，根据恒成立条件求出的取值范围，再代入验证该不等式是否恒成立即可． 【详解】（1）由，则， 又，所以该切线方程为，即． （2）由题意可知的定义域为且， 若关于的不等式在上恒成立，且， 则，解得， 若，当时，， 可知在上为减函数，则在上恒成立， 综上，的取值范围是． 5．(1) (2)若，函数无极值点；若，函数的极小值点为，无极大值点. 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，从而求得切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而分析其极值点的情况. 【详解】（1）由，知. 所以，. 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数，其定义域为. 所以. 若，恒成立，所以恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点； 若，， 因为，所以， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，其极小值点为，无极大值点. 综上，若，函数无极值点；若，函数的极小值点为，无极大值点. 6．(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求解； （2）构造函数，利用导数求出的最大值，然后求解绝对值不等式即可. 【详解】（1）因为，直线的斜率为 所以，故， 解得， 由于切点坐标为，即，所以， 解得， 所以 ， （2）令，则 所以， 令，则或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在内取得最大值， 因为存在，使得成立，即使得成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 热点考点四：函数零点问题（零点个数、零点存在定理、隐零点） 一、解答题 1．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知函数， (1)过点作曲线的切线，求切线的方程； (2)求函数的单调区间，并求函数在的值域； (3)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 2．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 3．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有1个零点，求的取值范围； (3)若是增函数，求的取值范围． 4．（25-26高二下·北京海淀·期末）已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点； (3)求函数的零点个数. 5．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)讨论在区间上的零点个数. 6．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，. (1)若1是的极值点，求实数的值； (2)若，求证：； (3)已知函数在上无零点，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《4》参考答案 1．(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为；在上的值域为 (3) 【分析】（1）设切点坐标并利用导数表示斜率，写出切线方程后代入已知的曲线外一点求出切点，进而得到最终的切线方程. （2）通过求导确定函数的极值点并划分单调区间，再通过计算给定闭区间端点及极值点的函数值来确定值域. （3）将方程零点个数问题转化为两函数图象的交点问题，结合极值点单调区间画出函数图象，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，则，设切点坐标为， 则切线方程为， 代入得， 即，解得， 所以切点为，斜率， 则切线方程为，化简得. （2）由（1）得，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，所以在内单调递增， 所以在区间内，，， 所以在上的值域为. （3）原问题转化为只有一个解，即与的图象只有1个交点， 由（2）得在取极小值，也是最小值， 即，且有， 令，当时，，取，则有， 则原式， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，易得的增长率在上高于的增长率， 所以当时，，由此可得， 综上，满足题意的与如图: 故的取值范围为. 2．(1) (2) (3)当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得； （2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值； （3）利用导数分析的单调性及极值，从而得到的零点个数. 【详解】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为：， 整理得：. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. （3）由（2）知当时， 的极小值为， 的极大值为， 当时，；当时，. 所以当即时，有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，所以有一个零点. 综上所述， 当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 3．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）因式分解得到是的一个零点，根据二次因式无实根的条件求解的范围； （3）增函数等价于导函数在上恒非负，利用一元二次不等式恒成立求解的范围. 【详解】（1）对求导得， 又，， 所以切线方程为，即. （2），显然是的一个零点. 要使恰有1个零点，需二次方程无实根， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）若是增函数，则对任意，恒成立. 二次函数开口向上，故对应方程 ， 解得. 故的取值范围为. 4．(1) (2)证明：由（1）得，求导得， 设，则， 当时，，，则，故函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，存在唯一的，使得. 当时，，即，则函数在上单调递增； 当时，，即，即函数在上单调递减. 故为函数在区间上的唯一极大值点； (3)2 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线方程，对照系数即可求出的值； （2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理即可得证； （3）将按照定义域分成，，和四部分，讨论函数的单调性，结合零点存在定理和端点函数值大小逐一判断零点个数即可. 【详解】（1）由，可得， ，则， 因曲线在 处的切线方程为，则. （2）略 （3）函数的定义域为，则， ①当时，由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，即当时，，即， 故函数在上单调递减，故函数在上仅有零点； ②当时，因，由（2）当时，单调递增， 故，即在上单调递增， 当时，单调递减，因， 则在后面一段区间必有,单调递减,在上先增后减， 又，则当时，，即函数无零点； ③当时，若，则，则函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，函数存在唯一的零点； 若，则，而，则恒成立，故函数在上无零点. 综上，函数共有与两个零点. 5．(1)为偶函数. 证明：的定义域为 ，关于原点对称； ， 所以为偶函数. (2)3个 【分析】（1）利用定义域关于原点对称和进行证明； （2）利用偶函数的特点结合函数的单调性和零点存在定理进行讨论. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 由（1）得：为偶函数，所以只需研究上零点个数，即可得到上的零点个数. 当，，，所以单调递增， 当，，，所以单调递减， 且，， 当，， 根据零点存在定理，，，所以在上存在唯一的零点，则 在上也存在唯一的零点，又因为，所以0也是一个零点， 综上所述，在区间上的零点个数为3. 6．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据求出，再代入检验即可求出答案； （2）记，对求导证明，即可证明； （3），分为和两种情况分别讨论，在讨论时，再分为，和三种情况分别讨论，即可求出答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为1是的极值点，所以，即， 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意，所以. （2）当时，，记. ，令，有， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 从而，所以，即. （3）因为，， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意； 当时，有一个零点，不符合题意； 当时，，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意； 综上，. 热点考点五：极值、最值（极值判定、极值点性质、闭区间最值） 一、单选题 1．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）若函数的最小值为，则（    ） A．1 B． C．e D． 二、多选题 3．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数在上单调递减 B．曲线在处的切线是 C．函数的最小值是 D．函数有且只有两个零点 4．（26-27高三上·河南·开学考试）设函数，则（    ） A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在区间上单调递减 三、填空题 5．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数在处取得极大值，则_________． 6．（26-27高三上·河北·开学考试）已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 四、解答题 7．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 8．（北京门头沟区2026-2027学年高三上学期9月学业水平阶段练习数学试题）已知函数，曲线在点处的切线为． (1)求，的值； (2)求的极值点的个数； (3)证明：除切点外，曲线在直线的上方． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《5》参考答案 题号 1 2 3 4 答案 C D BC BD 1．C 【分析】先求导确定函数的唯一极值点，问题转化为区间必须包含，同时区间需在定义域内，由此解出的范围． 【详解】函数的定义域为， 求导得：， 当时，，，，故的符号由决定， 即时，；时，． 因此在上单调递减，在上单调递增，故 是的唯一极值点（极小值点）， 函数在区间上存在极值点，等价于该区间包含， 即，解得， 又因为函数定义域为 ，区间必须在定义域内， 故， 综上，的取值范围为，即实数的取值范围是． 2．D 【分析】设函数在处取得最小值，其中，故有，进而可得，即，然后可得，再检验即可． 【详解】设函数在处取得最小值，其中，故有． 由，得． 又，所以， 整理得． 因为，所以，从而． 当时，． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且，符合题意． 3．BC 【分析】对函数求导，利用导数研究单调性、极值、切线与零点，逐一判断选项. 【详解】函数定义域为，， 因为，所以曲线在处的切线是，所以B正确， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，， 所以A错误，C正确， 令，解得，所以只有一个零点，所以D错误. 4．BD 【分析】由及其定义域可直接求零点；利用可判断单调性，从而得到极值点；利用及单调性即可判断不恒成立；利用可判断单调性. 【详解】对于选项A，函数的定义域为.由，得，故，解得，所以有且仅有1个零点，故A错误； 对于选项B，，令，得，当时，，当时，，所以在处取得极小值，故有且仅有1个极值点，故B正确； 对于选项C，因为，且，而在上单调递减，所以当时，，故不等式不恒成立，故C错误； 对于选项D，由B知，在区间上单调递减，故D正确. 5． 【详解】因为函数在处取得极大值， 又，所以， 解得或，当时，令 解得或，解得， 即在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，，同理可得在处取得极大值. 6． 【分析】求导可知在上单调递减，在上单调递增，故，再根据参考数据比较和的大小即可求得的最大值． 【详解】由于， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此是的极小值点，函数最大值在端点或处取得， 又， 且， ， 故，因此在上的最大值为． 7．(1) (2) 【分析】（1）根据函数求出切点，利用导数的几何意义求出切点的斜率，再利用点斜式求解切线方程即可； （2）先根据函数不等式恒成立，分离参数等价求函数最值，再利用函数的导数与单调性求出函数最值即可. 【详解】（1）由函数的定义域为， 则函数的导函数为， 所以函数在点处的切线斜率为， 又，所以函数的切点为， 所以在点处的切线方程为，即. （2）由函数的定义域为， 则恒成立等价于恒成立， 设， 则， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围是． 8．(1)， (2)1 (3)证明：设， 则， 由（2）知在上单调递增， 所以在上单调递增，且． 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 故在处取得最小值． 当时，，即， 故除切点外，曲线在直线的上方． 【分析】（1）先求函数的导函数，再利用切线性质列方程，最后联立方程求解，的值； （2）先确定的解析式，再分析导函数的单调性，最后判断导函数的零点个数，即可得到的极值点的个数； （3）先构造辅助函数，求的导函数，再分析的单调性，最后求的最小值，即可求解． 【详解】（1）已知， 则， 由曲线在点处的切线为， 可得， 两式相加得，解得， 代入得,解得, 故，． （2）由（1）得，， 则， 故在上单调递增， 因为，， 所以在上有且仅有1个零点，即的极值点个数为1． （3）略 热点考点六：导数证明不等式（构造辅助函数、简单放缩） 一、解答题 1．（2026·四川巴中·模拟预测）已知函数，． (1)求证：；； (2)解不等式； (3)当时，求证：． 2．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数有唯一极值点； (3)求证：． 3．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）设函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②证明：． 4．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：对任意，都有. 5．（2026·湖北武汉·三模）已知函数． (1)当时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点、，求证：． 6．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若恒成立，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《6》参考答案 1．(1)由题意可得：，所以，， 所以，又因为，所以，，所以 (2) (3) 要证，转化为证， 两边同乘2（不等号方向不变），即证， 整理得，令， 求导得： ，令，解得： ， 当时，，故， 因此，即在上单调递增， 又，因此对任意，都有， 原不等式成立 【分析】（1）先根据、表达式求出、，再分别化简、并与、比较. （2）先对不等式进行变形，通过换元将指数不等式转化为二次不等式求解，最后回代并取对数得到原不等式的解集. （3）将不等式变形为，设求导分析单调性，结合证明. 【详解】（1）略 （2） 由题意得，两边同乘得： ，即， 令，不等式变为， 因式分解得，解得， 即，取自然对数可得：， 不等式解集为. （3）略 2．(1) (2)令，则， 因为，所以恒成立，即在上单调递减， ，， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 当时，，即，单调递增， 当时， ，即，单调递减， 所以在处取得极大值，且为唯一极值点，得证. (3)要证，即， 因为，所以有， 因为，所以有， 所以原不等式转化为证明，即证， 下证: 因为，即证，令， 则，令，解得或(舍)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，故恒成立， 下证， 令，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故恒成立， 综上，，所以原不等式成立，得证. 【分析】（1）通过求函数值确定切点，求导数确定切线斜率，最后代入点斜式得出切线方程. （2）对导函数的分子构造辅助函数，利用单调性和零点存在定理证明导函数有且仅有一个变号零点，从而确认唯一极值点。 （3）将复杂的不等式等价变形以分离对数与指数部分，并引入中间量将其拆分为两个基础不等式分别证明. 【详解】（1）由题意得， 则，， 所以其切线方程为，整理得. （2）略 （3）略 3．(1)当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)①. ②不妨令，因为， 由①知，，即，而， 要证 只需证明，而,即证， 令，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 即， 因此， 所以. 【分析】（1）求出，分、讨论可得答案； （2）①转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，利用导数判断出函数在上的单调性可得答案； ②不妨令，由①要证，即证，令，令，利用导数判断出函数在上单调性可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 所以的取值范围为. ②略 4．(1) (2)的单调递增区间为；单调递减区间为， (3)证明：设，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，即. 当时，（当且仅当时，等号成立）. 因为（当且仅当，即时，等号成立）， 所以（两个等号不能同时成立），所以, 所以对任意，都有. 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，由点斜式方程求出切线方程；（2）利用求出单调递增区间，利用求出单调递减区间；（3）先证明，接着可得，两个等号不能同时成立，所以. 【详解】（1）由得, ，得. 所以曲线在点处的切线方程为， 即; （2）的定义域为. 由（1）知，令，得， 令，得，且， 所以的单调递增区间为；单调递减区间为，. （3）略 5．(1)1 (2)，，，， 令，即， 因为函数有两个极值点、，， 故有两个不等实根，， 则，解得， ， 令，，则， 所以，，单调递减； ，，单调递增． 故，即． 【分析】（1）求导判断单调性，结合零点存在定理判断 （2）利用导数零点与极值点的关系，结合二次函数判别式与韦达定理化简构造函数证明不等式 【详解】（1）时，，， 则恒成立，故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得上存在唯一的零点，故函数的零点个数为1； （2）略 6．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，， 要证明，只要证，即证， 设，，则， 令得， 列表得 1 0 减 极小值 增 所以，即， 所以． (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，再按值分类讨论正负作答. （2）根据（1）的结论，构造函数，利用导数求出最小值，证明即可. （3）将不等式恒成立转化为，构造，利用导数求出最大值，进而得到的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，， ①当时，，在上单调递减； ②当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）略 （3）变形得，. 令，，， ， 在上单调递增，在上单调递减，所以 所以. 热点考点七：双变量问题（零点相关双变量，弱化传统极值点偏移） 一、解答题 1．（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)设函数，若在定义域内恒成立，求的取值范围； (2)当时方程有两个实数根且．证明：． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）设函数． (1)若函数在点处的切线斜率为1，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点，，记过点，的直线斜率为，问：是否存在实数，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数 (1)求的所有极值点之和； (2)若，，，求的最小值； (3)求曲线过点的切线方程. 4．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)求的最小值； (2)若对，，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《7》参考答案 1．(1) (2)当时，令，则， 显然该函数在定义域内单调递增，而，所以存在，使， 因此当时，单调递减；当时，单调递增． 令，解得或． 设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和， 则， 又，， 函数在处的切线方程为； 在处的切线方程为，令，得； 令得，因为， 所以，故命题得证． 【分析】(1)题：考查导数恒成立问题，将恒成立通过参变分离转化为求函数最大值问题，构造新函数，利用导数研究函数单调性，进而求出函数最大值，得到参数的取值范围. (2)题：考查导数综合问题中切线割线模型，先研究函数单调性与隐零点，确定函数零点；求出函数在两个零点处的切线方程，用切线与交点横坐标对原方程实根做放缩，建立根之间的不等关系，完成比值不等式证明. 【详解】（1）恒成立，的定义域为，所以在上恒成立， 令，原问题转化为求函数在的最大值，则， 令，则，所以函数在上单调递增； 令，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以， 故的取值范围为． （2）略. 【点睛】方法归纳： (1)题：含参恒成立问题优先参变分离，转化为函数最值问题；利用新函数导数求出单调区间，计算端点与极值得到最值. (2)题：切线割线证明题型，核心思路为切线放缩，利用函数零点处切线的交点横坐标，替代原方程的根，构造不等式；隐零点只设不求，用于判断函数单调性. 易错归纳： (1)题：注意定义域为；参变分离变形时注意不等号方向. (2)题：切线方程计算出错；弄反了真实根与切线交点根的大小关系；复杂分式代数式化简失误. 2．(1) (2)时，函数在上单调递增； 时，时，函数单调递增； 时，函数单调递减； 时，函数单调递增． (3)不存在，有两个极值点，则，是的两个根， 由韦达定理得， ， 故，因为，故， 则，代入得，， 整理得， 由得，构造函数， 求导得， 在上单调递增，故， 在无解，故不存在满足条件的实数． 【分析】（1）求导，利用导数几何意义构造方程求解； （2）根据导数的分母恒正，只需分析分子二次函数，利用判别式分类讨论求出函数的单调区间； （3）根据有两个极值点，结合（2）推出，利用韦达定理结合斜率定义及条件得出等式，构造新函数，求导判断单调性，从而判断结论． 【详解】（1）函数求导得， 由题意知，，解得． （2）导数，分母大于零，导数符号由分子决定， 当，即时， 恒成立，故，函数在上单调递增； 当时，即或， 当时，对称轴，，故时，，函数单调递增； 当时，有两根，，则， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 综上，时，函数在上单调递增； 时，时，函数单调递增； 时，函数单调递减； 时，函数单调递增． （3）不存在，理由：略． 3．(1) (2)64. (3) 【分析】（1）根据函数极值点与函数的导数之间的联系，通过求导即可求解. （2）通过求解函数在整个区间上的最值，将参数的最小值问题转化为函数的最值问题，即可求解. （3）利用导数的几何意义，根据直线的点斜式方程，结合切线的意义联立方程即可求解. 【详解】（1）由题意得. 令，得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 的极大值点为，的极小值点为， 则的所有极值点之和为. （2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为，，，， 所以，，则， 所以c的最小值为64. （3）设切点坐标为，则， 所以切线方程为， 即. 因为切线过点，所以，即， 所以，解得， 故所求切线方程为. 4．(1)1 (2) 【详解】（1）因为，所以， 令，即，解得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，即最小值为. （2）因为，使得，即. 由（1）知，，所以在上有解， 当时，函数在上单调递增，所以，不合题意. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，解得或，又因为，所以实数的取值范围为. $