2.2.4 第一课时 均值不等式-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦均值不等式，通过第24届国际数学家大会会标（赵爽弦图）情境导入，引导学生发现不等关系，进而学习算术与几何平均值定义，推导均值不等式及重要不等式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学抽象，通过典例研析（如比较大小、证明不等式）发展逻辑推理与数学运算素养，设置自我诊断和跟踪训练强化应用。通性通法总结帮助学生构建知识体系，教师使用可明确教学目标，提升教学效率，助力学生掌握均值不等式的应用。

第一课时　均值不等式 1 1.掌握均值不等式及推导过程（数学抽象、逻辑推理）. 2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小（逻辑推理、数学运算）. 3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 如图，是第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车. 【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？   　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点　均值不等式 1. 算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数 　 　称为a，b的算术平均值；数 称为 a，b的几何平均值. 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 均值不等式 如果a，b都是正数，那么 ，当且仅当a＝b时，等号成 立. 　　提醒：均值不等式的常见变形：①a＋b≥2 ；②ab≤ ≤ . 3. 重要不等式 对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 时，等号成立. ≥ 　 a＝b　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 2. 均值不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明. 提示：不能，如 ≥ 是不成立的. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是（　　 ） A. m＝1 B. m＝±1 C. m＝－1 D. m＝0 解析：　若不等式m2＋1≥2m，由重要不等式等号成立的条件得m＝1， 故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知a，b为正实数，A＝ ， ＝ ＋ ，G＝ ，则（　　） A. G≤H≤A B. H≤G≤A C. G≤A≤H D. H≤A≤G 解析：　因为a，b为正实数，所以A＝ ≥ ＝G，当且仅当a＝ b时，等号成立. ＝ ＋ ≥2 ＝ ，所以H≤ ，当且仅当a＝ b时，等号成立.综上，H≤G≤A. 故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 若0＜a＜b，a＋b＝1，则a， ，2ab中最大的数为 　 　. 解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，所以a＜ . 因为ab＜ ＝ ，所以2ab＜ ，所以a， ，2ab中最大的数为 . 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜对均值不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴ ＋a≥2 ＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴ ＋ ＝－［ ＋ ］≤－ 2 ＝－2. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 其中正确的推导为（　　 ） A. ①② B. ①③ √ 解析：　①∵a，b为正实数，∴ ， 为正实数，符合均值不等式的条 件，故①的推导正确； ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴ ＋a≥2 ＝4是错 误的； ③由xy＜0，得 ， 均为负数，但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号 后， ， 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确. C. ②③ D. ①②③ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 1. 均值不等式 ≥ （a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间 的关系. 2. 对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a，b都是正数； （2）“当且仅当”的含义：当a＝b时， ≥ 的等号成立，即a＝ b⇒ ＝ ；仅当a＝b时， ≥ 的等号成立，即 ＝ ⇒a＝b. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 如图，AB是半圆O的直径，点C是直径AB上一动点，过点C作AB的垂线，交 于点D，连接AD，BD，OD. 设AC＝a，BC＝b，比较线段 OD与CD的长度，得出结论正确的是（　　） A. ＝ （a＞0，b＞0） B. ≥ （a＞0，b＞0） C. ＜ （a＞0，b＞0） D. ＞ab（a＞0，b＞0） √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　因为OD是圆O的半径，所以OD＝ ＝ .因为AB是圆O 的直径，所以∠ADB＝90°，则△ACD∽△DCB，即 ＝ ，即CD2＝ AC·CB＝ab，所以CD＝ ，当点C与点O重合时，CD＝OD，否则 CD＜OD，即CD≤OD，所以 ≥ （a＞0，b＞0）.故选B. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜利用均值不等式比较大小 【例2】　（1）已知a，b∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是 （　D　） A. a＋b≥2 B. ＋ ≥2 C. ≥2 D. ≥ D 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：由 ≥ 得a＋b≥2 ，∴A成立； ∵ ＋ ≥2 ＝2，∴B成立； ∵ ≥ ＝2 ，∴C成立； ∵ ≤ ＝ ，∴D不一定成立. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋ bc＋ca的大小关系是 ⁠. 解析：∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2bc，a2＋c2＞2ac. ∴2（a2＋b2＋c2）＞2（ab＋bc＋ac）. 即a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.