第2章 周末练4 范围：2.2.4（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

这是一份高中数学周测资料“周末练4”，范围为2.2.4，包含14道题，题型有单选、多选、填空、解答，覆盖均值不等式的基础应用和实际情境优化，提供详细解析与答案，构建从基础到综合的学习支架。 资料特色鲜明，融合核心素养，通过车速费用、海报设计等现实问题引导学生用数学眼光观察世界，解析中逻辑推理和符号表达培养数学思维与语言，分层题型助力学生逐步提升，为教师教学提供丰富案例，帮助学生巩固知识与应用能力。学情上适合高一或高二学生，处于数学逻辑与建模能力形成期，需通过实际问题巩固均值不等式，培养应用意识，为后续学习和高考奠定基础。

范围：2.2.4 周末练4 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D C B D ABD AB 题号 9 10 11 　12 答案 BCD 6 57 　-1 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)因为a，b∈R且a>0，b>0，由均值不等式可得1=4a+b≥2=4当且仅当b=4a，即a=b=时，等号成立，所以0<ab≤因此ab的最大值为. (2)由a>0，b>0，4ab=3a+5b， 得+=4， 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则5a+3b=(5a+3b)×=× ≥× =×(34+30)=16， 当且仅当=即a=b=2时，等号成立， 所以5a+3b的最小值为16. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2，EF=x=100 cm， 则直角三角形的高为120 cm， 又海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm， ∴AD=120+20=140(cm)， AB=3×100+5×10=350(cm)， 故海报面积为AD·AB=140×350=49 000 (cm2). 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设EF=x cm，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2， ∴直角三角形的高为= 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm， ∴海报宽AD=+20， 海报长AB=3x+50， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故S矩形ABCD=AB·AD=(3x+50)=37 000+60x+ ≥37 000+2 =37 000+12 000=49 000， 当且仅当60x=即x=100时，等号成立，故当海报纸宽为140 cm，长为350 cm时，可使用纸量最少. 一、单项选择题 1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，则菜园的周长最短为 A.30 m B.36 m C.40 m D.50 m √ 设矩形的长为x m，则宽为 m，设菜园的周长为y m， 所以y=2x+2·x>0，根据均值不等式可知， y=2x+2·≥2=40，当且仅当2x=2·即x=10时取等号. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，22ab，a2+b2中最大的一个是 A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　因为0<a<1，0<b<1，且a≠b， 所以a2+b2>2ab，a+b>2a>a2，b>b2，所以a+b>a2+b2. 方法二　取a=b=则a2+b2=2=2ab=a+b=故a+b最大. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知x，y>0且xy=36，则x+y的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.12 √ 因为x，y>0且xy=36，可得x+y≥2=12，当且仅当x=y=6时，等号成立. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知a>0，b>0，则++2的最小值是 A.2 B.2 C.4 D.5 √ 由a>0，b>0可知+≥2当且仅当=即a=b时，等号成立，又2+2≥2=4，当且仅当2=2即=ab=1，所以a=b=1时，等号成立.故++2≥4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知正数x，y满足3x+2y=2，则+的最小值为 A.6 B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +=(3x+2y)=≥×= 当且仅当 即x=y=+. 解析 6.若x>-1，则的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得， ==2(x+1)+ ∵x>-1，x+1>0， ∴2(x+1)+≥2=4，当且仅当2(x+1)=即x=0时取等号， 则的最小值是4. 解析 二、多项选择题 7.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2)，小刚上山和下山的速度都是设上山的路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则 A.小明上山和下山所用时间之和为 B.小刚上山和下山所用时间之和为 C.小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D.小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 小明上山和下山所用时间之和为+=故A正确； 小刚上山和下山所用时间之和为=故B正确； 因为v1≠v2，所以>=<= 所以> 所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错误，D正确. 解析 8.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是 A.a2+b2≥8 B.≥ C.≥2 D.+≤1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴a2+b2≥==8， 当且仅当a=b=2时取等号，故A恒成立； 对于B，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴ab≤==4， 当且仅当a=b=2时取等号， ∴≥故B恒成立； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴≤==2，当且仅当a=b=2时取等号，故C不恒成立； 对于D，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴(a+b)=1， +=(a+b)=+≥+×2=1， 当且仅当=即a=b=2时取等号，故D不恒成立. 解析 9.★★已知a，b为正实数，且a>1，b>1，ab-a-b=0，则 A.ab的最大值为4 B.2a+b的最小值为3+2 C.a+b的最小值为4 D.+的最小值为2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ A选项，ab-a-b=0⇔ab=a+b， 因为a，b为正实数，且a>1，b>1， 由均值不等式得a+b≥2即ab≥2解得ab≥4，当且仅当a=b=2时，等号成立，故ab的最小值为4，A错误； B选项，由ab=a+b⇔+=1， 由均值不等式得2a+b= =2+1++≥3+2=3+2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当且仅当=即b=+1，a=时，等号成立，B正确； C选项，ab-a-b=0⇔ab=a+b， 因为a，b为正实数，且a>1，b>1， 由均值不等式得a+b≥2即a+b≥2解得a+b≥4， 当且仅当a=b=2时，等号成立，故a+b的最小值为4，C正确； D选项，因为ab=a+b，所以+==a+b-2， 因为a+b的最小值为4，所以+=a+b-2的最小值为2，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 10.设a>0，b>0，则+的最小值为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由a>0，b>0，得+=1+++1≥2+2=6， 当且仅当=即2a=b时取等号. 解析 6 11.已知A，B两城市的距离是100 km，根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在50~100 km/h，假设油价是6元/L，当以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为 L/h，其它费用是36元/h.为了这次行车的总费用最少，车速应为　　　km/h.(精确到1 km/h，参考数据≈3.162)  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当汽车以x km/h行驶时，则行车的总费用y=·= +x， 因为50≤x≤100，所以y=+x≥2=60 当且仅当=x，即x=18≈57时，等号成立，故为了这次行车的总费用最少，车速应为57 km/h. 解析 12.★★已知x<若不等式2x+≤m 恒成立，则实数m的最小值为 　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为x<所以2x-5<0，则5-2x>0，所以2x+=2x-5++5 =-+5≤-2+5=-1， 当且仅当5-2x=即x=1时，等号成立， 因为不等式 2x+≤m 恒成立，所以m≥则m≥-1， 所以实数m的最小值为-1. 解析 四、解答题 13.(1)已知a，b∈R且a>0，b>0，4a+b=1，求ab的最大值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为a，b∈R且a>0，b>0，由均值不等式可得1=4a+b≥2=4当且仅当b=4a，即a=b=时，等号成立，所以0<ab≤因此ab的最大值为. 解 (2)已知正数a，b满足4ab=3a+5b，求5a+3b的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由a>0，b>0，4ab=3a+5b，得+=4， 则5a+3b=(5a+3b)×=× ≥×=×(34+30)=16， 当且仅当=即a=b=2时，等号成立， 所以5a+3b的最小值为16. 解 14.★★某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm，设EF=x cm. (1)当x=100 cm时，求海报纸的面积； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2，EF=x=100 cm， 则直角三角形的高为120 cm， 又海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm， ∴AD=120+20=140(cm)， AB=3×100+5×10=350(cm)， 故海报面积为AD·AB=140×350=49 000 (cm2). 解 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设EF=x cm，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2， ∴直角三角形的高为= 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm， ∴海报宽AD=+20， 海报长AB=3x+50， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故S矩形ABCD=AB·AD=(3x+50)=37 000+60x+ ≥37 000+2 =37 000+12 000=49 000， 当且仅当60x=即x=100时，等号成立，故当海报纸宽为140 cm，长为350 cm时，可使用纸量最少. 解 $