3.1.1 第一课时 函数的概念-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的概念，通过微信与同学的对应关系情境导入，衔接初中变量依赖关系，引导学生用集合语言刻画函数，建立从具体到抽象的学习支架，系统涵盖定义、三要素及同一函数判断等核心知识。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，分题型解析函数关系判断、定义域求解等问题并总结通性通法，发展数学思维，拓展抽象与复合函数内容强化数学语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第一课时　函数的概念 1 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（数学抽象）. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用（数学抽象）. 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域（数学抽象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野 抽象函数与复合函数 能力提升 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋 友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文 件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候 可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生 活不可缺少的一部分.大部分同学都有微信号，这样微信号与同学之间就 有对应关系，即微信号（可能不止一个）对应唯一一位同学.在数学领域 也有类似的对应问题，即实数x（可能不止一个）对应实数y（唯一一个）. 【问题】　你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点一　函数的相关概念 定 义 给定两个 A与B，以及对应关系f，如果对于集合 A中的 实数x，在集合B中都有 确定的实数y 与x对应，则称f为定义在集合A上的一个 ，记作y＝f （x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量 三 要 素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 自变量x的取值的范围（即数集A） 值域 所有函数值组成的集合{y｜y＝f（x），x∈A} 非空实数集　 每一个　 唯一　 函数　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 　　提醒：（1）给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示 的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析 式有意义的自变量取值的集合；（2）函数的定义中强调“三性”：任意 性、存在性、唯一性. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 有同学认为“y＝f（x）”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法 对吗？ 提示：这种看法不对.符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应 理解为x是自变量；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图 象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值 时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f（x）仅仅是函数符 号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f（x）外， 还常用g（x），F（x），G（x）等来表示函数. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. f（x）与f（a）（a为x定义域内的一个定值）有何区别与联系？ 提示：f（a）表示当x＝a时，函数f（x）的值，是一个常量，而f（x） 是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个 特殊值，如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28 是一个常数. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点二　同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数 相同， ⁠也相同 （即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称 这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 定义域　 对应关系　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 如图中不能表示函数关系的是（　　） 解析：　由于C中的2与1和3同时对应，故C不是函数. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ ，那么f（－1）＝（　　） A. －2 B. －1 C. － D. 2 解析：　f（－1）＝ ＝－2.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A. y＝ 与y＝ B. f（x）＝ 与g（x）＝x－2 025 C. f（x）＝x0与g（x）＝1 D. f（x）＝｜x｜与g（x）＝ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　对于A，y＝ 的定义域为{x｜x≠1且x≠－1}，y＝ 的 定义域为{x｜x≠－1}，所以定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，f（x）＝ ＝ g（x）＝ x－2 025，显然两函数不同，故B错误；对于C，f（x）＝x0中，x不能取 0，而g（0）＝1，两函数定义域不同，不是同一个函数，故C错误；对于 D，g（x）＝ ＝｜x｜＝f（x），所以两函数的对应关系一样，且定 义域都是R，所以是同一个函数，故D正确.故选D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜函数关系的判断 【例1】　（1）下列图形能表示函数y＝f（x）的图象的是（　B　） 解析：由函数的定义可知，只有B选项能表示函数y＝f（x）的图象.故 选B. B 数学·必修第一册（B 版） 目 录 ①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝ ； ②A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4； ③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示： （2）判断下列对应关系f是否为定义在集合A上的函数： 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解：①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应关系f：y＝ 的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在集 合A上的函数. ②由f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4，知集合A中的每一个元素在对应关 系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定 义在集合A上的函数. ③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2 在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应关系不是定义在集 合A上的函数. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 1. 判断一个对应关系是否是函数的方法 2. 根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 （1）任取一条垂直于x轴的直线l； （2）在定义域内平行移动直线l； （3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或 有两个或两个以上的交点，则不是函数. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应， 所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数 与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④ 中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有② 是，故选B. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知集合A＝{x｜0≤x≤4}，B＝{x｜0≤x≤2}，下列对应关系能够 构成从A到B的函数的是（　　） A. f：x→ B. f：x→x2 C. f：x→｜x｜ D. f：x→ 解析：　对于A，x＝0∈A，它没有对应的元素，故A错误；对于B、 C，x＝4∈A，而x2＝16∉B，｜x｜＝4∉B，故B、C错误；对于D，当 x∈A时，0≤ ≤2，且x与唯一一个 对应，根据函数定义可 得f：x→ 构成从A到B的函数，故D正确.故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜求函数的定义域 【例2】　（链接教科书第91页例1）求下列函数的定义域： （1）f（x）＝2＋ ； 解：当且仅当x－2≠0，即x≠2时， 函数f（x）＝2＋ 有意义， 所以这个函数的定义域为{x｜x≠2}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）f（x）＝ · ； 解：当且仅当 函数有意义， 解得1≤x≤3， 所以这个函数的定义域为{x｜1≤x≤3}. （3）f（x）＝ － . 解：要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤1且 x≠－1， 即函数定义域为{x｜x≤1且x≠－1}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 求函数定义域的常用方法 （1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集 合； （4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域 的交集； （5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有 意义. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数f（x）＝（ ）0的定义域为（　　） A. R B. （－∞，1）∪（1，＋∞） C. [1，＋∞） D. （1，＋∞） 解析：　令 解得x＞1，所以函数f（x）＝（ ）0的 定义域为（1，＋∞）.故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 函数f（x）＝ ＋ 的定义域为 ⁠ ⁠. 解析：对于函数f（x）＝ ＋ ，令 解 得0≤x≤10且x≠5，所以函数的定义域为[0，5）∪（5，10]. [0，5）∪（5， 10]　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜求函数值和值域 【例3】　（链接教科书第92页例3）（1）已知f（x）＝ （x∈R，且 x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R），则f（2）＝ ，f（g（2）） ＝ ⁠. 解析：∵f（x）＝ ，∴f（2）＝ ＝ . 又∵g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6， ∴f（g（2））＝f（6）＝ ＝ . 　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 ①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3）； ③y＝ ；④y＝2x－ . 解：①（观察法）因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R. ②（配方法）y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），再结合函数的图象（如图（ⅰ）），可得函数的值域为[2，6）. （2）求下列函数的值域： 数学·必修第一册（B 版） 目 录 ④（换元法）设t＝ ，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2（t2＋1）－t＝2 ＋ ，由t≥0，再结合函数的图象（如图（ⅱ）），可得函数 的值域为 . ③（分离常数法）y＝ ＝ ＝3－ . 因为 ≠0，所以y≠3， 所以y＝ 的值域为{y｜y≠3}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 1. 函数求值的方法 （1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值； （2）求f（g（a））的值时应遵循由里往外的原则. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 求函数值域常用的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时， 可利用配方法求其值域； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从 而求得原函数的值域.对于f（x）＝ax＋b＋ （其中a，b，c，d 为常数，且a≠0）型的函数常用换元法. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知函数f（x）＝2x－5，则f（f（1））＝（　　） A. －11 B. －3 C. 11 D. 3 解析：　因为函数f（x）＝2x－5，所以f（1）＝2×1－5＝－3，所以f （f（1））＝f（－3）＝2×（－3）－5＝－11，故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 函数y＝ （x＞3）的值域是（　　） A. （1，＋∞） B. （0，＋∞） C. （3，＋∞） D. （4，＋∞） 解析：　∵y＝ ＝1＋ ， 又∵x＞3，∴ ＞0，∴y＞1，∴函数y＝ （x＞3）的值域为（1， ＋∞）.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 函数y＝1＋x＋ 的值域为（　　） A. （－∞，2] B. （－∞，2） C. （0，2） D. [2，＋∞） 解析：　令 ＝t∈[0，＋∞），则可得1－2x＝t2，即x＝ ， 可得y＝1＋ ＋t＝－ （t2－2t－3）＝－ （t－1）2＋2，当t＝1 时，y＝－ （t－1）2＋2取得最大值2，即y≤2，所以函数y＝1＋x＋ 的值域为（－∞，2].故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型四｜判断两个函数是否是同一个函数 【例4】　〔多选〕下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数的有 （　　） A. f（x）＝x与g（x）＝ B. f（t）＝｜t－1｜与g（x）＝｜x－1｜ C. f（x）＝ 与g（x）＝－x D. f（x）＝ 与g（x）＝x－1 √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　对于A：f（x），g（x）定义域都为R，但f（x）＝x，g （x）＝｜x｜，对应关系不同，故不是同一个函数；对于B：f（t）＝｜ t－1｜定义域为R，g（x）＝｜x－1｜定义域为R，定义域相同，对应关 系也相同，故为同一个函数；对于C：f（x）＝ 定义域为x≤0，且 可化简为f（x）＝－x ，函数g（x）＝－x 定义域为x≤0，两 函数定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数；对于D：f（x）＝ 定义域为x≠－1，g（x）＝x－1定义域为R，定义域不同，故不是 同一个函数.故选B、C. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 判断同一个函数的方法 　　判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则： （1）先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数； （2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是（　　） A. y＝（ ）2 B. y＝ ＋2 C. y＝ ＋2 D. y＝ ＋2 解析：　对于A，y＝（ ）2的定义域为[－2，＋∞），而y＝x＋ 2的定义域为R，定义域不同，故A错误；对于B，y＝ ＋2化简后为y ＝x＋2，定义域和对应关系相同，故B正确；对于C，y＝ ＋2化简后 为y＝｜x｜＋2，对应关系不同，故C错误；对于D，y＝ ＋2的定义域 为 ，与y＝x＋2的定义域为R不相同，故D错误.故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 拓视野 抽象函数与复合函数 能力提升 目 录 1. 抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数. 2. 复合函数的定义 如果函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的定义域为D，值域为 C，则当C⊆A时，称函数y＝f（g（x））为f与g在D上的复合函数.其 中t叫做中间变量，t＝g（x）叫做内层函数，y＝f（t）叫做外层函数. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 抽象函数与复合函数定义域的求法 复合函数f（g（x））的定义域是指x的取值范围，而不是g（x）的取值 范围. （1）已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已 知g（x）的取值范围（值域）为A，求x的取值范围； （2）已知f（g（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已 知f（g（x））中的x的取值范围为B，求出g（x）的取值范围（值 域），即f（x）的定义域； （3）已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域，先由x的取 值范围，求出g（x）的取值范围，即f（x）中的x的取值范围，即h （x）的取值范围，再根据h（x）的取值范围求出x的取值范围. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【典例】　（1）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则g（x）＝f ＋f 的定义域为 　 　； 　 解析：∵f（x）的定义域是[0，2]，且g（x）＝f ＋f ， ∴ 则 ∴ ≤x≤ ， ∴g（x）的定义域为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若函数f（x＋3）的定义域为[－5，－2]，则函数F（x）＝f（x＋ 1）＋f（x－1）的定义域为 ⁠. 解析：∵函数f（x＋3）的定义域为[－5，－2]， ∴－5≤x≤－2， ∴－2≤x＋3≤1， ∴函数f（x）的定义域为[－2，1]. ∴ ∴－1≤x≤0， ∴函数F（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定义域为[－1，0]. [－1，0]　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【迁移应用】 已知函数f（x－1）的定义域为（2，4），则函数f（x）＋f（x2）的定 义域为（　　） A. （1， ） B. （1， ） C. （1，4） D. （1，9） 解析：　函数f（x－1）的定义域为（2，4），故1＜x－1＜3.若函数f （x）＋f（x2）有意义，则 解得1＜x＜ .则函数f（x） ＋f（x2）的定义域为（1， ）.故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 函数f（x）＝ 的定义域是（　　） A. （－∞，－1）∪（0，＋∞） B. [－1，＋∞） C. [－1，0） D. （－∞，－1]∪（0，＋∞） √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　要使函数f（x）＝ 有意义，则 ≥0，且2x≠0，解得 x≤－1或x＞0，所以函数f（x）＝ 的定义域是（－∞，－1]∪ （0，＋∞）.故选D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 函数f（x）＝ 的值域是（　　） A. （－∞，1] B. [1，＋∞） C. [0，＋∞） D. （0，1] 解析：　因为x2＋1≥1，所以0＜ ≤1，故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知集合A＝{x｜－2≤x≤2且x≠1}，集合B＝{y｜－ 1≤y≤2且y≠0}，下列图象能作为集合A到集合B的函数的是（　　） √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　法一　图A中函数是集合{x｜－2≤x≤2且x≠1}到{y｜－ 1≤y≤2且y≠1}的函数，故A错误；图B中函数是集合{x｜－2≤x≤2且 x≠－1}到{y｜－1≤y≤2且y≠0}的函数，故B错误；图C中函数是集合 {x｜－2≤x≤2且x≠1}到{y｜－1≤y≤2且y≠0}的函数，故C正确；图 D中函数是集合{x｜－2≤x≤2且x≠1}到{y｜－1≤y≤2且y≠0}的函 数，故D正确.故选C、D. 法二　图A中函数图象与x轴有交点，设交点为P（x0，0），当x0∈A时 按照图中对应关系x0对应函数值0，而0∉B，故A错误；图B中函数图象在 区间（－1，2]上是连续的，所以函数在x＝1处有意义，即x＝1在定义域 内，而1∉A，故B错误；而C、D中的函数的定义域和值域均符合题设要求. 故选C、D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 已知函数f（x）＝x3－ax，x∈R. 则f（0）＝ ；若f（1）＝0， 则a＝ ⁠. 解析：f（0）＝03－a·0＝0.因为f（1）＝0，所以13－a·1＝0，所以a ＝1. 0　 1　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 给出下列三个函数：①y＝ ；②y＝ ；③y＝ .其中与函 数f（x）＝x是同一个函数的序号是 ⁠. 解析：y＝ 的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞），与f（x）＝x定 义域不同，y＝ ＝x与f（x）＝x定义域、对应关系均相同，y＝ ＝｜x｜，与f（x）＝x对应关系不同， 故填②. ② 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知函数y＝f（x），则函数图象与直线x＝a的交点（　　） A. 有1个 B. 有2个 C. 有无数个 D. 至多有一个 解析：　根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x都有唯一 的函数值与之对应，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 函数y＝ 的定义域为（　　） A. {x∈R｜x≠0} B. {x∈R｜x≠1} C. {x∈R｜x≠－1} D. {x∈R｜x≠0且x≠1} 解析：　依题意可得 解得x≠0且x≠1，则定义域为 {x∈R｜x≠0且x≠1}.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 函数y＝x2－4x＋6，x∈[1，5）的值域是（　　） A. [2，11） B. [3，11） C. [1，11） D. [2，11] 解析：　f（x）＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2，∵x∈[1，5），且函数f （x）的对称轴是直线x＝2，∴函数f（x）的值域是[2，11）.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2}，值域为N＝{y｜ 0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 解析：　函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2}，值域为N＝ {y｜0≤y≤2}，可知A图象定义域不满足题目要求；B图象定义域与值域 不满足题目要求；C图象满足题目要求；D不是函数的图象.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕下列各组函数表示同一个函数的是（　　） A. y＝ 与y＝1 B. y＝ 与y＝ C. y＝ 与y＝x－1 D. y＝ 与y＝x＋1（x≠1） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，函数y＝ ＝1的定义域为{x｜x≠0}，而y＝1 的定义域为R，故A错误； 对于B，函数y＝ ＝ 的定义域为{x｜ x≠0}，y＝ 的定义域为{x｜x≠0}，故B正确； 对于C，函数y＝ 的值域为[0，＋∞），而y＝x－1的值域为R，所以C错误； 对于D，y＝x＋1（x≠1），y＝ ＝x＋1（x≠1），函数定义域相 同，对应关系相同，是同一个函数，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 已知函数f（x）与g（x）的定义域相同，值域也相同，但不是同一个 函数，则满足上述条件的一组f（x）与g（x）的解析式可以为 ⁠ ⁠. 解析：结合一次函数的性质可知，f（x）＝x，g（x）＝－x，两个函数 的定义域和值域都是R，但是对应关系不同，所以两个函数不是同一个 函数. f（x） ＝x，g（x）＝－x，x∈R（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 7. 已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值 域为 ⁠. 解析：∵x＝1，2，3，4，5，∴f（x）＝2x－3＝－1，1，3，5，7. ∴f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}. {－1，1，3，5，7}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 若函数f（x）的定义域为（－2，4），则函数f（x－1）的定义域 为 ⁠. 解析：函数f（x）的定义域为（－2，4），故f（x－1）的定义域满足x －1∈（－2，4），解得－1＜x＜5，故f（x－1）的定义域为{x｜－1＜x ＜5}. {x｜－1＜x＜5}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 求下列函数的定义域： （1）f（x）＝ ； 解： 要使函数有意义，只需 解得x≤－1或x≥4 且x≠－3， 所以函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3，－1]∪[4，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）已知函数f（x＋3）的定义域为（－1，0），求函数f（2x＋1）的 定义域. 解： 由题意知－1＜x＜0，所以2＜x＋3＜3，即f（x）的定义域为 （2，3）， 所以2＜2x＋1＜3，解得 ＜x＜1. 故函数f（2x＋1）的定义域是（ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. “函数y＝ 的定义域为R”是“a≤2”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若函数y＝ 的定义域为R，则x2－ax＋1≥0在R上 恒成立，则Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，又因为{a｜－2≤a≤2}是 {a｜a≤2}的真子集，所以“函数y＝ 的定义域为R”是 “a≤2”的充分不必要条件.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 11. 已知函数f（x）＝ ，则函数y＝f（2x＋1）的定义域为 ⁠ ⁠. 解析：要使函数f（x）＝ 有意义，必须x＋4＞0，解得x＞－4，∴函 数y＝f（x）的定义域为（－4，＋∞）.由函数y＝f（2x＋1），令2x＋ 1＞－4，解得x＞－ ，∴函数y＝f（2x＋1）的定义域是（－ ，＋ ∞）. （－ ，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 12. 已知函数f（x）＝ ＋ 的定义域是A，函数g（x）＝x2＋ 2x在[m，1]上的值域是[－1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合 是B. （1）分别求出定义域A与集合B； 解： 由题意得 ∴－1≤x＜2，∴A＝[－1，2）， ∵g（x）＝x2＋2x＝（x＋1）2－1， ∴当x＝－1时，g（x）的最小值为－1， ∵函数g（x）在[m，1]的值域为[－1，3]， ∴－3≤m≤－1，∴B＝[－3，－1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）设集合C＝{x｜x＜2a－6或x＞a}.若B∩C＝∅，求实数a的取值 范围. 解： ∵B∩C＝∅， ∴ ∴－1≤a≤ ， ∴a的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ ，集合A为函数f（x）的定义域，集合B 为函数f（x）的值域，若定义A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，A⊕B＝ （A－B）∪（B－A），则A⊕B＝ ⁠. ∪ 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：要使函数f（x）＝ 有意义，则1－4x2≥0，解得－ ≤x≤ ，所以A＝ ，函数f（x）＝ 的值域B＝[0，1]， A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}＝ ，B－A＝{x｜x∈B， 且x∉A}＝ . A⊕B＝（A－B）∪（B－A）＝ ∪ ＝ ∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 14. 对于函数f（x）和g（x），记函数f（x）的定义域为A，函数g （x）的定义域为B，若B⊆A，则称函数g（x）是函数f（x）的“好函 数”，否则，称函数g（x）不是函数f（x）的“好函数”.现已知函数h （x）的定义域为（0，＋∞）. （1）若函数φ（x）＝h（2x－1），判断函数φ（x）是不是函数h（x） 的“好函数”； 解：由题设知，2x－1＞0，解得x＞ ， ∴函数φ（x）的定义域为 ，又 ⊆（0，＋∞）， ∴函数φ（x）是函数h（x）的“好函数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若函数u（x）＝h（－x2－ax＋a＋1），且函数u（x）是函数h （x）的“好函数”，求实数a的取值范围. 解：记函数u（x）的定义域为M，则M＝{x｜－x2－ax＋a＋1＞ 0}且M⊆（0，＋∞）， 由－x2－ax＋a＋1＞0得x2＋ax－a－1＜0，即（x－1）·（x＋a＋1）＜ 0，由函数的定义知，M为非空数集，故a＋1≠－1，即a≠－2. 当a＜－2时，M＝（1，－a－1），显然满足M⊆（0，＋∞）； 当a＞－2时，M＝（－a－1，1），又M⊆（0，＋∞），则－a－ 1≥0，解得a≤－1，故－2＜a≤－1. 综上，实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（－2，－1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $