2.2.4 第二课时 均值不等式的应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦均值不等式的应用，通过“矩形鸡舍面积最大”情境导入，衔接“一正二定三相等”条件，以自我诊断、典例研析（基础最值、条件最值、实际应用）为支架，构建从定理到应用的知识脉络。 其亮点在于融合数学建模与逻辑推理，如矩形花坛面积问题培养建模能力，分题型总结“拆并配”“常数代换”通法提升推理素养。分层作业设计（基础到拓展）助力学生巩固应用，教师可通过实例教学提升课堂效率。

第二课时　均值不等式的应用 1 1.熟练掌握利用均值不等式求最值问题（数学抽象、逻辑推理）. 2.会用均值不等式求解实际应用问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野 均值不等式的拓广应用 能力提升 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍. 【问题】　怎样设计才能使鸡舍面积最大？  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点　均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值 ； （2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2 . 即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 　　提醒：在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件： 一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可.①一正：符合均值不等式 ≥ 成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为 定值；③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 设实数x满足x＞－1，则函数y＝x＋ 的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　∵x＞－1，∴x＋1＞0，∴y＝x＋ ＝x＋1＋ － 1≥2 －1＝3，当且仅当x＋1＝ ，即x＝1时等号成立. 故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知实数x，y满足x2＋y2＝2，那么xy的最大值为（　　 ） A. B. C. 1 D. 2 解析：　由x2＋y2＝2≥2xy，可得xy≤1，当且仅当x＝y＝1或x＝y＝ －1时等号成立.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为 　 　，此时x＝ 　 　. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤ ＝ ＝ ，当且仅当x＝1－x，即x＝ 时“＝”成立，即当x＝ 时，x （1－x）取得最大值 . 　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 　　 题型一｜利用均值不等式求最值 【例1】　（链接教科书第78页例4）（1）若x＞0，则12x＋ 的最小值 为 ⁠； 解析：因为x＞0，所以12x＋ ≥2 ＝4，当且仅当12x＝ ，即 x＝ 时等号成立. 所以12x＋ 的最小值为4. 4　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）已知x＞2，则x＋ 的最小值为 ⁠； 解析：因为x＞2，所以x－2＞0， 所以x＋ ＝x－2＋ ＋2≥2 ＋2＝6， 当且仅当x－2＝ ，即x＝4时，等号成立. 所以x＋ 的最小值为6. 6　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）若0＜x＜ ，则 x（1－2x）的最大值是 　 　. 解析：因为0＜x＜ ，所以1－2x＞0， 所以 x（1－2x）＝ ×2x×（1－2x）≤ ＝ × ＝ ， 当且仅当2x＝1－2x，即当x＝ 时等号成立， 所以 x（1－2x）的最大值为 . 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　利用均值不等式求最值的方法 　　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值. 常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分 离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进 行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件； 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等式， 或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式 得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常 需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后 可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两因式 之和为定值. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若x＞0，则下列说法正确的是（　　） A. ＋ 的最小值为2 B. x＋ 的最小值为1 C. ＋ 的最小值为2 D. x＋ 的最小值为2 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　对于A、C，因为x＞0，则 ＞0，由均值不等式可得 ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 ＝ ，即x＝1时，等号成立，即 ＋ 的 最小值为2，A对，C错；对于B、D，因为x＞0，则x＋1＞1，由均值不等 式可得x＋ ＝（x＋1）＋ －1≥2 －1＝1，当且仅 当x＋1＝ ，即x＝0或－2时，等号成立，但x＞0，故等号不成立，所 以x＋ ＞1，即x＋ 没有最小值，B、D错误.故选A. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知0＜x＜4，则x（4－x）的最大值为 ，此时x＝ ⁠. 解析：因为0＜x＜4，则4－x＞0，于是得x（4－x）≤ ＝ 4，当且仅当x＝4－x，即x＝2时取“＝”，所以x（4－x）的最大值为 4. 4　 2　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜利用均值不等式求条件最值 【例2】　已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1. （1）求xy的最大值； 解： ∵x＞0，y＞0，∴2x＋y≥2 ， ∴1≥2 ，即xy≤ ， 当且仅当2x＝y＝ ，即x＝ ，y＝ 时，xy取得最大值 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）求 ＋ 的最小值. 解： ＋ ＝（ ＋ ）（2x＋y）＝11＋ ＋ ≥11＋2 ＝ 11＋6 ， 当且仅当 ＝ 时， ＋ 取得最小值11＋6 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 常数代换法求最值的方法步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积 的形式； （4）利用均值不等式求最值. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知正数a，b满足 ＋ ＝1，则a＋b的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：　由题意，a＋b＝（a＋b＋1）－1＝（a＋b＋1）（ ＋ ） －1＝ ＋ ＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当 ＝ ，即a＝2， b＝1时取等号.故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若正实数a，b满足 ＋ ＝9，则a＋2b的最小值为 ⁠. 解析：因为正实数a，b满足 ＋ ＝9，所以a＋2b＝ （a＋2b）（ ＋ ）＝ （5＋ ＋ ）≥ （5＋2 ）＝1，当且仅当 ＝ ，即a ＝b＝ 时等号成立. 1　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜利用均值不等式解应用题 【例3】　如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 米，AD＝2米. （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围？ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解：设DN＝x（x＞0），BM＝y（y＞0），则由△NDC与△NAM相似 得 ＝ ，整理得y＝ ， 矩形AMPN的面积S＝AN·AM＝（x＋2）（3＋ ）， 即S＝3x＋ ＋12， 当S＞32时，得3x＋ ＋12＞32，整理得（3x－2）·（x－6）＞0， 解得x＞6或x＜ ，又x＞0， 所以DN的长的范围为（0， ）∪（6，＋∞）. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值. 解：x＞0时，3x＋ ≥2 ＝12， 当且仅当3x＝ ，即x＝2时等号成立， 所以S≥12＋12＝24， 所以当DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方 米. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤 （1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语言，将 实际问题抽象成数学模型； （2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模 型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对应关系，构造 出符合题意的数学模型； （3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均值不 等式求最值； （4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的结论. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的 总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值 是（　　） A. 20 B. 30 解析：　由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和y＝ ×6＋4x ＝4 ≥4×2 ＝240，当且仅当 ＝x即x＝30时取等号， ∴要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是30.故选B. C. 40 D. 50 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 拓视野 均值不等式的拓广应用 能力提升 目 录 　　 二元均值不等式：设a，b为正数，则 ≥ ，当且仅当a＝b时等式 成立. 证明：因为（a＋b）2－4ab＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab， 从而得 ≥ ，当且仅当a＝b时等式成立. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 证明：设d为正数，由二元均值不等式，得 ＝ ≥ ≥ ，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立.令d＝ ，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥ ，由此推出 d3≥abc，因此 ≥ ，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 三元均值不等式：设a，b，c为正数，则 ≥ ，当且仅当a＝ b＝c时等式成立. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【问题探究】 当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求 的最小值？ 提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用 三元均值不等式求 的最小值. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【迁移应用】 　已知a，b，c均为正实数，求证：（a＋b＋c）· ≥9. 证明：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3 ＞0， ＋ ＋ ≥3 ＞0， ∴（a＋b＋c）· ≥3 ·3 ＝9，当且仅当a＝b＝c 时等号成立. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 设x＞0，则3－3x－ 的最大值是（　　 ） A. 3 B. 3－2 C. －1 D. 3－2 解析：　∵x＞0，∴3x＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当x＝ 时取等 号，∴－ ≤－2 ，则3－3x－ ≤3－2 ，故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知a＞0，b＞0，若a＋b＝ab－8，则ab的最小值为（　　） A. 20 B. 16 C. 8 D. 4 解析：　因为a＞0，b＞0，则a＋b＝ab－8≥2 ，解得 ≥4或 ≤－2（舍去），可得ab≥16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，所 以ab的最小值为16.故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架， 在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（　　） A. 6.5 m B. 6.8 m C. 7 m D. 7.2 m 解析：　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则 ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋ ≥2 ＋ ＝4＋2 ≈6.828 （m）.又要求够用且浪费最少，故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是（　　 ） A. ＋ 有最小值4 B. 有最小值 C. ＋ 有最大值 D. a2＋b2有最小值 √ √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：A：由题设， ＋ ＝ （a＋b）＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝ 时等号成立，正确； B：由a，b＞0，则a＋b＝1≥2 ，即 ≤ ，当且仅当a＝b＝ 时 等号成立，故 的最大值为 ，错误； C：由a，b＞0，则a＋b＝1≥ ，即 ＋ ≤ ，当且仅 当a＝b＝ 时等号成立，正确； D：a2＋b2≥ ＝ ，当且仅当a＝b＝ 时等号成立，正确.故选 A、C、D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 已知正数a，b满足a＋b＝6，ab＝9k. （1）求k的最大值； 解： 由a＋b＝6≥2 ， 得ab≤9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立， 则9k≤9，得k≤1，即k的最大值为1. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）求 ＋ 的最小值. 解：由a＋b＝6，得 （a＋b）＝1， 得 ＋ ＝ （ ＋ ）（a＋b）＝ （ ＋ ＋5）≥ （2 ＋5）＝ ， 当且仅当 ＝ ，即a＝2，b＝4时，等号成立. 故 ＋ 的最小值为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知x＞7，则x＋ 的最小值为（　　） A. 7 B. 9 C. 11 D. 10 解析：　因为x＞7，所以x＋ ＝x－7＋ ＋7≥2 ＋7＝9.当且仅当x＝8时等号成立，所以x＋ 的最小值为9.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 设m，n∈（0，＋∞），且 ＋ ＝1，则m＋2n的最小值为（　　） A. 4 B. 5 C. 4 D. 3＋2 解析：　因为m，n∈（0，＋∞），且 ＋ ＝1，所以m＋2n＝（m＋ 2n）（ ＋ ）＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝3＋2 ，当且仅当 ＝ ，即n＝1＋ ，m＝1＋ 时取等号.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 已知x＞0，则2－3x－ 的最大值是（　　） A. 2＋4 B. 2－2 C. 2－4 D. 2－6 解析：　因为x＞0，所以3x＋ ≥2 ＝4 ，则2－3x－ ≤2－ 4 ，当且仅当3x＝ ，即x＝ 时取得等号.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 若关于x的不等式－x2＋ax－2≤0在区间[－3，－1]上恒成立，则实数 a的取值范围为（　　 ） A. [－2 ，＋∞） B. （－∞，－2 ] C. D. （－∞，－3] 解析：　由题设，ax≤x2＋2，又x∈[－3，－1]，则a≥x＋ 恒成立， 由x＋ ＝－ ≤－2 ＝－2 ，当且仅当x＝ － ∈[－3，－1]时等号成立，∴a≥－2 .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕下列求最值的运算中，运算方法错误的有（　　） A. 当x＜0时，x＋ ＝－［（－x）＋ ］≤－2，当且仅当x＝ 时取等，解得x＝－1或1，又由x＜0，所以x＝－1，故x＜0时，x＋ 的最大值是－2 B. 当x＞1时，x＋ ≥2 ，当且仅当x＝ 时取等，解得x＝－1或2，又由x＞1，所以x＝2，故x＞1时，x＋ 的最小值为4 C. 由于x2＋ ＝x2＋4＋ －4≥2 －4＝2，当且仅当x2＋4＝ 时取等，故x2＋ 的最小值是2 D. 当x，y＞0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2 ＝4 ，∴ ≤ ，又 ＋ ≥2 ＝ ≥4，当且仅当x＝4y，x＝y时取等，故当x，y＞0，且x＋4y＝2时， ＋ 的最小值为4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，满足均值不等式的应用条件，正确；对于B，不满足 均值不等式的应用条件中的定值，错误，正确的运算方法为当x＞1时，x ＋ ＝x－1＋ ＋1≥2 ＋1＝2 ＋1，当且仅当x－1 ＝ 时取等，解得x＝1＋ 或x＝1－ ，又x＞1，所以x＝1＋ ， 故当x＞1时，x＋ 的最小值为2 ＋1；对于C，不满足均值不等式的 应用条件中的取等，错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 对于D，选项中运用两次均值不等式，且两次的取等条件不一致，所以错 误，正确的运算方法为当x，y＞0，且x＋4y＝2时， ＋ ＝ （ ＋ ）·（x＋4y）＝ （1＋ ＋ ＋4）＝ （5＋ ＋ ）≥ （5＋2 ） ＝ ，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝ 时等号成立，即 ＋ 的最小值为 .故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 已知正实数x，y满足（x＋1）（y＋2）＝16，则x＋y的最小值 为 ⁠. 解析：由（x＋1）（y＋2）＝16≤ ，则（x＋y＋3）2≥64， 又x，y＞0， ∴x＋y＋3≥8，即x＋y≥5，当且仅当x＝3，y＝2时等号成立. ∴x＋y的最小值为5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 7. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的 浓度c（单位：mg·L－1）随时间t（单位：h）的变化关系为c＝ ，则 经过 h后池水中该药品的浓度达到最大. 解析：c＝ ＝ . 因为t＞0，所以t＋ ≥2 ＝4（当且仅当t＝ ，即t＝2时等号成立）. 所以c＝ ≤ ＝5，当且仅当t＝ ，即t＝2时，c取得最大值. 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成 立，则实数m的取值范围是 . 解析：因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥2 ＝ 4 ，即 ≥4⇒xy≥16，当且仅当y＝4x＝8时等号成立，由xy≥m2 －6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8. [－2，8]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20. （1）求xy的最大值； 解： ∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0，∴2x＋5y≥2 ， ∴2 ≤20，即xy≤10， 当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立， ∴xy的最大值为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）求 ＋ 的最小值. 解： ＋ ＝ · （2x＋5y）＝ （2＋5＋ ＋ ）＝ ≥ （7＋2 ）， 当且仅当 x＝ y时，等号成立. ∴ ＋ 的最小值为 （7＋2 ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. 如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于 公元3世纪在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时给出的一种几何平面 图.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b，斜边 为c（a，b，c均为正数），则（a＋b）2＝4ab＋（a－b）2，（a＋ b）2＝2c2－（b－a）2.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好 奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8 cm的软钢丝作为 a＋b的长度（制作其他边长的软钢丝足够用），他能制作 出来的“赵爽弦图”的最小面积为（　　） A. 24 cm2 B. 30 cm2 C. 32 cm2 D. 36 cm2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　由题可知，a＋b＝8，a＞0，b＞0，则a＋b≥2 ，即 8≥2 ，所以ab≤16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，又“赵爽弦 图”的面积为c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝64－2ab≥64－2×16＝ 32，所以当a＝b＝4时，“赵爽弦图”的最小面积为32 cm2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 11. 若实数a，b满足a2＋b2＋ab＝4，则a＋b的最大值是（　　 ） A. 12 B. C. 8 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　a2＋b2＋ab＝4⇒（a＋b）2＝ab＋4，而ab≤ ，当且 仅当a＝b时取“＝”， 于是得（a＋b）2≤ ＋4，即 （a＋b）2≤4，解得－ ≤a＋ b≤ ， 当且仅当a＝b＝ 时，（a＋b）max＝ ， 所以a＋b的最大值是 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 12. 校本选修课是中学课程创新中的重要一环，某校生物组计划向学校申 请面积为1 600 m2的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区 域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的 前、后与空地边沿各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻 的左、右边沿保留3 m宽的通道，如图.设矩形空地长为x m，三块种植植 物的矩形区域（如图中阴影部分所示）的总面积为S（单位：m2）. （1）求S关于x的函数关系式； 解：由题知空地宽为 ，则S＝（x－8）·（ －2）＝－2x＋1 616－ （8＜x＜800）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）求S的最大值，及此时x的值. 解： 因为8＜x＜800，所以－2x－ ≤－320， 当且仅当x＝80时等号成立，所以S≤－320＋1 616＝1 296， 所以S的最大值为1 296 m2，此时x为80 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 13. 定义min{p，q，r}表示p，q，r中的最小值.已知实数a，b，c满 足a＋b＋c＝0，abc＝－1，则（　　） A. min{a，b，c}的最大值是－1 B. min{a，b，c}的最大值是－ C. min{a，b，c}的最小值是－1 D. min{a，b，c}的最小值是－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　因为abc＝－1，所以在a，b，c中，负数的个数为1或3，又a ＋b＋c＝0，所以在a，b，c中，1个为负数，2个为正数，不妨设c＜0， 则min{a，b，c}＝c.因为2 ≤a＋b＝－c，所以ab≤ ，当且仅当 a＝b时等号成立.因为c＜0，所以 ≤－1，则c≤－ ，故min{a， b，c}的最大值是－ ，无最小值.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 14. 对于均值不等式，即当a＞0，b＞0时有 ≥ （当且仅当a＝ b时不等式取“＝”），我们称 为正数a，b的算术平均数， 为 它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式，也称为平均值不等式 或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均 数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：n个 正数x1，x2，x3，…，xn的平方平均数 大于等于它们的 算术平均数 大于等于几何平均数 大于 等于调和平均数 ，当且仅当x1，x2，x3，…，xn这些数全 部相等时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （1）请直接运用上述不等式链中某个n的情形求y＝x＋ （x＞0）的最 小值； 解：由题意得 ≥ ， 所以当x＞0时，y＝x＋ ＝ x＋ x＋ ≥3（ ）＝3， 当且仅当 x＝ 时，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x＋ （x＞0）的最小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）写出n＝3时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； 解：由题意可知，当n＝3时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为 ≥ ，其中x1＞0，x2＞0，x3＞0， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 证明： ＋ ＋ －3x1x2x3 ＝ －3 x2－3x1 ＋ －3x1x2x3＝（x1＋x2＋x3）[－（x1＋x2）x3＋ ]－3x1x2（x1＋x2＋x3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 ＝（x1＋x2＋x3）（ ＋ ＋ －x1x2－x2x3－x1x3）＝ （x1＋x2＋x3）[＋ ＋ ]≥0， 所以 ＋ ＋ ≥3x1x2x3，当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 根据题意，可设x1＞0，x2＞0，x3＞0， 用 ， ， 替换x1，x2，x3可得x1＋x2＋x3≥3 ， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立.所以 ＋ ＋ ≥3 ， 所以 ≤ ＝ ＝ ， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折叠做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 解：设小正方形的边长为x，则盒子的高h＝x，底边边长为6－2x， 可得盒子的容积为V＝x（6－2x）2，其中0＜x＜3， 则V＝x（6－2x）2＝ ·4x·（6－2x）2≤ ·（ ）3＝16， 当且仅当4x＝6－2x时，即x＝1时，等号成立， 所以切去的正方形边长为1时，才能使盒子的容积最大，最大容积为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $