2.2.2 不等式的解集-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦不等式的解集，涵盖一元一次不等式（组）、绝对值不等式及数轴距离问题。通过程序运算情境导入，从输入x进行3x-6运算且结果小于18的问题出发，衔接不等式概念，为解集求解构建现实背景学习支架。 其亮点在于情境导入培养直观想象（数学眼光），如程序操作让学生观察数量关系。典例研析中绝对值不等式的零点分段法训练数学运算与推理（数学思维），数轴距离问题结合几何意义助学生用数学语言表达。通性通法总结解题步骤，学生提升运算与直观想象能力，教师可高效实施分层教学。

2.2.2　不等式的解集 1 1.会求一元一次不等式（组）的解集（数学运算）. 2.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解（直观想象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次 程序操作， 输入x后程序操作仅进行了一次就停止. 【问题】　（1）情境中的运算程序涉及何不等式？ （2）如何解此不等式？  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1. 不等式的解集 一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2. 不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集 称为不等式组的解集. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 不等式ax＋b＞0的解集是 吗？ 提示：不一定.当a＞0时，不等式ax＋b＞0的解集为 ；当a ＜0时，不等式ax＋b＞0的解集为 . 2. 不等式的解集是否一定为无限集？ 提示：不一定.如不等式｜x｜＜0的解集是空集，不等式x2≤0的解集是 {0}，为有限集. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点二　绝对值不等式 1. 绝对值的定义 数轴上表示数a的点与 的距离称为数a的绝对值，记作｜a｜.而 且一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ⁠ ，0的绝对值是 ⁠. 2. 绝对值不等式 一般地，含有 的不等式称为绝对值不等式. 原点　 它本身　 它的相反 数　 0　 绝对值　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 绝对值不等式的解集 当m＞0时，关于x的不等式｜x｜＞m的解集为 ⁠ ；关于x的不等式｜x｜≤m的解集为 ⁠. 　　提醒：｜ax＋b｜≤m，｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法： 只需将ax＋b看成一个整体，即化成｜x｜≤m，｜x｜≥m（m＞0）型 不等式求解.①｜ax＋b｜≤m（m＞0）型不等式的解法：先化为－ m≤ax＋b≤m，再由不等式的性质求出该不等式的解集；②｜ax＋b｜ ≥m（m＞0）型不等式的解法：先化为ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再进 一步利用不等式性质求出该不等式的解集. （－∞，－m）∪ （m，＋∞）　 [－m，m]　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点三　数轴上的坐标与距离 1. 两点间的距离公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B （b），则线段AB的长为AB＝ ，这就是数轴上两点之间的 距离公式. 2. 中点坐标公式 若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝ ⁠就是数轴上的中点坐标 公式. ｜a－b｜　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 不等式｜x＋1｜≤3的解集的几何意义是什么？ 提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的 集合. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 不等式－3x＋2＞0的解集为（　　 ） A. {x｜x＜1或x＞2} B. {x｜x＞0} C. D. {x｜x＜7} 解析：　－3x＋2＞0⇔3x－2＜0，得x＜ ，所以不等式的解集是 .故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知数轴上不同的两点A（a），B（b），则数轴上满足条件PA＝PB 的点P的坐标为（　　） A. B. C. D. b－a 解析：　设点P的坐标为x.∵PA＝PB，∴｜a－x｜＝｜b－x｜，即a －x＝±（b－x），解得x＝ ，故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 不等式1－｜x｜＜0的解集为 ⁠. 解析：依题意，1－｜x｜＜0⇒｜x｜＞1⇒x＞1或x＜－1.所以不等式的 解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. （－∞，－1）∪（1，＋∞）　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜不等式组的解法 【例1】　（链接教科书第68页例1）解下列不等式组： （1） 解：解不等式①，得x＜－6，解不等式②， 得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无 解，即不等式组的解集为∅. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2） 解：解不等式①，得x＞－ ，解不等式②， 得x≤ ，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 不等式组的求解步骤 （1）求出不等式组中每个不等式的解集； （2）借助数轴求出各解集的公共部分（交集）； （3）写出不等式组的解集. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 不等式组 的解集为{x｜x＞a}，则a的取值范围是 （　　） A. {a｜a≤2} B. {a｜a＜2} C. {a｜a≥2} D. {a｜a＞2} 解析：　由 得 因为不等式组的解集为{x｜x＞ a}，所以a≥2，即a的取值范围是{a｜a≥2}.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 在一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是 （　　 ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：　解不等式2x＋1＞0，得x＞－ .解不等式x－5≤0，得x≤5， 所以不等式组的解集为 ，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个.故 选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜解含绝对值的不等式 角度1　｜ax＋b｜≤c与｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 【例2】　不等式｜5－4x｜＞9的解集为 ⁠. 解析：∵｜5－4x｜＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9. ∴4x＜－4或4x＞14，∴x＜－1或x＞ . ∴原不等式的解集为 . 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【母题探究】 （变设问）若不等式｜kx－5｜≤9的解集为 ，则实数k ＝ ⁠. 解析：由｜kx－5｜≤9⇔－4≤kx≤14. ∵不等式的解集为 ，∴k＝4. 4　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 ｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法 （1）当c＞0时，｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋ b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）当c＝0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜＜c的解集为 ∅； （3）当c＜0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜≤c的解集为∅. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 角度2　｜x－a｜＋｜x－b｜≥c和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c型不等式 的解法 【例3】　（链接教科书第70页探索与研究）解不等式｜x＋7｜－｜x－ 2｜≤3. 解：法一　｜x＋7｜－｜x－2｜ 可以看成数轴上的动点（坐标为x）到－7对应点的距离 与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3的解集 为x≤－1，即x∈（－∞，－1]. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 法二　令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3， ∴－9≤3成立，∴x＜－7. ②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3， 即2x≤－2，∴x≤－1， ∴－7≤x≤－1. ③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3， 即9≤3不成立， ∴x∈∅. ∴原不等式的解集为（－∞，－1]. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌 握，在解答过程中要注意以下几点： （1）分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏； （2）每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”， 最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后 合”； （3）不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时 用列举法；二是用区间. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为（　　 ） A. B. C. D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　当2x－1≥0时，即x≥ 时，有1≤2x－1＜2，解得1≤x＜ ； 当2x－1＜0时，即x＜ 时，有1≤1－2x＜2，解得－ ＜x≤0. 综上，不等式的解集为{x｜－ ＜x≤0或1≤x＜ }.故选D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 解关于x的不等式｜2x－1｜－｜x＋1｜＜1. 解：当x＜－1时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝－2x＋1＋x＋1＝－x＋2＜ 1⇒x＞1，此时不等式无解；当－1≤x≤ 时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝－ 2x＋1－x－1＝－3x＜1⇒x＞－ ，此时－ ＜x≤ ； 当x＞ 时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝2x－1－x－1＝x－2＜1⇒x＜3，此 时 ＜x＜3.综上，原不等式的解集为{x｜－ ＜x＜3}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜数轴上的距离问题 【例4】　（链接教科书第70页例2）已知数轴上三点P（－8），Q （m），R（2）. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； 解：若P是线段QR的中点，则－8＝ ， ∴m＝－18； 若Q是线段PR的中点，则m＝ ＝－3； 若R是线段PQ的中点，则2＝ ，∴m＝12. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值 范围. 解：由题意，知 ＞1， 即 ＞1， ∴ －1＞1或 －1＜－1，解得m＞4或m＜0， ∴实数m的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 1. 当P（x）中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP ＝x；当P（x）中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离 OP＝－x. 2. 由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越 大；点对应的实数越大，点越靠向右方. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 已知数轴上不同的两点A，B，若B点的坐标为3，且AB＝5，则线段AB 的中点M的坐标为（　　） A. B. C. 4 D. 或 解析：　记点A（x1），B（x2），则x2＝3.AB＝｜x2－x1｜＝5，即｜ 3－x1｜＝5，解得x1＝－2或x1＝8.当x1＝－2时，M的坐标为 ＝ ； 当x1＝8时，M的坐标为 ＝ .故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则MP＋PN＝ （　　） A. －4 B. 4 C. －12 D. 12 解析：　MP＋PN＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 不等式组 的解集在数轴上表示为（　　） 解析：　解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜ 0，得x＞2，[3，＋∞）∩（2，＋∞）＝[3，＋∞），故不 等式组的解集为[3，＋∞）.在数轴上表示如图所示.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤3的最小整数解为（　　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 解析：　当x≤1时，则｜x－1｜＋｜x－2｜＝1－x＋2－x＝3－ 2x≤3，可得x≥0，此时，0≤x≤1；当1＜x＜2时，则｜x－1｜＋｜x－ 2｜＝x－1＋2－x＝1≤3恒成立，此时，1＜x＜2；当x≥2时，则｜x－ 1｜＋｜x－2｜＝x－1＋x－2＝2x－3≤3，解得x≤3，此时，2≤x≤3. 综上所述，不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤3的解集为{x｜0≤x≤3}，则满 足原不等式的最小整数解为0，故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 〔多选〕已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（　　） A. A∩B＝ B. A∩B＝∅ C. A∪B＝{x｜x＜2} D. A∪B＝R 解析： 　由3－2x＞0得x＜ ，A∩B＝{x｜x＜2}∩ ＝ ，A正确，B错误.A∪B＝{x｜x＜2}∪ ＝{x｜x＜ 2}，C正确，D错误.故选A、C. √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 已知不等式ax－1＞x＋2的解集为（2，＋∞），求a的值. 解：原不等式等价于（a－1）x＞3.因为不等式的解集为（2，＋∞）， 则有 解得a＝ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 不等式｜x－1｜＜2的解集是（　　） A. {x｜－1＜x＜3} B. {x｜1＜x＜3} C. {x｜x＜－1或x＞3} D. {x｜x＜1或x＞3} 解析：　由｜x－1｜＜2可得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3，故原不等 式的解集为{x｜－1＜x＜3}.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 不等式组 的解集为（　　） A. （－2，1] B. （－∞，－2）∪[1，＋∞） C. [1，＋∞） D. （－∞，－2） 解析：　由 得 ∴x≥1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 在数轴上，已知A（a－1），B（1－a），原点为O，则（　　 ） A. a＜1 B. a≥1 C. AB＝0 D. OA＝OB 解析：　∵a－1与1－a互为相反数，∴OA＝OB. 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 设x∈R，则“ ≤2”是“｜x－1｜＜2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　 ≤2，则－1≤x≤3；｜x－1｜＜2，则－1＜x＜3，故 “ ≤2”是“｜x－1｜＜2”的必要不充分条件.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕如果关于x的不等式组 的解集为{x｜x＜ 1}，且关于x的分式方程 ＋ ＝3有非负数解，则符合条件的整数m 可以是（　　） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　解不等式 ≤1，得x≤m＋3，解不等式x－4＞3（x－ 2），得x＜1， ∵不等式组的解集为{x｜x＜1}，∴m＋3≥1，解得m≥－2. 解分式方程 ＋ ＝3得x＝ . ∵分式方程有非负数解，∴ ≥0且 ≠1，解得m＜3且m≠2， ∴－2≤m＜3且m≠2， 则符合条件的整数m的值是－2，－1，0，1. 故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 若1是关于x的不等式ax＋1＞2a－x的解，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：因为1是关于x的不等式ax＋1＞2a－x的解，所以a＋1＞2a－1， 解得a＜2， 所以实数a的取值范围是（－∞，2）. （－∞，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 7. 不等式 ＜ 的解集为 ⁠. 解析：因为 ＜ ，所以｜x－1｜＞2，所以x－1＞2或x－1＜－ 2，即x＞3或x＜－1， 因此，原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）. （－∞，－1）∪（3，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 若关于x的不等式（a＋b）x＋（b－2a）＜0的解集为（1，＋∞）， 则关于x的不等式ax＞－b的解集为 ⁠. 解析：因为关于x的不等式（a＋b）x＋（b－2a）＜0的解集为（1，＋ ∞），则1是方程（a＋b）x＋（b－2a）＝0的根，且a＋b＜0，因此a ＝2b，且b＜0，不等式ax＞－b化为2bx＞－b，而b＜0，解得x＜－ ，所以关于x的不等式ax＞－b的解集为（－∞，－ ）. （－∞，－ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 解关于x的不等式： （1）a（x－1）＞x－2（a＞0，a∈R）； 解：由a（x－1）＞x－2（a＞0，a∈R），可得（a－1）x＋2－a＞0， 当a－1＝0，即a＝1时，此时2－1＝1＞0，则不等式的解集为R； 当a－1＞0，即a＞1时，此时（a－1）x＋2－a＞0，解得x＞ ； 当a－1＜0，即0＜a＜1时，此时（a－1）x＋2－a＞0，解得x＜ . 综上，当a＝1时，不等式的解集为R； 当a＞1时，不等式的解集为{x｜x＞ }； 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜x＜ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）｜x＋2｜＋｜x－1｜≥4. 解： ①当x＜－2时，原不等式变形为－（x＋2）－（x－1）≥4， 化简得－2x≥5，解得x≤－ ； ②当－2≤x＜1时，原不等式变形为x＋2－（x－1）≥4，无解； ③当x≥1时，原不等式变形为x＋2＋（x－1）≥4，解得x≥ . 综上，原不等式的解集为（－∞，－ ］∪［ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. 已知条件p：｜x＋1｜＞2，条件q：x＞a，且􀱑p是􀱑q的充分不必 要条件，则实数a的取值范围为（　　 ） A. [1，＋∞） B. [－1，＋∞） C. （－∞，1] D. （－∞，3] 解析：　由条件p：｜x＋1｜＞2，解得x＞1或x＜－3，故􀱑p：－ 3≤x≤1，由条件q：x＞a得􀱑q：x≤a.∵􀱑p是􀱑q的充分不必要条 件，∴a≥1.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 11. 对于任意实数x，不等式｜x＋7｜≥m＋2恒成立，则实数m的取值范 围是 ⁠. 解析：令y＝｜x＋7｜，要使任意x∈R，｜x＋7｜≥m＋2恒成立，只需 m＋2≤ymin， 因为ymin＝0，所以m＋2≤0， 所以m≤－2，所以m的取值范围是（－∞，－2]. （－∞，－2]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 12. 设p：2x－1＜1，q：x－（2a＋1）＜0，r：｜x｜＜1. （1）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围； 解：p：2x－1＜1⇒x＜1，q：x－（2a＋1）＜0⇒x＜2a＋1. 因为p是q的必要条件，所以{x｜x＜2a＋1}是{x｜x＜1}的子集， 故2a＋1≤1，解得a≤0，即实数a的取值范围为（－∞，0]. （2）q对应的解集为A，r对应的解集为B，若A∩B≠∅，求实数a的取 值范围. 解：A＝{x｜x＜2a＋1}，B＝{x｜－1＜x＜1}，A∩B≠∅， 故2a＋1＞－1，解得a＞－1，故实数a的取值范围为（－1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 13. 设a为实数，若关于x的一元一次不等式组 的解集中有 且仅有4个整数，则a的取值范围是 ⁠. 解析：关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，则 a＞0， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 则 解得 ＜a≤2；当不等式的4个整数解为－1，0，1，2 时，则 不等式组无解，综上所述，a的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 14. 对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）＝ （其中mn≠0，m，n∈R），已知P（2，1）＝7，P （－1，1）＝－1. （1）求m，n的值； 解： 由题意知 解得m＝2，n＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解：由（1）知P（x，y）＝ 因为a＞0，所以2a－（a－1）＝a＋1＞0，即2a＞a－1， － a－1－（－ a）＝－ a－1＜0，即－ a－1＜－ a. 所以由 得 （2）若a＞0，解不等式组 解得 即 故不等式组的解集为{a｜0＜a＜1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $