一元函数的导数及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数几何意义、单调性与极值等核心概念，通过选择、填空、解答题系统覆盖切线方程、恒成立问题等高频题型，强化知识内在逻辑与解题思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1/13题等|切线方程、奇偶性判定|从导数定义与几何意义（概念生成）到直接应用| |性质综合判断|单选3-7/多选9-11|极值点个数、函数大小比较|导数与函数单调性、极值的推导关系| |计算与证明|解答15-19题|极值求解、恒成立参数范围|综合应用导数解决不等式证明等拓展问题|

高中数学人教A版选择性必修二一元函数的导数及其应用 一、单选题 1．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2．已知，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数的最小值为，则（    ） A．1 B． C．e D． 4．若函数在区间上有奇数个极小值点，则的值可以是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 5．已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得极大值 C．存在唯一的实数使得 D． 6．已知，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D．1 8．设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．函数在上单调递减 B．曲线在处的切线是 C．函数的最小值是 D．函数有且只有两个零点 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．有三个不等的实根，则 D．已知数列是公差为1的等差数列，则函数在上的平均变化率的最大值为2 11．已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（    ） A． B．当时，与的大小关系不确定 C．当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D．记，当时，若为的极小值点，则 三、填空题 12．若是函数的极值点，则____________． 13．已知函数，则曲线在点处的切线方程是______． 14．已知正实数m，n满足，则的最小值为______． 四、解答题 15．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)（ⅰ）若在上恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：，． 16．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上的最小值为0，求a的值； (3)若对于任意，恒成立，求a的取值范围. 18．已知函数. (1)当时： （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：恰有两个极值点； (2)若，求的取值范围. 19．已知函数，． (1)证明：； (2)当时，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修二一元函数的导数及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C A C B BC BC 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】因为，所以，当时，，， 所以在点处的切线方程为，即. 2．C 【详解】由，得， 所以． 由于为偶函数，所以对任意x， 均有． 取，得，从而． 结合，得． 3．D 【分析】设函数在处取得最小值，其中，故有，进而可得，即，然后可得，再检验即可． 【详解】设函数在处取得最小值，其中，故有． 由，得． 又，所以， 整理得． 因为，所以，从而． 当时，． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且，符合题意． 4．B 【分析】设，，则，，数形结合，分析函数的单调性，即可得函数的极值点情况. 【详解】设，， 则，. 由，选项中为正整数，得，因为，所以，. 如图， 对A，当时，，只有1解，设为，且. 当时，，即，因为，所以，即，故单调递增； 当时，，即，因为，所以，即，故单调递减. 所以为函数的极大值点，且无极小值点，不合题意. 对B，当时，，有3解，设为，，，且，，. 已知为的极大值点. 当时，，即，因为，所以，即，故单调递减； 当时，，即，因为，所以，即，故单调递增. 所以为函数的极小值点. 当时，，即，因为，所以，即，故单调递增； 当时，，即，因为，所以，即，故单调递减. 所以为函数的极大值点. 所以时，函数只有一个极小值点，符合题意. 对C，当时，，有4解，设为，，，，且，，，. 已知为的极大值点，为的极小值点，为的极大值点. 当时，，即，因为，所以，即，故单调递减； 当时，，即，因为，所以，即，故单调递增. 所以为函数的极小值点. 所以时，函数有和两个极小值点，不符合题意. 对D，当时，，有5解，设为，，，，，且，，，，. 已知，为的极大值点，，为的极小值点. 当时，，即，因为，所以，即，故单调递增； 当时，，即，因为，所以，即，故单调递减. 所以为函数的极大值点. 所以时，函数有和两个极小值点，不符合题意. 5．C 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断D. 【详解】设，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，即，得，故选项A不正确； 可设，可得，所以，所以， 所以，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故选项B不正确； 又因为，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； 由于，而， 所以，故选项D不正确. 6．A 【分析】构造函数，导确定单调性，得，再构造函数，求导确定单调性得到，得到答案. 【详解】设，，则， ，，故，在上单调递增， 故，当时，恒成立，所以，所以； 设，，则， 设，， 又，则在上单调递减，， 故，则函数在上单调递减，即， 故当时，恒成立，    所以恒成立，即； 综上， 7．C 【分析】已知式等价于，利用函数的单调性得，，相加后利用等号成立的条件求得值，从而可得结论. 【详解】，所以原等式化为， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，所以，即，当且仅当时取等号， 所以时，，，所以， 又已知条件为，所以，， 所以. 8．B 【分析】利用复合函数单调性得到为增函数，再结合题意转化为函数交点问题，最后结合导数求解参数范围即可. 【详解】令，由题意得单调递增， 而由幂函数性质得单调递增，则为增函数， 又因为存在使，即有稳定点， 所以它必有不动点，使得， 即在上有解， 整理可得，在上有解， 令，可得， 令，， 令，，令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，则， 可得在上单调递增，而，得到. 9．BC 【分析】对函数求导，利用导数研究单调性、极值、切线与零点，逐一判断选项. 【详解】函数定义域为，， 因为，所以曲线在处的切线是，所以B正确， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，， 所以A错误，C正确， 令，解得，所以只有一个零点，所以D错误. 10．BC 【分析】根据函数的定义判断A（举特例），利用导数判断B，把函数图象向左平移个单位得偶函数的图象，结合图象的对称性及函数的单调性求解判断C，求出平均变化率，然后结合绝对值不等式的性质求解判断D. 【详解】A，记，，，所以即不是偶函数，A错； B，时，，， ，则，，所以，所以是减函数，B正确； C，记，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，的图象是由的图象向左移动个单位得到的， 因此由选项B知在上单调递减， 而时，在上是增函数， 作出的图象与直线，如图， 有三个不等的实根，即要有三个实根，即的图象与直线有三个公共点， 所以，所以有三个不等的实根时，C正确； D，，则函数在上的平均变化率为， 设，， ， 因为， 所以, 所以， 所以，当且仅当时，， 所以函数在上的平均变化率的最大值是，D错. 11．ACD 【分析】根据对称性，将中替换为即可得到，进而判断选项A； 构造函数，通过导数判断函数单调性求得即可判断选项B； 将不等式变形，通过单调性将不等式转化为，参变分离后转化为最值问题， 构造函数后通过导数判断函数单调性求得最值即可判断选项C； 通过导数将表示为关于的函数，再通过导数判断函数单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，由函数与的图像关于轴对称，将中替换为， 得，所以选项A正确; 选项B，设，则，当且仅当即时取等, 所以当时，单调递增，，即 所以选项B错误; 选项C，整理不等式得，即， 由在单调递增，得，即对恒成立; 令，当时，，所以在单调递增， ，故，解得，即的最大值为，所以选项C正确; 选项D，，， 当时，令，解得或且, 所以当时，;当时，. 所以的极小值点,代入得， 令，， 设，则，所以在单调递减， ，因此，所以在单调递增， 故，即. 12．3 【分析】利用极值点处导数为零的条件解出，再将其代回原函数计算出的值. 【详解】， 所以， 由题意得，解得， 即， 则. 13． 【分析】直接由导数的几何意义求切线方程可得. 【详解】由函数，得， 所以，， 因此切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 14．5 【分析】根据已知等式构造函数，利用导数的性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】设函数，因为， 所以函数是实数集上的增函数， 由， 因为函数是实数集上的增函数， 所以由， 因为m，n是正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值. 15．(1)极小值为，无极大值 (2)（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当时，，恒成立， 即对恒成立，取，， 则， 因此 ． 【分析】（1）求导，再根据导数的符号得到的单调性，进而即可求出的极值； （2）（ⅰ）结合（1）得到，通过构造函数，求导，再结合零点存在性定理即可求出正整数的最大值； （ⅱ）结合（ⅰ），通过放缩得到不等式，再利用裂项相消法求和即可证明． 【详解】（1）由函数的定义域为，， 则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减；在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值． （2）（ⅰ）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令函数，，则， 所以函数在上单调递减， 而，， 则存在，使得，即， 因此当时，， 所以正整数的最大值为． （ⅱ）略 16．(1) (2) 【分析】（1）根据函数求出切点，利用导数的几何意义求出切点的斜率，再利用点斜式求解切线方程即可； （2）先根据函数不等式恒成立，分离参数等价求函数最值，再利用函数的导数与单调性求出函数最值即可. 【详解】（1）由函数的定义域为， 则函数的导函数为， 所以函数在点处的切线斜率为， 又，所以函数的切点为， 所以在点处的切线方程为，即. （2）由函数的定义域为， 则恒成立等价于恒成立， 设， 则， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围是． 17．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为． (2) (3)． 【分析】（1）对函数求导，求出导数零点，依据导数正负划分区间，判断函数单调性；（2）导数单调递增，分类讨论导数零点与区间的位置，比较区间内极小值与端点值得到最小值求解参数，结果要检验是否符合分类前提；（3）移项构造新函数，分析导数单调性，依据导数在端点处的函数值分类，结合判断恒成立条件. 【详解】（1）当时，；定义域为R， 由，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为在上单调递增，所以 ①当，即时，，在上单调递增， ，所以，符合题意； ②当，即时，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． ，解得，与矛盾，不符合题意； 综上可知． （3）依题意， ，令，则对于任意，恒成立， ． ①当，即时，因为，所以． 所以在上单调递增．又，所以，当时，对于任意都有; ②当时，，， 故存在，当，，单调递减，此时，与恒成立矛盾，不符合题意． 综上，的取值范围为． 18．(1)（i）； （ii）令，则 令，得. 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 故在存在唯一零点，在上存在唯一零点 即存在两个不同的变号零点，即恰有两个极值点. (2) 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求切线即可；（ii）利用单调性以及零点存在性定理，证明在有两个变号零点即可;（2）分离参数，然后讨论的单调性以及最小值即可求得. 【详解】（1）（i）当时，， ， ，， 所以曲线在点处的切线方程为 （ii）略 （2）可变形为 令，则 令，则， 设，则令，则. 在单调减，在单调增. 所以对恒成立. 故在上单调递增， 当时，单调递减； 当时，单调递增 ，故， 综上所述，实数的取值范围为. 19．(1)． 令，由，得， 当，即时，， 当，即时，， 所以在单调递减，在单调递增， 因此． (2)当时，，即， 故只需证明． 设，则． 设，则． 由（1）知，，所以， 从而，在单调递增． 因为，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此．得证． 【分析】（1）求导，确定函数单调性，求得最值，即可求证； （2）通过，将问题转换成，再构造函数，求导确定单调性即可求证. 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $