2.2.1 不等式及其性质-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“不等式及其性质”，通过芭蕾舞演员踮脚尖的实例引出下半身与全身长度比值变化，联系黄金分割，过渡到比较实数大小的依据和不等式性质的学习，构建从实际到理论的学习支架。 其亮点在于情境贴近生活，如糖水浓度问题，结合数学抽象和逻辑推理，总结作差法等通性通法，将实际问题转化为数学模型（如采光条件分析）。学生能提升应用意识，教师可利用分层练习和典例优化教学。

2.2.1　不等式及其性质 1 理解不等式的概念，掌握不等式的性质（数学抽象、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野 实际问题中的不等关系 能力提升 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名 女演员双手抚摸着裙身，眼里闪烁着倔强和自信的目光. 只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘 然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿， 把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？ 因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值 在0.57～0.6之间.设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由 变成了 ，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用. 【问题】　不等式还有哪些重要的性质呢？ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点一　比较实数a，b的大小 1. a－b＜0⇔ ⁠. 2. a－b＝0⇔ ⁠. 3. a－b＞0⇔ ⁠. a＜b　 a＝b　 a＞b　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是. 2. p⇔q的含义是什么？ 提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推 （等价）. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点二　不等式的性质 性质1：如果a＞b，那么a＋c b＋c. 性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac bc. 性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac bc. 性质4：如果a＞b，b＞c，那么a c.（传递性） 性质5：a＞b⇔ ⁠. 推论1：如果a＋b＞c，那么a c－b.（不等式的移项法则） 推论2：如果a＞b，c＞d，那么a＋c b＋d.（同向可加性） 推论3：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac bd. 推论4：如果a＞b＞0，那么an bn（n∈N，n＞1）. 推论5：如果a＞b＞0，那么 . ＞　 ＞　 ＜　 ＞　 b＜a　 ＞　 ＞　 ＞　 ＞　 ＞　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 若a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d成立吗？a－c＞b－d呢？ 提示：a＋c＞b＋d成立，a－c＞b－d不一定成立，但a－d＞b－c成立. 2. 若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立吗？ 提示：不一定，但当a＞b＞0，c＞d＞0时，一定成立. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 设M＝（x－1）（x－5），N＝（x－3）2，则M与N的大小关系是 （　　） A. M＜N B. M＞N C. M＝N D. 不能确定 解析：　由M＝（x－1）（x－5），N＝（x－3）2，则M－N＝（x －1）（x－5）－（x－3）2＝（x2－6x＋5）－（x2－6x＋9）＝－4＜ 0，所以M＜N. 故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若a＞b，c∈R，则下列结论一定成立的是（　　） A. a－b＞0 B. ac＞bc C. ＜ D. a2＞b2 解析：　对于A，若a＞b，则a－b＞0，故A正确；对于B，当c＝0， 则ac＝bc，故B错误；对于C，当a＝1，b＝－1时， ＞ ，故C错误；对 于D，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，故D错误.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是 ⁠ （用“＞”连接）. 解析：如图，在数轴上分别找出四个数所对应的点，从左往右所对应的数依次变大.即－a＜b＜0＜－b＜a. a＞－b ＞b＞－a　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜作差法比较大小 【例1】　（1）已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（　C　） A. t＞s B. t≥s C. t≤s D. t＜s 解析： t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，故 t≤s.故选C. C 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）设a＝ ＋2 ，b＝2＋ ，则a，b的大小关系为 ⁠. 解析： ∵a＝ ＋2 ，b＝2＋ ，∴a2＝11＋4 ，b2＝11＋ 4 ，∴a2－b2＝4（ － ）＜0， 即a2＜b2，又a＞0，b＞0， 由推论5知a＜b，∴a，b的大小关系为a＜b. a＜b　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 作差法比较大小的步骤 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知a，b均为正实数，若M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，则（　　） A. M＜N B. M≤N C. M＞N D. M≥N 解析：　由a，b均为正实数，M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，得M－N ＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）·（a2－ b2）＝（a－b）2（a＋b）≥0，当且仅当a＝b时取等号，所以M≥N. 故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若x∈R，则a＝ 与b＝ 的大小关系为 ⁠. 解析：a－b＝ － ＝ ＝ ≥0，当x＝1时，等号成 立.所以a≥b. a≥b　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜利用不等式性质判断命题的真假 【例2】　若实数a，b，c满足a＞b＞c，则下列不等式正确的是 （　　 ） A. a＋c＞b B. a｜c｜＞b｜c｜ C. ＜ D. ＜ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　实数a，b，c满足a＞b＞c，所以对于A：当a＝3，b＝2，c ＝－5时，a＋c＞b不成立，故A错误；对于B：当a＝3，b＝2，c＝0 时，a｜c｜＝b｜c｜，故B错误；对于C：由于a＞b＞c，所以a－c＞ b－c＞0，故 － ＜0，故C正确；对于D：当a＝3，b＝2，c＝0 时， 无意义，故D错误.故选C. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 （1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条 件，尤其是不能随意捏造性质； （2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值 一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验 证计算. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 〔多选〕 已知x，y，z为实数，则下列结论中正确的是（　　） A. 若xz2＞yz2，则x＞y B. 若x＞y，则xz2＞yz2 C. 若x＞y＞0，z＜0，则 ＞ D. 若z＞y＞x，则 ＞ √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，若xz2＞yz2，可知z2＞0，由不等式的性质可得x＞ y，故A正确；对于B，取z＝0，则xz2＝yz2，故B错误；对于C，∵x＞y ＞0，∴ ＜ ，又z＜0，∴ ＞ ，故C正确；对于D，∵z＞y＞x，取z ＝1，y＝0，x＝－1，则 ＝ ， ＝1，此时 ＜ ，故D错误.故 选A、C. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜利用不等式性质求代数式的范围 【例3】　（1）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范 围； 解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4， ∴1＋（－8）＜a＋（－b）＜4＋（－2），即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是（8，32），a－b的取值范围是（－7，2）. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围. 解：设a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－ 2λ2）b，从而 解得λ1＝ ，λ2＝－ . 又－ ≤ （a＋b）≤ ，－2≤－ （a－2b）≤－ ， ∴－ ≤a＋3b≤1. 故a＋3b的取值范围为 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【母题探究】 （变设问）在本例（1）条件下，求 的取值范围. 解：∵2＜b＜8，∴ ＜ ＜ ，而1＜a＜4， ∴1× ＜a· ＜4× ，即 ＜ ＜2. 故 的取值范围是 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的 性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价 变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若－5＜a＜－3，1＜b＜4，则 的取值范围为（　　） A. （－5，－ ） B. （－ ，－ ） C. （－ ，＋∞） D. （－ ，0）∪（0，＋∞） 解析：　因为－5＜a＜－3，1＜b＜4，所以 ＜ ＜1，3＜－a＜5，所 以 ＜ ＜5⇒－5＜ ＜－ ，所以 的取值范围为（－5，－ ）.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知实数a，b满足－2≤3a－2b≤5，－4≤a＋2b≤4，则7a－2b的 取值范围为 ⁠. 解析：因为－2≤3a－2b≤5⇒－4≤6a－4b≤10，又－4≤a＋2b≤4， 两式相加，得－8≤7a－2b≤14. [－8，14]　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型四｜利用不等式性质证明不等式 角度1　综合法 【例4】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证 ＞ . 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. 则（a－c）2＞（b－d）2＞0，即 ＜ . 又∵e＜0，∴ ＞ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 角度2　分析法与反证法 【例5】　（1）用分析法证明： －4＜ － ； 证明： 要证 －4＜ － ，只需证 ＋ ＜ ＋4， 即证（ ＋ ）2＜（ ＋4）2，即证33＋2 ＜33＋2 ， 只需证 ＜ .因为266＜272， 所以 ＜ ， 所以 －4＜ － 得证. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）用反证法证明：n2＋3n（n∈N*）为偶数. 证明：假设n2＋3n（n∈N*）为奇数， 因为n2＋3n＝n（n＋3）， 所以n与n＋3均为奇数，所以n＋n＋3为偶数， 而n＋n＋3＝2n＋3为奇数，所以假设不成立.故n2＋3n（n∈N*）为偶数. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 （1）实质：根据性质把不等式变形； （2）注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加 以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件， 且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选 择分析法与反证法. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 （1）设a＞0，求证：a2＋ ≥a＋ ； 证明：要证a2＋ ≥a＋ ，只要证a4＋1≥a3＋a， 只要证a4－a3－（a－1）≥0，只要证a3（a－1）－（a－1）≥0， 只要证（a3－1）（a－1）≥0，只要证（a－1）2（a2＋a＋1）≥0， 因为（a－1）2≥0，a2＋a＋1＝ ＋ ＞0， 所以（a－1）2（a2＋a＋1）≥0成立，所以a＞0时，a2＋ ≥a＋ 成立. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若（a＋1）（b＋1）（c＋1）（d＋1）＜16，求证：a，b，c， d中至少有一个小于1. 证明：假设a，b，c，d都不小于1，即a≥1，b≥1，c≥1， d≥1， 则a＋1≥2，b＋1≥2，c＋1≥2，d＋1≥2， 所以（a＋1）（b＋1）（c＋1）（d＋1）≥16，与已知矛盾， 故a，b，c，d中至少有一个小于1. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 拓视野 实际问题中的不等关系 能力提升 目 录 糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效.可以作为糖水的材料有很多，不同 的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性.根据不同的 主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果.专家称，喝糖水可缓解 烦躁失眠.在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦 可助眠. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【问题探究】 下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ （1）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； 提示：设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ，加入m克糖，即证明不等式 ＞ （其中a，b，m为正实数，且b＞a）成立. 不妨用作差比较法，证明如下： － ＝ ＝ . ∵a，b，m为正实数，且a＜b， ∴b＋m＞0，b－a＞0， ∴ ＞0，即 ＞ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖 水一定比淡的浓、比浓的淡； 提示：设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ；另一份糖水d克，含糖c 克，糖水浓度为 ，且 ＜ ，求证： ＜ ＜ （其中b＞a＞0，d＞ c＞0）. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 证明：∵ ＜ ，且b＞a＞0，d＞c＞0， ∴ad＜bc，即bc－ad＞0， － ＝ ＝ ＜0， 即 ＜ ， － ＝ ＝ ＞0， 即 ＜ .∴ ＜ ＜ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 提示：设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ，加入m克水，求证： ＞ （其中b＞a＞0，m＞0）. 证明：∵ － ＝ ＝ ＞0，∴ ＞ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 结论　（1）如果一个分式 （b＞a＞0）的分子分母同时增大相同的值， 则该分式的值变大； （2）两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式 之间； （3）一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【迁移应用】 　建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准， 窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越 好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还 是变坏了？ 解：设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然， a，b，n均为正实数，且a＜b，由题设及“糖水浓度不等式”可得 ≤ ＜ . 故住宅的采光条件变好了. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的 大小关系是（　　） A. M＜N B. M＞N C. M＝N D. M≥N 解析：　∵0＜a1＜1，0＜a2＜1， ∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0， ∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1） ＝a1a2－a1－a2＋1＝a1（a2－1）－（a2－1） ＝（a1－1）（a2－1）＞0，∴M＞N. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若实数a，b，c满足a＞b＞0，c＜0，则（　　） A. ac＞bc B. ＞ C. a＋c＜b＋c D. ＞ 解析：　对于A， 由于a＞b＞0，c＜0，故ac＜bc，故A错误；对于 B， 由于a＞b＞0，c＜0，则 ＜ ，故B错误；对于C，由于a＞b＞0， 则a＋c＞b＋c，故C错误；对于D，由于a＞b＞0，则0＜ ＜ ，c＜ 0，则 ＞ ，故D正确.故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是（　　） A. －7≤a－2b≤4 B. －6≤a－2b≤9 C. 6≤a－2b≤9 D. －2≤a－2b≤8 解析：　因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a －2b≤4.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 〔多选〕（2025·沈阳期末）下列命题中，正确的是（　　） A. 若a＜b，则a2＜b2 B. 若b＞a＞0，m＞0，则 ＞ C. 若 ＜ ，则a＞b D. 若－2＜a＜3，1＜b＜4，则－5＜b－2a＜8 √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 对于A，由a＝－2＜b＝1，但a2＞b2，故A错；对于B， － ＝ ＝ ，又b＞a＞0，m＞0，所以 － ＞0，即 ＞ ，故B正确；对于C，由 ＝－ ＜ ＝1，即a＝－2＜b ＝1，故C错；对于D，由－6＜－2a＜4且1＜b＜4，故－5＜b－2a＜8， 故D正确.故选B、D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为 ⁠ ⁠. 解析：∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜ x. y＜－ y＜x　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知｜m｜＞｜n｜＞0，则下列不等式一定成立的是（　　 ） A. m＞n B. ｜m｜＋n＞0 C. m＋n＜0 D. ＜ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　对于A，若m＝－2，n＝1时，满足｜m｜＞｜n｜＞0，而不满 足m＞n，所以A错误；对于B，当n＞0时，则｜m｜＋n＞0一定成立， 当n＜0时，由｜m｜＞｜n｜＞0，得｜m｜＞－n，则｜m｜＋n＞0， 所以B正确；对于C，若m＝2，n＝1时，满足｜m｜＞｜n｜＞0，而不满 足m＋n＜0，所以C错误；对于D，若m＝－2，n＝－1时，则满足｜m｜ ＞｜n｜＞0，而不满足 ＜ ，所以D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A. a＋ ＞b＋ B. a－ ＞b－ C. ＞ D. ＞ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　对于A，a＋ －（b＋ ）＝ ， ab与1的大小不 定，故错误；对于B，a－ －（b－ ）＝ ＞0，故正确；对 于C， － ＝ ＜0，故错误；对于D， － ＝ ＜0，故错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 设0＜α＜ ，0≤β≤ ，则2α－ 的范围是（　　） A. 0＜2α－ ＜ B. － ＜2α－ ＜ C. 0＜2α－ ＜π D. － ＜2α－ ＜π 解析：　由已知，得0＜2α＜π，0≤ ≤ ，∴－ ≤－ ≤0，由同向不 等式相加得到－ ＜2α－ ＜π. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 下面四个条件中，使a＞b成立的必要不充分的条件是（　　 ） A. a＞b＋1 B. a＞b－1 C. a2＞b2 D. a3＞b3 解析：　对A. 当a＝3，b＝2.5时，此时a＞b不能推出a＞b＋1，不满 足必要性；对B. 由a＞b，可得a＞b－1；反之不成立，满足必要不充 分；对C. 当a＝3，b＝－3时，此时a＞b不能推出a2＞b2，不满足必要 性；对D. 由a＞b，可得a3＞b3，反之a3＞b3也可推出a＞b，是充要条 件.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d B. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd C. 若a2＞b2，则a＞b D. 若a＞b，则ac2≥bc2 解析： 　对于A，由a＞b，c＞d，得a＋c＞b＋d，故A正确；对于 B，当a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1时，ac＝bd，故B错误；对于C，当a ＝－1，b＝0时，满足a2＞b2，而a＜b，故C错误；对于D，由a＞b， c2≥0，得ac2≥bc2，故D正确.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 若x＜y＜0，设M＝（x2＋y2）（x－y），N＝（x2－y2）（x＋ y），则M，N的大小关系是 ⁠. 解析：M－N＝－2xy（x－y）， 因为x＜y＜0，所以－2xy＜0，x－y＜0， 所以M－N＞0，即M＞N. M＞N　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 7. 给出下列命题： ①若a＜b，c＜0，则 ＜ ； ②若ac－3＞bc－3，则a＞b； ③若a＞b且k∈N*，则ak＞bk； ④若c＞a＞b＞0，则 ＞ . 其中是真命题的有 （填序号）. ④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：①当ab＜0时， ＞ ，故①为假命题； ②当c＜0时，c3＜0，不等式ac－3＞bc－3的两边同时乘以c3，得a＜b，故 ②为假命题； ③当a＝1，b＝－2，k＝2时，12＜（－2）2，故③为假命题； ④∵a＞b＞0，∴－a＜－b＜0，∴0＜c－a＜c－b. 同乘以 ，得0＜ ＜ ， 又a＞b＞0，∴ ＞ ＞ ，故④为真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤ ≤4，则 的最大值是 ⁠. 解析：由题设 ≤ ≤ ，27≤（ ）3≤64，则9≤ ＝ ·（ ） 3≤32，所以 的最大值是32. 32　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 已知0＜a＜b且a＋b＝1，试比较： （1）a2＋b2与b的大小； 解： 因为0＜a＜b且a＋b＝1，所以0＜a＜ ＜b， 则a2＋b2－b＝a2＋b（b－1）＝a2－ab＝a（a－b）＜0，所以a2＋b2 ＜b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）2ab与 的大小. 解： 因为2ab－ ＝2a（1－a）－ ＝－2a2＋2a－ ＝－2 ＝－2 ＜0， 所以2ab＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. 〔多选〕已知实数a，b，c，m满足c＜0＜ ＜ ，m＞0，则下列选 项正确的是（　　） A. 0＜a＜b B. ac＜bc C. ＜ D. ＞ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，因为0＜ ＜ ，所以0＜a＜b，故A正确；对于B， 因为0＜a＜b，c＜0，所以ac＞bc，故B错误；对于C， － ＝ ＝ ，因为0＜a＜b，m＞0，所以 ＞ 0，即 ＞ ，故C错误；对于D，因为0＜a＜b，c＜0，则－c＞0， 所以b－c＞a－c＞0，则 － ＝ ＝ ＞ 0，所以 ＞ ，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 11. 若实数α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取 值范围为 ⁠. 解析：设α＋3β＝λ（α＋β）＋μ（α＋2β）＝（λ＋μ）α＋（λ ＋2μ）β，则λ＋μ＝1且λ＋2μ＝3，解得λ＝－1，μ＝2，所以α＋ 3β＝－（α＋β）＋2（α＋2β）.又－1≤α＋β≤1，1≤α＋ 2β≤3，所以－1≤－（α＋β）≤1，2≤2（α＋2β）≤6，所以1≤α ＋3β≤7.故α＋3β的取值范围为[1，7]. [1，7]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 12. （1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于 60°； 证明：在△ABC中，由内角和定理得A＋B＋C＝180°，假设至少有一个内角大于或等于60°不正确，则三个角都小于60°，即A＜60°，B＜60°，C＜60°， 则A＋B＋C＜60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形内角和定理相矛 盾，故假设不成立，所证结论正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）证明：用分析法证明 ＋ ＞2 ＋2. 证明：要证 ＋ ＞2 ＋2，只要证（ ＋ ）2＞（2 ＋2）2， 即证16＋2 ＞16＋8 ，即证2 ＞8 ，即证240＞192，因为240 ＞192显然成立， 所以原不等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三 个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x， y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为 a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 （　　） A. ax＋by＋cz B. az＋by＋cx C. ay＋bz＋cx D. ay＋bx＋cz √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　法一　∵x＜y＜z且a＜b＜c， ∴ax＋by＋cz－（az＋by＋cx） ＝a（x－z）＋c（z－x）＝（x－z）（a－c）＞0， ∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx； 同理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz） ＝b（z－x）＋c（x－z）＝（z－x）（b－c）＜0， ∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz； 同理，az＋by＋cx－（ay＋bz＋cx） ＝a（z－y）＋b（y－z）＝（z－y）（a－b）＜0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 ∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx. ∴最低费用为az＋by＋cx（元）.故选B. 法二（特殊值法）　取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax ＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14；az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝ 10；ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11；ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋ 3×3＝13.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 14. 某单位计划今、明两年均购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方 案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等.假设 今、明两年该物品的单价分别为p1，p2（p1≠p2），记甲、乙方案中的平 均价格分别为Q1，Q2，比较Q1，Q2的大小，并说明哪种方案比较划算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解：对于甲方案，设每年购买的数量为x，则两年购买的总金额为p1x＋ p2x，平均价格Q1＝ ＝ . 对于乙方案，设每年购买的金额为y，则两年购买的总数量为 ＋ ， 平均价格Q2＝ ＝ . 因为Q1－Q2＝ － ＝ ＝ ＞0， 所以Q1＞Q2.因此使用乙方案较划算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $