2.2.3 一元二次不等式的解法-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，通过交通车距情境导入问题，衔接一元二次方程与不等式的关系，以情境导入、新知初探、自我诊断为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于情境化设计与分层题型，如交通车距问题培养数学眼光，含参数不等式解法训练数学思维，总结通性通法提升推理能力。学生可提升运算与抽象能力，教师能高效开展教学。

2.2.3　一元二次不等式的解法 1 1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式（数学运算）. 2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系（数学抽象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过 修建立交桥和高架道路以提高车速和通过能力.城市环 线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥 进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已成为 现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的 运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长（单位：m）的积，且车距 不得少于半个车身，假定车身长均为l（单位：m），当车速为60（单位： km/h）时，车距为1.44个车身长. 【问题】　在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量 最大？ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点　一元二次不等式的解法 1. 一元二次不等式的概念 一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中 a，b，c为常数，而且a≠0. 　　提醒：判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未知 数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0. ax2＋bx＋c＞0　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集 是 ，不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是 ⁠ ⁠. 3. 用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为 ⁠ 或 的形式，然后根据k的正负等知识，就可 以得到原不等式的解集. （x1，x2）　 （－∞， x1）∪（x2，＋∞）　 （x－ h）2＞k　 （x－h）2＜k　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 　mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式吗？ 提示：不一定.当m≠0时，mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 不等式x2－4x＜0的解集是（　　 ） A. （0，4） B. （－4，0） C. （－∞，4） D. （－∞，0）∪（4，＋∞） 解析：　x2－4x＜0⇒x（x－4）＜0，解得0＜x＜4，所以解集为（0， 4）.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 不等式－6x2－5x＋6＞0的解集为（　　） A. {x｜x＜－ 或x＞ } B. {x｜－ ＜x＜ } C. {x｜x＜－ 或x＞ } D. {x｜－ ＜x＜ } 解析：　由－6x2－5x＋6＞0，可得6x2＋5x－6＜0，即（x－ ）·（x ＋ ）＜0，解得－ ＜x＜ ，所以不等式－6x2－5x＋6＞0的解集为{x｜ － ＜x＜ }.故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 不等式 ≥0的解集为（　　） A. ［－1， ］ B. （－1， ］ C. （－∞，－1]∪[2，＋∞） D. （－∞，－1）∪［ ，＋∞） 解析：　由 ≥0，得 解得x≥ 或x＜－ 1，因此，原不等式的解集为（－∞，－1）∪［ ，＋∞）.故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　（链接教科书第73页例1）解下列不等式： （1）2x2＋7x＋3＞0； 解：法一　因为2x2＋7x＋3＝2 ＝2 （x＋3）， 所以2 （x＋3）＞0，即x＞－ 或x＜－3， 所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 法二　因为2x2＋7x＋3＝2 ＋3 ＝ － ， 所以2 － ＞0，即 ＞ ， 所以x＋ ＞ 或x＋ ＜－ ， 即x＞－ 或x＜－3， 所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）－4x2＋18x－ ≥0； 解：因为－4x2＋18x－ ＝－4 ＝－4 ， 所以－4 ≥0，即 ≤0，x＝ . 所以原不等式的解集为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）－2x2＋5x－2＜0； 解：因为－2x2＋5x－2＝－2 ＝－2 ＝－ 2 ＋ ，所以－2 ＋ ＜0，即 ＞ . 所以x－ ＞ 或x－ ＜－ ， 解得x＞2或x＜ . 所以原不等式的解集为 ∪（2，＋∞）. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （4）－ x2＋3x－5＞0. 解：因为－ x2＋3x－5＞0， 所以x2－6x＋10＜0. 又因为x2－6x＋10＝（x－3）2＋1＜0无解， 所以原不等式的解集为∅. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 解不含参数的一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一 次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不 等式的解集； （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值， 完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的 通法，即判别式法. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　） A. {x｜x＜－1} B. C. D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：因为－2x2＋x＋3＝－（2x2－x－3）＝－（x＋1）（2x－3）， 所以－（x＋1）（2x－3）＜0，即（x＋1）（2x－3）＞0， 所以x＞ 或x＜－1， 所以不等式的解集为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜含参数的一元二次不等式的解法 【例2】　解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a≠0）. 解：①当a＜0时，原不等式化为 （x－1）＞0，解得x＜ 或x＞ 1. ②当a＞0时，原不等式化为 （x－1）＜0. 若a＝1，即 ＝1时，不等式无解； 若a＞1，即 ＜1时，解得 ＜x＜1； 若0＜a＜1，即 ＞1时，解得1＜x＜ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜ ，或x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为 ； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 含参一元二次不等式的解法 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若0＜a＜1，则不等式（x－a） ＜0的解集是（　　） A. B. （－∞，a）∪ C. D. ∪（a，＋∞） 解析：　因为0＜a＜1，所以a＜ ，则不等式解集为 .故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1＜0的解集为R，则实数a的取值 范围是 ⁠. 解析：①当a2－1≠0，即a≠±1时， 解得－ ＜a＜1. ②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立.若 a＝－1，则原不等式为2x－1＜0，即x＜ ，不符合题目要求，舍去.综上 所述，当－ ＜a≤1时，原不等式的解集为R. － ＜a≤1　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜两个“二次”间的关系 【例3】　（链接教科书第81页习题B组7题）（1）若不等式ax2＋bx＋2＞ 0的解集是 ，则a＋b的值为（　D　） A. 14 B. －10 D C. 10 D. －14 解析：由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－ ， ，且a＜0. 所以 解得 所以a＋b＝－14. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为 ，求不 等式qx2＋px＋1＞0的解集. 解：因为x2＋px＋q＜0的解集为{x｜－ ＜x＜ }， 所以x1＝－ 与x2＝ 是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根， 由根与系数的关系得 解得 所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－ x2＋ x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0， 解得－2＜x＜3. 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而 由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集； 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a＜0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值. 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c 的方程组，用a表示b，c； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b， c→代入所求不等式→求解. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知不等式x2－7x－a＜0的解集是{x｜2＜x＜b}（b＞2），则实数a 等于（　　 ） A. －10 B. －5 C. 5 D. 10 解析：　由题设，有 可得 故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 某同学求解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）时，因弄错常数b 的符号，解得解集为{x｜－6＜x＜1}.若该同学解不等式的过程正确，则 不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为（　　） A. {x｜－ ＜x＜ } B. {x｜x＜－ 或x＞ } C. {x｜－1＜x＜ } D. {x｜x＜－1或x＞ } √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　由题意，a＜0，因为弄错常数b的符号，则方程ax2－bx＋c＝ 0有两根为－6和1，由根与系数的关系，可得－6＋1＝ ，－6×1＝ ，即 b＝－5a，c＝－6a，代入cx2＋bx＋a＜0，可得－6ax2－5ax＋a＜0.因 为a＜0，故得6x2＋5x－1＜0，解得－1＜x＜ .故选C. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型四｜分式不等式的解法 【例4】　（链接教科书第75页例3）解下列不等式： （1） ≥0； 解：原不等式可化为 解得 ∴原不等式的解集为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2） ＞1. 解：法一　原不等式可化为 或 解得 或 ∴－3＜x＜－ ， ∴原不等式的解集为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 法二　原不等式可化为 ＞0，化简得 ＞0，即 ＜0， ∴（2x＋1）（x＋3）＜0，解得－3＜x＜－ . ∴原不等式的解集为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 分式不等式的解法 （1）形如 ＞a（a≠0）的分式不等式可同解变形为 ＞0，故可转化为解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0； （2）解 ≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注 意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）为关于x的表达式） 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 不等式 ＜0的解集为 　（ ，1）　. 解析：不等式 ＜0等价于（x－1）（2x－1）＜0，解得 ＜x＜1，所 以不等式 ＜0的解集为（ ，1）. 2. 不等式 ≤1的解集为 ⁠. 解析：移项得 －1≤0，通分化简得到分式不等式 ≤0.两边同时乘 分母，结合分母不为零，得到不等式组 解得－ 3≤x＜2.原不等式的解集为[－3，2）. （ ，1）　 [－3，2）　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 不等式（x－1）（x－3）≤0的解集是（　　） A. （－∞，0） B. [1，3] C. （0，2） D. （6，＋∞） 解析：　当（x－1）（x－3）＝0时，x＝1或x＝3，所以不等式（x－ 1）（x－3）≤0的解集为[1，3].故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是 （　　） A. （－∞，－n）∪（m，＋∞） B. （－n，m） C. （－∞，－m）∪（n，＋∞） D. （－m，n） 解析：　不等式等价于（x－m）（x＋n）＜0.∵m＋n＞0，∴m＞－ n.故原不等式的解集是（－n，m）.故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 不等式 ＞0的解集是（　　） A. B. （4，＋∞） C. （－∞，－3）∪（4，＋∞） D. （－∞，－3）∪ 解析：　 ＞0⇔（2x－1）（x＋3）＞0⇔x＜－3或x＞ .故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 〔多选〕已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜ x≤－2或x≥1}，则（　　） A. a＜0 B. cx＋b＞0的解集是{x|x＜ } C. a－b＋c＜0 D. cx2＋bx＋a≤0的解集为{x|－ ≤x≤1} √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　由题知，a＜0，且－ ＝－1， ＝－2，即得b＝a，c＝－ 2a，故A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞0，所以x＞ ，故B错误；a－b＋c＝－2a＞0，故C错误；由cx2＋bx＋a≤0可得－ 2ax2＋ax＋a≤0，所以2x2－x－1≤0，解得－ ≤x≤1，故D正确.故选 A、D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 已知集合M＝{x∈R｜x2－3x＋2≤0}，集合N＝{x∈R｜m＋ 1≤x≤3－2m}.若“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，则m的取 值范围为 ⁠. 解析：由M＝{x∈R｜x2－3x＋2≤0}可得M＝{x∈R｜（x－1）（x－ 2）≤0}＝{x｜1≤x≤2}，故M＝[1，2].由于“x∈M”是“x∈N”的 充分不必要条件，则M⫋N， 或 解得m≤0. （－∞，0]　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2 x＋ ＞0；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x ＋4＜1.其中解集为R的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 解析：　①显然不可能；②中Δ＝（－2 ）2－4× ＞0，解集不为 R；③中Δ＝62－4×10＜0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3＜ 0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 不等式（x－3）（5－x）＜0的解集为（　　） A. {x｜3＜x＜5} B. {x｜x＜3或x＞5} C. {x｜－5＜x＜－3} D. {x｜x＜－5或x＞－3} 解析：　由（x－3）（5－x）＜0，即（x－3）（x－5）＞0，解得x＜ 3或x＞5，则不等式（x－3）（5－x）＜0的解集为{x｜x＜3或x＞5}.故 选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 设x∈R，则“｜x－2｜＞3”是“x2－5x－6＞0”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　因为｜x－2｜＞3，所以x－2＜－3或x－2＞3，解得x＜－1或 x＞5，所以不等式｜x－2｜＞3的解集为{x｜x＜－1或x＞5}.因为x2－ 5x－6＞0，所以（x－6）（x＋1）＞0，解得x＜－1或x＞6，所以不等 式x2－5x－6＞0的解集为{x｜x＜－1或x＞6}.因为{x｜x＜－1或x＞6} 是{x｜x＜－1或x＞5}的真子集，所以“｜x－2｜＞3”是“x2－5x－6＞ 0”的必要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y＝x（y＋2）.若不等式x☉（x ＋a）＋4＞0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（　　） A. （－2，6） B. （－6，2） C. （－6，6） D. （－2，2） 解析：　由已知得x☉（x＋a）＋4＝x（x＋a＋2）＋4＝x2＋（a＋ 2）x＋4＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝（a＋2）2－16＜0，解得－6＜ a＜2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－3或 x≥4}，则下列说法正确的有（　　） A. a＞0 B. 不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－12} C. a＋b＋c＞0 D. 不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－ 或x＞ } √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－3或 x≥4}，所以a＞0，故A正确；由题意，方程ax2＋bx＋c＝0的根为－3， 4，则－ ＝－3＋4＝1， ＝－3×4＝－12，所以b＝－a，c＝－12a， 所以a＋b＋c＝－12a＜0，故C错误；不等式bx＋c＞0等价于－ax－ 12a＞0，解得x＜－12，所以不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－12}， 故B正确；不等式cx2－bx＋a＜0等价于－12ax2＋ax＋a＜0，即为12x2－ x－1＞0，解得x＞ 或x＜－ ，所以不等式cx2－bx＋a＜0的解集为 {x｜x＜－ 或x＞ }，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 不等式 ≤1的解集是 ⁠. 解析：由不等式 ≤1得 ≤0，故 ⇒1＜ x≤6. 7. 已知关于x的不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取 值范围是 ⁠. 解析：当k＝0时，8≥0恒成立，符合题意；当k≠0时， 解得0＜k≤1.所以k的取值范围是 0≤k≤1. （1，6]　 0≤k≤1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 若a＜0，则关于x的不等式a（x＋1）· ＜0的解集为 　 解析：因为a＜0，所以解关于x的不等式a（x＋1）· ＜0得x＜－1 或x＞－ ， 所以原不等式的解集为 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0（a∈R）. （1）若不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞b}，求a，b的 值； 解：根据题意，a＞0，方程ax2－3x＋2＝0的两根为1和b， 所以 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）求不等式ax2－3x＋2＞5－ax（a∈R）的解集. 解：不等式可转化为ax2＋（a－3）x－3＞0，即（ax－3）（x＋ 1）＞0. 当a＝0时，上式变为－3（x＋1）＞0，解得x＜－1. 当a≠0时，方程（ax－3）（x＋1）＝0的根为x＝ 或x＝－1， 当a＞0时， ＞－1，所以原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞ }； 当－3＜a＜0时， ＜－1，所以原不等式的解集为{x｜ ＜x＜－1}； 当a＝－3时， ＝－1，所以原不等式的解集为∅； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 当a＜－3时， ＞－1，所以原不等式的解集为{x｜－1＜x＜ }. 综上所述，当a＞0时，不等式的解集为（－∞，－1）∪（ ，＋∞）； 当a＝0时，不等式的解集为（－∞，－1）； 当－3＜a＜0时，不等式的解集为（ ，－1）； 当a＝－3时，不等式的解集为∅； 当a＜－3时，不等式的解集为（－1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. 关于x的方程mx2＋4mx＋3＝0有两个不等的实根x1，x2，且 ＋ －3x1x2＞0，则实数m的取值范围是 ⁠. 解析：因为关于x的方程mx2＋4mx＋3＝0有两个不等的实根x1，x2，所以 解得m＜0或m＞ ，又x1＋x2＝－4，x1x2＝ ， 所以 ＋ －3x1x2＝（x1＋x2）2－5x1x2＝16－ ＝ ＞0，即m （16m－15）＞0，解得m＜0或m＞ .综上，m＜0或m＞ .所以实数 m的取值范围是（－∞，0）∪（ ，＋∞）. （－∞，0）∪（ ，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 11. 设命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立.若p为 真命题，则实数m的取值范围是 ⁠. 解析：对于p：因为对任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立， 所以对任意x∈[0，1]，（2x－3）min≥m2－4m成立，又因为（2x－3） min＝－3，所以－3≥m2－4m，即1≤m≤3.若p为真命题，则1≤m≤3. 1≤m≤3 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 12. 已知关于x的不等式（a－1）x2－2bx－2＜0的解集为{x｜－1＜x＜ 2}. （1）求实数a，b的值； 解： 由题意可得，（a－1）x2－2bx－2＝0的两根为－1和2， 所以 解得a＝2，b＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若m≤0，求关于x的不等式amx2＋（m－a）x－1≥0的解集； 解： 由（1）知amx2＋（m－a）x－1≥0可化为 2mx2＋（m－2）x－1≥0， 即（2x＋1）（mx－1）≥0. 当m＝0时，不等式为2x＋1≤0，得x≤－ . 当m≠0时，（2x＋1）（mx－1）＝0的两根为－ 和 ，当m＜0时， （ⅰ）－ ＝ ，即m＝－2时，（2x＋1）（mx－1）≥0的解集为{－ }； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （ⅱ）－ ＜ ，即m＜－2时，（2x＋1）（mx－1）≥0的解集为［－ ， ］； （ⅲ）－ ＞ ，即0＞m＞－2时，（2x＋1）（mx－1）≥0的解集为 ［ ，－ ］. 综上，当m＝0时，解集为（－∞，－ ］； 当m＝－2时，解集为{－ }； 当m＜－2时，解集为［－ ， ］； 当0＞m＞－2时，解集为［ ，－ ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）若对任意的实数x∈[1，2]，amx2＋（m－a）x－1≥mx恒成立， 求实数m的取值范围. 解：若对任意的实数1≤x≤2，amx2＋（m－a）x－1≥mx恒成立， 由（1）知amx2＋（m－a）x－1≥mx可化为2mx2－2x－1≥0， 即m≥ ＋ ，对任意1≤x≤2恒成立， 令t＝ ∈［ ，1］，可得m≥ t2＋t， 易知y＝ t2＋t，对称轴为t＝－1，所以当t＝1时，ymax＝ ，所以m≥ . 所以实数m的取值范围为［ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 13. 关于x的不等式x2－（a＋ ）x＋1＜0（其中实数a＞0）恰有一个整 数解，则实数a的取值范围是（　　） A. ＜a＜1或1＜a＜2 B. ≤a＜1或1＜a≤2 C. ≤a≤2 D. 0＜a＜1或1＜a＜2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　因为x2－（a＋ ）x＋1＜0，即为（x－a）·（x－ ）＜0， 令（x－a）（x－ ）＝0，解得x＝a或x＝ ，且a＞0，若a＞1＞ ＞ 0，不等式的解集为{x| ＜x＜a}，由题意可得1＜a≤2；若a＝1，不等 式的解集为∅，不合题意；若0＜a＜1＜ ，不等式的解集为{x|a＜x＜ }，由题意可得1＜ ≤2，解得 ≤a＜1.综上所述，实数a的取值范围是 ≤a＜1或1＜a≤2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 14. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂 价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高 产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜ 1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； 解： 由题意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000× （1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应 在什么范围内？ 解： 要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即 解不等式组，得0＜x＜ ， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的 范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $