导数基础专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数核心概念与应用，构建从基础计算到综合拓展的知识逻辑链，通过分层题型培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与计算|单选1-4、12、25-26、29、31|切线方程、导数几何意义|从导数定义到几何应用，强化概念生成| |导数应用|单选5-10、13-16、18、21-24、27、28、33-34|单调性、极值、零点问题|以导数工具串联函数性质，构建推理链条| |综合拓展|单选11、19-20、30、32、35-40|恒成立、实际应用、证明题|整合知识解决复杂问题，发展应用意识|

导数专项训练——2027届高三数学一轮复习 （答案解析） 选择题答案速查表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C A D A B C B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D A C B A C A B A D 题号 21 22 23 24 答案 ABC ABD ABD ABC 一、单项选择题解析 1. 答案 B。 。 2. 答案 C。 ，故所求斜率为 。 3. 答案 B。 设切点 ，切线 。代入 ：，整理得 ，。切点 ，斜率 ，切线为 。 4. 答案 C。 设两切点横坐标为 ： 在 处切线为 ； 在 处切线为 。由斜率相等：；由截距相等：，即 ，解得 或 ，对应两条公切线 与 。 5. 答案 A。 在 上恒成立 对一切 成立。因 且可任意接近 ，故 （ 时 在 上成立）。 6. 答案 D。 为开口向上的二次函数。 存在极值 有两个不同实根 。 7. 答案 A。 设 ，，极小值 ，且 时 ， 时 ，故 。恒成立即 。 8. 答案 B。 设 ，，最小值 。存在 使 。 9. 答案 C。 设 ，： 处极大值 ， 处极小值 。原方程即 有三个不同实根 。 10. 答案 B。 由 ，两边同乘 得 。（其余选项无法由单调性信息推出。） 11. 答案 D。 （），。 时 ， 时 ，故 时容积最大 。 12. 答案 A。 设切点 ，切线 过原点：，，斜率 。 13. 答案 C。 设 ，： 在 递减、 递增，极小值 ；且 时 ， 时 。 有两个零点 直线 与 有两个交点 。 14. 答案 B。 ： 递减、 递增，最小值 。 15. 答案 A。 设 （），： 在 递减、 递增，最小值 。恒成立 ，故 的最大值为 。 16. 答案 C。 ： 递增、 递减、 递增。比较 ，，，，最大值为 。 17. 答案 A。 。 18. 答案 B。 ，驻点为 与 。若 ： 为极大值点， 为极小值点，故 ；若 ：极小值点为 ，得 ，与 矛盾。故 （此时 ， 处左负右正，确为极小值）。 19. 答案 A。 两数均为正，取对数：。设 ，， 在 处取最大值 ，故 ，即 ，，，得 。 20. 答案 D。 恒成立 。 二、多项选择题解析 21. 答案 ABC。 ： 增、 减、 增。极大值 ，A 对；极小值 ，B 对；，，，，由零点存在定理及单调性恰有 个零点，C 对； 上单调递增，D 错。 22. 答案 ABD。 ，点 处切线 即 ，A 对。设切点 ，切线 ：过 时 ， 或 ，两条切线（ 与 ），B 对；过 时 ，即 ， 或 ，两条切线，C 错；，D 对。 23. 答案 ABD。 ，A 对； 在 减、 增，极小值 ，B 对；：当 时 且 ，乘积为正，即 ，C 错； 时 ，无最大值，D 对。 24. 答案 ABC。 A：，，最大值 ，对。B： 时 恒成立， 递增，且 时 、 时 ，恰一个零点，对。C： 时 在 处取最大值 ，两个零点 ，对。D： 时最大值为 ，仅在 处取到一个零点（相切），错。 三、填空题解析 25. 答案：。，，，切线为 。 26. 答案：。。切点 在直线上：；切线斜率：。故 ，。 27. 答案：。： 时 ，单调递减。 28. 答案：。： 在 递减、 递增， 为最小值； 时 （且 时 ，故 可取到）； 时 （取不到）。故 在 上的取值范围为 。无零点 或 ，即 或 。 29. 答案：。设切点 ，切线 过 ：，，斜率 。 30. 答案：。设 ，，，。 在 上恒成立 对一切 成立。设 ，，记分子 ，（），故 递增且 ，， 递增，。故 。（ 时 恒成立，等号仅 。） 31. 答案： 条。设切点 ，，切线过 ：，约去 得 ，即 ，有两个不同实根，故切线恰有 条。 32. 答案：。设矩形在抛物线上的顶点横坐标为 （），则面积 ，， 时 。 33. 答案： 个。设 ，， 在 上严格递增；又 ，，故恰有一个实根，位于 。 34. 答案：，。， 为极值点：，；此时 在 左负右正，确为极小值点。极小值 ，得 。 四、解答题解析 35. （1），，切线为 。 （2）设切点 ，切线 ，即 。过原点：，，切线为 。 （3）设 ，： 在 上递增、 上递减，最大值 。故 ，即 （当且仅当 时取等）。 36. （1） 时 ，： 增、 减、 增。极大值 ，极小值 。 （2） 在 上恒成立 对一切 成立。因 且可任意接近 ，故 。 （3）当 时，， 在 上单调递增，又 （），，恰一个零点。当 时： 的极大值 恒成立，极小值 。由于 （）且 ，负半轴恒有一个零点；若极小值 ，则 上还会出现零点（ 时共 个不同零点， 时共 个）。故恰一个零点 。综上，（含 ）。 37. （1）：，： 减、 增，最小值 。 （2） 时，， 递减，而 时 ， 不恒成立（如 ）。 时， 在 处取最小值 ，恒成立 。综上 。 （另法：，，最大值 在 处。） （3），。 在 上递增 在 上恒成立 。 38. （1）每天利润 （）。， 时 ，且左侧为正、右侧为负，故 时利润最大，（元）。 （2）当 时，， 单调递增，故 时利润最大，（元）。 39. （1）。若 ：， 在 上单调递增。若 ： 在 上递减、 上递增，最小值 。 （2）由（1）， 时 单调递增且 （： 时 ，因 ），至多一个零点，不符。 时，最小值 ；且两个方向 ，故恰有两个零点当且仅当 。 （3）记 （ 时 ），则 且 。设 ：由 ， ， （均值不等式），等号仅在 即 处成立，故 在 上单调递增。于是 时 ，即 ，也即 。而 ，， 在 上单调递增，故由 得 ，即 ，得证。 40. （1）设 ，： 时 ， 递增，，故 。 （2）设 ，。由（1）， 时 ， 递增，，故 。 （3）先证左边：设 ，（）， 递增，，故 。右边 即 ，由（1）即得。证明完毕。 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数专项训练——2027届高三数学一轮复习（原卷） 试卷说明：本卷共 40 题（单项选择题 20 题、多项选择题 4 题、填空题 10 题、解答题 6 题） 一、单项选择题（第 1～20 题，每题只有一个正确选项） 1. 已知函数 在 处的导数 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 2. 函数 的图象在点 处的切线斜率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3. 过点 作曲线 的切线，则切线方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4. 曲线 与曲线 的公切线的条数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6. 若函数 存在极值，则实数 满足（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7. 若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8. 若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9. 若方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10. 已知函数 在 上可导，且 在 上单调递减，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 11. 用一块边长为 的正方形铁皮，四角各剪去一个边长为 的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，则盒子的容积最大为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 12. 若直线 与曲线 相切，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 13. 若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 14. 函数 （）的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 15. 若对任意 ， 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 16. 函数 在 上的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 17. （　　） A．　　B．　　C．　　D．不存在 18. 已知函数 在 处取得极小值，则 （　　） A． 或 　　B．　　C．　　D． 19. 设 ，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 与 大小不能确定 20. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题（第 21～24 题，每题至少有两个正确选项，全部选对得满分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 21. 已知函数 ，则（　　） A． 的极大值为 B． 的极小值为 C． 有 个零点 D． 在 上单调递减 22. 已知曲线 ：，则（　　） A． 在点 处的切线方程为 B．过点 的 的切线恰有 条 C．过点 的 的切线仅有 条 D． 在任意一点处的切线斜率均为非负数 23. 已知函数 ，则（　　） A． B． 的极小值为 C．当 时， D． 在 上无最大值 24. 已知函数 （），则（　　） A．当 时， 的最大值为 B．当 时， 有且仅有一个零点 C．当 时， 有两个零点 D．当 时， 有两个零点 三、填空题（第 25～34 题） 25. 曲线 在点 处的切线方程为________． 26. 已知函数 （）的图象与直线 相切于点 ，则 ________． 27. 函数 的单调递减区间为________． 28. 若函数 在区间 上无零点，则实数 的取值范围是________． 29. 过点 作曲线 的切线，则切线的斜率为________． 30. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________． 31. 过点 作曲线 的切线，则切线的条数为________． 32. 矩形的两个顶点在 轴上，另外两个顶点在抛物线 上，则该矩形面积的最大值为________． 33. 方程 的实根个数为________． 34. 已知函数 在 处取得极小值 ，则 ________，________． 四、解答题（第 35～40 题，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 35. 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求过原点且与曲线 相切的直线方程； （3）利用导数证明：对任意 ，． 36. 已知函数 （）． （1）当 时，求 的极大值与极小值； （2）若 在区间 上单调递减，求 的取值范围； （3）若 恰有一个零点，求 的取值范围． 37. 已知函数 （，）． （1）当 时，求 的最小值； （2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围； （3）设 ，若 在 上单调递增，求 的取值范围． 38. 某商店销售一种商品，每件进价 元，售价为 元/件（）时，每天可售出 件． （1）当售价为多少元时，每天的销售利润最大？并求出最大利润； （2）若物价部门规定售价不得超过 元/件，则售价定为多少元时每天利润最大？并求出该最大利润． 39. 已知函数 （）． （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围； （3）当 时，设 的两个零点为 （），求证：． 40. 证明： （1）当 时，； （2）当 时，； （3）当 时，． 学科网（北京）股份有限公司 $