学易金卷：八年级数学9月学情自测卷【湖南专用，湘教版八上第1～2章：因式分解+分式】

**基本信息** 本卷聚焦湘教版八年级上册第1~2章，以因式分解、分式运算为核心，融入2024年守时实验室准确度（科学记数法）、红色教育扫墓（分式方程应用）、杨辉三角形（规律探究）等真实情境，通过基础巩固与创新应用梯度设计，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解定义、分式意义、科学记数法|第6题结合科技数据考查科学记数法，体现数学眼光| |填空题|6/18|分式方程无解、连续整数乘积因式分解、杨辉三角形规律|第16题以杨辉三角形为载体，培养推理意识| |解答题|8/72|分式化简求值、方程应用（挂书袋购买）、几何拼图（面积关系）、新定义（关联分式）|21题通过挂书袋购买问题构建方程模型，24题“关联分式”新定义考查数学语言表达|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B B B A C C C D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12．3或6 13．、、 14． 15． ，13 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．【详解】（1）解： （3分） （2）解： （6分） 18．【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式， ， ．（6分） 19．【详解】解： （5分） 当时，原式．（8分） 20．【详解】（1）解：矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4， ，． ． ．（4分） （2）由（1）得，，， ．（8分） 21．【详解】（1）解：设A型挂书袋每只售价x元，B型挂书袋每只售价y元， 则由题意可知：， 解得：， 答：A型挂书袋每只售价20元，B型挂书袋每只售价25元．（2分） （2）解：设李老师购买了A型挂书袋m只，B型挂书袋n只， 则由题意可知：，　 化简得， 即， 因为m是正整数，所以必须是整数，即n是4的倍数， 设 (为正整数)，代入得：， ∵， ∴，即， 购买挂书袋总数量为：， 因为要使购买数量最大，则最小， 所以，当时，，， 即购买A型挂书袋45只，B型挂书袋4只时购买挂书袋数量最多且恰好用完1000元．（5分） （3）解：设八年级学生人数为a人，C型挂书袋每只售价b元， 则根据题意可得：， 整理得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， C型挂书袋每只售价（元）， 若多买95个，数量为（个），可享受8折优惠， 总价为：（元），符合条件． 答：八年级段共有380名学生．（10分） 22．【详解】（1）解：该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式；（2分） （2）解：该同学因式分解的结果不彻底； 设，则原式 ， ∴因式分解的最后结果为：．（5分） （3）解：设，则： ．(10分） 23．【详解】（1）解：一张种纸片的面积为，一张种纸片的面积为，二张种纸片的面积为， ∴总面积为， 拼成大正方形的面积为， ∴；（3分） （2）解： ， ∴需要二张种纸片，三张种纸片，七张种纸片；（6分） （3）解：设，则， ∵四边形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 根据（1）可知，， ∴， ∴， 解得，， ∴．（12分） 24．【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值；（3分） （2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； ②当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为；（7分） （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 14 ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：湘教版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 3．令分式有意义的条件是（     ） A． B． C． D． 4．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 5．若，则代数式的值为（   　 ） A． B．1 C．2 D．3 6．2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 7．如图，一个长方形的两边长为，，周长为16，面积为12．则多项式的值为（     ） A．36 B．48 C．60 D．8 8．为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 10．对于正数x，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024.5 D．2025.5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：________ 12．如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 13．对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 14．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 15．约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是________，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有________组． 16．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．因式分解： (1)． (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19. 先化简，再求值：，其中． 20．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 21．为解决学生课堂乱堆放现象，701班主任李老师计划从超市购进A、B两种不同型号的挂书袋给学生使用，每名学生1只，已知购买3只A种挂书袋、2只B种挂书袋需要110元，购买5只A种挂书袋、4只B种挂书袋需要200元． (1)求超市A种、B种挂书袋每只售价各为多少元？ (2)702班王老师托李老师购买一批挂书袋（两种型号都有），但王老师只给了李老师1000元，并没有告诉她2班的学生数，请同学们帮李老师算算该如何购买，才能使购买的挂书袋数量最多且恰好用完1000元？ (3)由于七年级段开展了挂书袋实施行动收到了很好的效果，现学校打算在八年级段进行推广，超市推出了一款C型挂书袋，规定一次性购买C型挂书袋400个以上，可享受8折优惠．若给八年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款2000元；若多买95个，就可享受8折优惠，同样只需付款2000元．请问八年级学生有多少人？ 22．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 23．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．现在用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题． (1)由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为_____（用含的代数式表示）； (2)小敏用图1中的、、三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张； (3)如图3，为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，记正方形和正方形的面积分别为，且，利用（1）中的结论求图中三角形的面积． 24．阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：湘教版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据因式分解的结果为几个整式乘积的特征判断． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合题意． B．符合因式分解要求，是因式分解，符合题意． C．仅为符号变形，左右均为乘积形式，不是因式分解，不符合题意． D．右边为和的形式，不是因式分解，不符合题意． 2．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 3．令分式有意义的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由分式有意义得， 解得． 4．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简公分母，根据求最简公分母的方法，先确定各分母系数的最小公倍数，再确定各字母因式的最高次幂，两者的积即为最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是． 故选：B． 5．若，则代数式的值为（   　 ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 6．2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【详解】解：∵纳秒秒秒， ∴纳秒秒秒． 7．如图，一个长方形的两边长为，，周长为16，面积为12．则多项式的值为（     ） A．36 B．48 C．60 D．8 【答案】C 【分析】边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，得到，把多项式因式分解并整体代入即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12， ∴， ∴． 8．为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设骑车的速度为，则汽车速度为，且， 根据题意得． 9．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 10．对于正数x，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024.5 D．2025.5 【答案】D 【分析】先推导得到的规律，将原式两两配对求和，再计算单独的，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 原式中，与为一对，与为一对，…，与为一对，共对，这部分的和为． 又， ∴原式． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：________ 【答案】 【分析】找出多项式的公因式，用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 12．如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 【答案】3或6 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，把原方程去分母化为整式方程，化简得到，分式方程无解需考虑整式方程无解和解为增根两种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 整理得， 当时，方程无解，此时； 当时，则， ∵原方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是方程的解； 综上所述，a的值为3或6， 故答案为：3或6． 13．对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【答案】 【详解】解： ， ∴ 这三个整数是、、． 14．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 【答案】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出提速前后的行车时间，利用时间差为1小时列方程． 【详解】解：设该列车提速前的速度为每小时千米，根据题意，列出方程为 ． 15．约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是________，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有________组． 【答案】 【分析】根据定义化简等式，结合正整数性质推导出完美数组满足，再分别计算所求结果． 【详解】解：根据“完美数组”定义，对于关于的完美数组，满足，，且，，均为正整数， 对等式因式分解得：， ∴ 或 ， ∵，，，均为正整数， ∴，不可能等于， ∴，整理得． 当时，则有，只有，符合条件， ∴关于的完美数组为； ∵关于正整数的“完美数组”为， ∴，． ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即， ∴，解得， ∵是正整数， ∴可取，共种取值，每种对应唯一符合条件的，因此共有组． 16．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 【答案】 【分析】观察杨辉三角形中每行第3个位置的数，发现是从开始的个连续整数之和，从而得出，进而得到，利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴ . 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的偶次幂等于、非零数的次幂等于、负整数指数幂运算、算术平方根四个知识点逐项计算，最后进行实数的加减运算即可； （2）先把括号内通分合并，分式除法转化为乘除数的倒数，再对分母利用平方差公式进行因式分解，约分即可得到最简结果． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 当时，原式． 20．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4， ，． ． ． （2）由（1）得，，， ． 21．为解决学生课堂乱堆放现象，701班主任李老师计划从超市购进A、B两种不同型号的挂书袋给学生使用，每名学生1只，已知购买3只A种挂书袋、2只B种挂书袋需要110元，购买5只A种挂书袋、4只B种挂书袋需要200元． (1)求超市A种、B种挂书袋每只售价各为多少元？ (2)702班王老师托李老师购买一批挂书袋（两种型号都有），但王老师只给了李老师1000元，并没有告诉她2班的学生数，请同学们帮李老师算算该如何购买，才能使购买的挂书袋数量最多且恰好用完1000元？ (3)由于七年级段开展了挂书袋实施行动收到了很好的效果，现学校打算在八年级段进行推广，超市推出了一款C型挂书袋，规定一次性购买C型挂书袋400个以上，可享受8折优惠．若给八年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款2000元；若多买95个，就可享受8折优惠，同样只需付款2000元．请问八年级学生有多少人？ 【答案】(1)A型挂书袋售价20元，B型挂书袋25元 (2)购买A型挂书袋45只，B型挂书袋4只时购买挂书袋数量最多且恰好用完1000元 (3)八年级段共有380名学生 【分析】（1）根据题意，设两个未知数A型挂书袋每只售价和B型挂书袋每只售价分别为x元和y元，联立二元一次方程组并求解； （2）根据题意，购买两种型号都有的挂书袋共1000元，设购买A型挂书袋和B型挂书袋数量分别为m只和n只，建立二元一次方程，再用B型挂书袋数量表示A型挂书袋的数量，即得，因为两种型号挂书袋数量都为正整数，即可表示购买挂书袋总数量为的值，要使购买数量最大，再进一步求出购买A型挂书袋和B型挂书袋数量即可； （3）根据题意，设未知量八年级学生人数和C型挂书袋每只售价分别为a人和b元，再根据题干信息八年级学生每人购买一个需付款2000元，列出方程：，八年级学生多购买95个，就可享受8折优惠，列出方程：，联立方程组，由代入法化简得分式方程并求解． 【详解】（1）解：设A型挂书袋每只售价x元，B型挂书袋每只售价y元， 则由题意可知：， 解得：， 答：A型挂书袋每只售价20元，B型挂书袋每只售价25元． （2）解：设李老师购买了A型挂书袋m只，B型挂书袋n只， 则由题意可知：，　 化简得， 即， 因为m是正整数，所以必须是整数，即n是4的倍数， 设 (为正整数)，代入得：， ∵， ∴，即， 购买挂书袋总数量为：， 因为要使购买数量最大，则最小， 所以，当时，，， 即购买A型挂书袋45只，B型挂书袋4只时购买挂书袋数量最多且恰好用完1000元． （3）解：设八年级学生人数为a人，C型挂书袋每只售价b元， 则根据题意可得：， 整理得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， C型挂书袋每只售价（元）， 若多买95个，数量为（个），可享受8折优惠， 总价为：（元），符合条件． 答：八年级段共有380名学生． 22．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底； (3) 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据因式分解结果，结合完全平方公式进行判断即可； （3）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底； 设，则原式 ， ∴因式分解的最后结果为：． （3）解：设，则： ． 23．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．现在用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题． (1)由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为_____（用含的代数式表示）； (2)小敏用图1中的、、三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张； (3)如图3，为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，记正方形和正方形的面积分别为，且，利用（1）中的结论求图中三角形的面积． 【答案】(1) (2)需要二张种纸片，三张种纸片，七张种纸片 (3) 【分析】（1）根据面积相等的关系列式计算即可； （2）根据多项式乘以多项式展开，再根据各项系数进行判定即可； （3）根据题意，设，则，结合题意及（1）的计算得到，，由此得到，代入三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：一张种纸片的面积为，一张种纸片的面积为，二张种纸片的面积为， ∴总面积为， 拼成大正方形的面积为， ∴； （2）解： ， ∴需要二张种纸片，三张种纸片，七张种纸片； （3）解：设，则， ∵四边形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 根据（1）可知，， ∴， ∴， 解得，， ∴． 24．阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)①；②1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）①由与互为“关联分式”、，得，求出；②将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； ②当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 【点睛】本题以“关联分式”新定义为载体，融合分式加减运算、分式化简求值、分式方程无解的分类讨论，考查代数运算能力与逻辑推理能力，体现分类讨论的核心数学思想． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：湘教版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 3．令分式有意义的条件是（     ） A． B． C． D． 4．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 5．若，则代数式的值为（   　 ） A． B．1 C．2 D．3 6．2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 7．如图，一个长方形的两边长为，，周长为16，面积为12．则多项式的值为（     ） A．36 B．48 C．60 D．8 8．为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 10．对于正数x，规定，例如：，，则的值为（     ） A．2026 B．2025 C．2024.5 D．2025.5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：________ 12．如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 13．对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 14．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 15．约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是________，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有________组． 16．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．因式分解： (1)． (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19. 先化简，再求值：，其中． 20．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 21．为解决学生课堂乱堆放现象，701班主任李老师计划从超市购进A、B两种不同型号的挂书袋给学生使用，每名学生1只，已知购买3只A种挂书袋、2只B种挂书袋需要110元，购买5只A种挂书袋、4只B种挂书袋需要200元． (1)求超市A种、B种挂书袋每只售价各为多少元？ (2)702班王老师托李老师购买一批挂书袋（两种型号都有），但王老师只给了李老师1000元，并没有告诉她2班的学生数，请同学们帮李老师算算该如何购买，才能使购买的挂书袋数量最多且恰好用完1000元？ (3)由于七年级段开展了挂书袋实施行动收到了很好的效果，现学校打算在八年级段进行推广，超市推出了一款C型挂书袋，规定一次性购买C型挂书袋400个以上，可享受8折优惠．若给八年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款2000元；若多买95个，就可享受8折优惠，同样只需付款2000元．请问八年级学生有多少人？ 22．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 23．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．现在用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题． (1)由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为_____（用含的代数式表示）； (2)小敏用图1中的、、三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张； (3)如图3，为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，记正方形和正方形的面积分别为，且，利用（1）中的结论求图中三角形的面积． 24．阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11 12 13. 14 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D 在向当 S 图1 图2 图3 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！