∴p＞q. p＞q　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2 成立 的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条 件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 已知a＞0，b＞0，且a≠b，则 ， ， ， 中最大的是 （　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　因为a＞0，b＞0，所以 ≤ ＝ ， ≤ ， ＝ ≥ ＝ ，当且仅当a＝b时，等号 成立，又已知a≠b，则 ＜ ＜ ＜ .故选A. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜利用均值不等式证明不等式 【例3】　已知x＞0，y＞0，z＞0，求证 ≥8. 证明：∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴ ＋ ≥ ＞0， ＋ ≥ ＞0， ＋ ≥ ＞0，当且仅当x＝y ＝z时，以上三个不等式的等号同时成立. ∴ ≥ ＝8， 当且仅当x＝y＝z时等号成立. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和 有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已 知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成 立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使 用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等 式模型再使用. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 已知a，b，c＞0，求证： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. 证明：因为a，b，c＞0，则 ＞0， ＞0， ＞0， 于是得 ＋b≥2 ＝2a，当且仅当 ＝b，即a＝b时等号成立， ＋c≥2 ＝2b，当且仅当 ＝c，即b＝c时等号成立， ＋a≥2 ＝2c，当且仅当 ＝a，即c＝a时等号成立， 数学·必修第一册（B 版） 目 录 将上述三个不等式相加得： ＋b＋ ＋c＋ ＋a≥2a＋2b＋2c， 当且仅当a＝b＝c时等号成立，因此有 ＋ ＋ ≥a＋b＋c， 所以当a，b，c＞0时， ＋ ＋ ≥a＋b＋c. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 下列不等式恒成立的是（　　） A. a2＋b2≥－2ab B. a2＋b2≤2ab C. a＋b≥－2 D. a＋b≤2 解析：　对于A，a2＋b2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜≥－2ab，A正确； 对于B，a2＋b2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜≥2ab，B错误；对于C，取a＝ －2，b＝0，a＋b＝－2＜0＝－2 ，C错误；对于D，取a＝1，b ＝2，a＋b＝3＞2 ＝2 ，D错误.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是 （　　） A. a2＋b2≥2ab B. a＋b≥2 C. ＋ ＞ D. ＋ ≥2 √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，∀a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab成立，A正确；对 于B，由于a，b∈R，且ab＞0，当a＜0，b＜0时，a＋b＜0，而2 ＞0，不等式不成立，B错误；对于C，由于a，b∈R，且ab＞0，当a＜ 0，b＜0时， ＋ ＜0，而 ＞0，不等式不成立，C错误；对于D，由 a，b∈R，且ab＞0，得 ＞0， ＞0，则 ＋ ≥2 ＝2，当且仅当a ＝b时取等号，D正确.故选A、D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. ab＞0是 ＋ ＞2的（　　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　当ab＞0时， ＞0， ＞0， ＋ ≥2 ＝2，当且仅当a＝ b时取等号， 所以ab＞0不是 ＋ ＞2的充分条件； 若 ＋ ＞2，则 ＋ ＝ ＞2，所以ab＞0，故ab＞0是 ＋ ＞2的必 要条件. 综上，ab＞0是 ＋ ＞2的必要不充分条件.故选B. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 若a，b∈R，且ab＝4，可以证明a2＋b2≥8成立.请写出等号成立的条 件： ⁠. 解析：由a2＋b2≥2ab，且ab＝4，则a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝±2时 等号成立. a＝b＝±2 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　 ） A. s≥t B. s＞t C. s≤t D. s＜t 解析：　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s（当且仅当b＝1 时等号成立）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　） A. ＜ B. ＞ C. ＋ ＞2 D. ＞ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　∵a＜b＜0，∴ ＞ ，故A错；∵a＜b＜0，∴a2＞b2，即b2 －a2＜0，ab＞0，可得 － ＝ ＜0，∴ ＜ ，故B错；∵a＜b＜ 0，∴ ＞0， ＞0，且 ≠ ，则 ＋ ＞2 ＝2，故C正确；∵a＜b ＜0，∴ ＜0，而 ＞0，则 ＜ ，故D错.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（　　 ） A. x＋1≥2 B. x2＋1＞2x C. ≤1 D. x＋ ≥2 解析：　对于A，当x＜0时，根式无意义，故A不恒成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不恒成立； 对于C，x2＋1≥1，所以 ≤1成立，故C成立； 对于D，当时x＜0时，x＋ ≤－2，故D不恒成立. 即对任何实数x都成立的一个式子是 ≤1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 已知a＞1，b＞1且a≠b，下列各式中最大的是（　　 ） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　因为a＞1，b＞1，a≠b，由基本不等式得1＜ ＜ ， 由不等式性质得 ＞ ， 又 － ＝ － ＝ ＞0，所以 ＜ ＜ ＜ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕若实数x，y满足x2＋y2＝4＋xy，则（　　） A. －4≤x＋y≤4 B. x＋y≤2 C. x2＋y2≤8 D. x2＋y2≥4 解析： 　根据均值不等式得（x＋y）2＝4＋3xy≤4＋3（ ）2，当 且仅当x＝y时等号成立，所以（x＋y）2≤16，因此－4≤x＋y≤4，故 选项A正确，选项B不正确；根据重要不等式得x2＋y2＝4＋xy≤4＋ ，当且仅当x＝y时等号成立，所以x2＋y2≤8，故选项C正确；当 x，y异号时，xy＜0，所以x2＋y2＝4＋xy＜4，选项D不正确.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 已知a＞b＞c，则 与 的大小关系 是 ⁠. 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴ ≤ ＝ . ≤ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 7. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为 b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值 的大小关系 为 ⁠. 解析：用两种方法求出第三年的产量分别为A（1＋a）（1＋b），A（1 ＋x）2，则有（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b）， ∴1＋x＝ ≤ ＝1＋ ， ∴x≤ ，当且仅当a＝b时等号成立. x≤ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 已知a，b是正实数，以下不等式： ① ＞ ；②a＞｜a－b｜－b；③a2＋b2＞4ab－3b2；④ab＋ ＞2.恒成立的序号为 ⁠. ②④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：① ≤ ＝ ，即 ≥ ，当且仅当a＝b时等号成 立，①不正确；②∵a，b是正实数，则｜a－b｜＜a＋b，∴｜a－b｜ －b＜a＋b－b＝a，②正确；③a2＋b2－（4ab－3b2）＝（a－2b） 2≥0，即a2＋b2≥4ab－3b2，当且仅当a＝2b时等号成立，③不正确；④ ab＋ ≥2 ＝2 ＞2，当且仅当ab＝ 时等号成立，即ab＋ ＞2，④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证： ≥8. 证明：因为a，b，c∈（0，＋∞），a＋b＋c＝1， 所以 －1＝ ＝ ≥ ，同理 －1≥ ， －1≥ . 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得 ≥ · · ＝8. 当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半 路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 （　　） A. 甲先到 B. 乙先到 C. 甲、乙同时到 D. 不能确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　设总路程为s，甲的总时间为t1，乙的总时间为t2，由 m＋ n ＝s，得t1＝ ，显然t2＝ ＋ ＝ ，于是 ＝ ＝ ，而m≠n，m＞0，n＞0，m＋n＞2 ，因此 ＜1，即 ＜1，t1＜t2，所以甲先到达.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 11. 已知a＞0，b＞0，则“ab≤1”是“ ≤1”的（　　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　因为a＞0，b＞0，若ab≤1，则 ≤1，即1－ ≥0，∴a ＋b－2ab≥2 －2ab＝2 （1－ ）≥0，∴a＋b≥2ab，从而 ≤1，充分性成立；若 ≤1，例如a＝ ，b＝2， ＝1，但ab ＝ ＞1，因此必要性不成立，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 12. 已知a，b，c为正数，求证： ＋ ＋ ≥3. 证明：左边＝ ＋ －1＋ ＋ －1＋ ＋ －1 ＝ ＋ ＋ －3. ∵a，b，c为正数， ∴ ＋ ≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）； ＋ ≥2（当且仅当a＝c时取“＝”）； ＋ ≥2（当且仅当b＝c时取“＝”）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 从而 ＋ ＋ ≥6（当且仅当a＝b＝c时取“＝”）. ∴ ＋ ＋ －3≥3， 即 ＋ ＋ ≥3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 13. 下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式.下列选 项正确的是（　　） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直 径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平 均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为 a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质 量为z. A. x＞y＞z B. x＞z＞y C. z＞x＞y D. z＞y＞x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　由问题甲，结合圆的面积公式可得π（ ）2＋π（ ）2＝2π （ ）2，有a2＋b2＝2x2，即x＝ .由问题乙，设每圈的长度为s， 则 ＝y，整理可得 ＝y.由问题丙，设天平左边的臂长为m，右边 的臂长为n，则 可得z2＝ab，即 ＝z.因为a，b是不相等 的正数，则有a＋b＞2 ，可得 ＜ ，根据重要不等式可知a2＋ b2＞2ab，得 ＞ ，则有 ＞ ＞ ，所以x＞z＞ y.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 14. 已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数. （1）求证： ＋ ＋ ≥ ； 解：证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数， 所以 ＋ ＋ ＝ [（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）] ＝ ［3＋（ ＋ ）＋ ＋ ］≥ （3＋2＋2＋2）＝ ， 当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，所以 ＋ ＋ ≥ 得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对 所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范 围；如果不存在，请说明理由. 解：因为a＋b＋c＝3，所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2bc＋2ca≤3（a2＋b2＋c2）， 因此a2＋b2＋c2≥3（当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号）， 所以（a2＋b2＋c2）min＝3， 由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，即得x2－mx＋1≥0恒成立， 因此Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2. 故存在实数m∈[－2，2]使不等式恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $