2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次方程的判别式、解集及根与系数的关系，通过小芳生日年龄问题情境导入，引导学生从实际问题抽象出方程，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接初中方程知识与高中解集概念。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过直接开平方法、配方法等题型分类训练数学思维，每类题型后总结通性通法强化数学语言表达。例如用生日问题激发探究欲，题型分类提升运算能力，通性通法帮助规范解题步骤，助力学生掌握知识，为教师提供系统教学资源。

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1 1.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数（数学运算）. 2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚会，邻 居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄.小芳说：我是最小的， 我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁.小明说：我们中较大的两个的 年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的 平方和.张叔叔说：“我可以算出小芳的年龄了”. 【问题】　张叔叔是怎样算出小芳年龄的？  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点一　一元二次方程的解集 一般地，Δ＝ 称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的 判别式. （1）当Δ＞0时，方程的解集为 ⁠； （2）当Δ＝0时，方程的解集为 ⁠； （3）当Δ＜0时，方程的解集为 ⁠. b2－4ac　 { ， }　 　 ∅　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 对于方程ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0时一定有两不相等的解吗？ 提示：不一定. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点二　一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集不是空集，设x1，x2是该 一元二次方程的两个根，则x1＋x2＝ 　－ 　，x1x2＝ 　 　. 　　提醒：一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根 为前提条件的.利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才 有意义，所以求得的参数的值要代入Δ＝b2－4ac来验证. － 　 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 方程x2＋x＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x1＋x2＝－1 B. 关于x的一元二次方程x2＋tx＋1＝0一定有两个不相等的实数根 C. 已知方程（x＋3）2＋x＋1＝0的两个实数根x1，x2，则x1x2＝1 D. 若关于x的一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根x1＜x2，则x1＜1＜ x2 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　对于A，由x2＋x＋1＝0中Δ＝12－4×1＜0，即方程无实根，则 A错误； 对于B，由方程知Δ＝t2－4×1＞0不一定恒成立，故方程不一定 有两个不等的实根，则B错误；对于C，由（x＋3）2＋x＋1＝x2＋7x＋10 ＝（x＋5）（x＋2）＝0，显然x1x2＝（－5）×（－2）＝10，则C错误； 对于D，由题设x2－x－1＝0中x1＝ ＜1＜x2＝ ，则D正确.故选D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则 ＋ 的值为 （　　） A. －1 B. C. － D. 1 解析：　因为m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，所以m＋n＝ ，mn＝－1，所以 ＋ ＝ ＝ ＝－ .故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围 是 ⁠. 解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－ 4k≥0，即k≤4. （－∞，4] 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜一元二次方程解集的求法 角度1　直接开平方法 【例1】　用直接开平方法求下列一元二次方程的解集： （1）4y2－25＝0； 解： 移项，得4y2＝25. 两边都除以4，得y2＝ . 解得y1＝ ，y2＝－ ， 所以原一元二次方程的解集是 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）3x2－x＝15－x. 解： 移项，合并同类项，得3x2＝15. 两边都除以3，得x2＝5， 解得x1＝ ，x2＝－ . 所以原一元二次方程的解集是{ ，－ }. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤 （1）化为x2＝p（p≥0）的形式； （2）直接开平方； （3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根； （4）总结写成解集的形式. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 角度2　配方法 【例2】　用配方法求下列方程的解集： （1）x2＋4x－1＝0； 解：∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1， ∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴（x＋2）2＝5， ∴x＝－2± ， ∴x1＝－2＋ ，x2＝－2－ . ∴原一元二次方程的解集是{－2＋ ，－2－ }. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）4x2＋8x＋1＝0. 解：移项，得4x2＋8x＝－1. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝－ ， 配方，得x2＋2x＋12＝12－ ，即（x＋1）2＝ . ∴x＋1＝± . ∴x1＝－1＋ ，x2＝－1－ ， ∴原一元二次方程的解集是 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），先把二次项系 数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两 边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式， 另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一边为负数，则此方 程无实数根）. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 角度3　公式法和因式公解法 【例3】　用公式法求下列方程的解集： （1）x2－4 x＋10＝0； 解：∵a＝1，b＝－4 ，c＝10， Δ＝b2－4ac＝（－4 ）2－4×1×10＝8＞0， ∴x＝ ＝ ＝2 ± ， ∴x1＝2 ＋ ，x2＝2 － . ∴原一元二次方程的解集是{2 ＋ ，2 － }. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2） x2＋ x＋ ＝0； 解：方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0. ∵a＝4，b＝4，c＝1， Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0， ∴x＝ ＝－ ，∴x1＝x2＝－ . ∴原一元二次方程的解集是 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解得x＝－9或x＝7，即方程－x2－2x＋63＝0的解集为{－9，7}. （3）－x2－2x＋63＝0； 解：由方程－x2－2x＋63＝0，即x2＋2x－63＝（x＋9）（x－7）＝0， （4）x4－x2－12＝0. 解：由方程x4－x2－12＝0，即（x2－4）（x2＋3）＝0，解得x2＝4或x2＝ －3（舍去），即x＝±2， 所以方程x4－x2－12＝0的解集为{－2，2}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次 项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把 a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 求下列方程的解集： （1）2x2＋5x＝3； 解： 法一（配方法）　2x2＋5x＝3，则2 ＝3＋2× ＝ ，即 ＝ ，解得x1＝－ ＋ ＝ ，x2＝－ － ＝－3. ∴方程2x2＋5x＝3的解集是 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 法二（公式法）　原方程可化为2x2＋5x－3＝0. ∵a＝2，b＝5，c＝－3，Δ＝b2－4ac＝25＋24＝49， ∴x＝ ＝ ，∴x1＝－3，x2＝ . ∴方程2x2＋5x＝3的解集是 . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）2x4－7x2＋3＝0； 解： 2x4－7x2＋3＝0可化为（x2－3）（2x2－1）＝0， 解得x2＝3或x2＝ ，故x＝ 、－ 、 、－ ， 方程2x4－7x2＋3＝0的解集为{ ，－ ， ，－ }. （3） ＋ －1＝0； 解： ＋ －1＝0可化为2＋x－x2＝0（x≠0）， 即（x－2）（x＋1）＝0，解得x＝2或x＝－1， 方程 ＋ －1＝0的解集为{－1，2}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （4）x2－4｜x｜－12＝0； 解： 因为x2－4｜x｜－12＝0⇔｜x｜2－4｜x｜－12＝0⇔（｜x｜ －6）（｜x｜＋2）＝0， 解得｜x｜＝6或｜x｜＝－2（舍去）， 由｜x｜＝6，解得x＝6或x＝－6， 所以原方程的解集为{－6，6}. （5）x2－2ax＋a2－4＝0. 解： 原方程因式分解为（x－a＋2）（x－a－2）＝0. 所以解集为{a－2，a＋2}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜一元二次方程根的判别式 【例4】　不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况： （1）3x2－2x－1＝0； 解：∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝16＞0，∴方程有两个不相等的实 数根，∴方程的解集中有两个元素. （2）2x2－x＋1＝0； 解：∵Δ＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解 集为空集. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）4x－x2＝x2＋2. 解：方程整理为x2－2x＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴方程有 两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数 根；当Δ＜0时，方程没有实数根. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知 ＝1（a，b，c∈R），则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 （　　） A. 一定有不相等的两个实数根 B. 一定有两个相等的实数根 C. 可能有两个相等的实数根 D. 没有实数根 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　由 ＝1，得c＝ b－5a，且a≠0，所以Δ＝b2－4ac＝b2 －4a（ b－5a）＝（2 a）2－2×2 ab＋b2＝（2 a－b）2≥0， 所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，但不能确定两实数根是否一 定相等.故选C. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若关于x的方程ax2＋2（a＋1）x＋4＝0的解集为单元素集合，则 （　　 ） A. a＝0 B. a＝1 C. a＝0或a＝1 D. a≠0且a≠1 解析：　a＝0时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件； a≠0时，原方程为一元二次方程，当判别式Δ＝0时，方程有一个解，此 时，Δ＝4（a＋1）2－4×4a＝0，解得a＝1，所以当原方程的解集为单元 素集合时，a＝0或a＝1，选项C正确.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜一元二次方程根与系数的关系 角度1　直接应用根与系数的关系进行计算 【例5】　（链接教科书第52页例2）已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两 根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求： （1） ＋ ；（2） ＋ . 解：根据一元二次方程根与系数的关系， 得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1. （1） ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－3）2－2×（－1）＝11. （2） ＋ ＝ ＝ ＝3. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解 题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程求出两 根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形 式，然后代入求值. 常见变形还有： （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； （2）｜x1－x2｜＝ ＝ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 角度2　求字母系数的值或范围 【例6】　关于x的一元二次方程x2－6x＋k－1＝0. （1）如果方程有实数根，求k的取值范围； 解：∵x2－6x＋k－1＝0， ∴Δ＝（－6）2－4（k－1）≥0， 解得k≤10，∴k的取值范围为（－∞，10]. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且 ＋ ＋3x1x2＝24，求k的值. 解：由题意知，x1＋x2＝6，x1x2＝k－1. ∵ ＋ ＋3x1x2＝24， ∴（x1＋x2）2＋x1x2＝24， ∴62＋k－1＝24，解得k＝－11， ∴k的值为－11. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与 系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若关于x的方程x2－6x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则 ＋ ＝ （　　 ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析：因为x1，x2是方程x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝6，x1x2＝2， 所以 ＋ ＝ ＝ ＝ ＝8.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. （2025·北京西城区期末）设方程x2－3x＋1＝0的两根为x1和x2，则（x1 ＋1）（x2＋1）＝ ⁠. 解析：方程x2－3x＋1＝0的两根为x1和x2，则x1＋x2＝3，x1x2＝1，所以 （x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋x1＋x2＋1＝5. 5　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 方程4（1－x）2＝1的解集是（　　 ） A. ∅ B. C. D. 解析：　由方程4（1－x）2＝1，可得方程（x－1）2＝ ，解得x－1＝ 或x－1＝－ ，所以x＝ 或x＝ ，即方程的解集为 .故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 下列一元二次方程中，解集为空集的是（　　 ） A. x2－2x＝0 B. x2＋4x－1＝0 C. 2x2－4x＋3＝0 D. 3x2＝5x－2 √ 解析：　利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可.A项：Δ＝（－ 2）2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B 项：Δ＝42－4×1×（－1）＝20＞0，有两个不相等的实数根， 故此选项 不合题意；C项：Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选 项符合题意；D项：Δ＝（－5）2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数 根，故此选项不合题意.故选C. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 若方程（x－a）（x－b）－x＝0的两根为c，d，则方程（x－c） （x－d）＋x＝0的根是（　　） A. x1＝a，x2＝b B. x1＝－a，x2＝－b C. x1＝c，x2＝d D. x1＝－c，x2＝－d 解析：　（x－a）（x－b）－x＝0⇒x2－（a＋b＋1）x＋ab＝0，又 c，d为该方程的两根，由根与系数的关系得 （x－c） （x－d）＋x＝0⇒x2－（c＋d－1）x＋cd＝0⇒x2－（a＋b）x＋ab＝ 0，即（x－a）（x－b）＝0，解得x1＝a，x2＝b.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 〔多选〕关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是 （　　 ） A. 当m＝0时，方程只有一个实数根 B. 当m＝1时，方程有两个相等的实数根 C. 当m＝－1时，方程没有实数根 D. 当m＝2时，方程有两个不相等的实数根 √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝ ，此时方程只 有一个实数根，A正确；当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝ （－4）2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；当 m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝（－4）2－4×（－1）×6 ＞0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m＝2时，方程化 为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，所以此时方程 无实数根，D错误.故选A、B. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 已知α，β是关于x的方程x2－2mx＋m2－4＝0（m∈R）的两个根， 则｜α－β｜＝ ⁠. 解析：因为α，β是关于x的方程x2－2mx＋m2－4＝0（m∈R）的两个 根，所以α＋β＝2m，αβ＝m2－4， 所以｜α－β｜＝ ＝ ＝4. 4　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 集合{x∈Z｜（3x－1）（x＋3）＝0}可化简为（　　） A. { ，－3} B. {－ ，3} C. {－3} D. {3} 解析：　由（3x－1）（x＋3）＝0，解得x＝ 或x＝－3，又因为 x∈Z，所以x＝－3，所以集合{x∈Z｜（3x－1）（x＋3）＝0}可化简为 {－3}.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2 024的值是 （　　 ） A. 2 025 B. 2 026 C. 2 027 D. 2 028 解析：　因为a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，所以a2＋a－3＝ 0，a＋b＝－1，两式相减，得a2－b＝4，所以a2－b＋2 024＝4＋2 024 ＝2 028.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个不等实数根，并 且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则实数m的值是（　　） A. 17 B. －1 解析：　设方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个不等实数根分别为 x1，x2，有x1＋x2＝－2（m－2），x1·x2＝m2＋4，这两个实数根的平方和 比两个根的积大21，则有 ＋ －x1x2＝21，即（x1＋x2）2－3x1x2＝4 （m－2）2－3（m2＋4）＝m2－16m＋4＝21，解得m＝－1或m＝17，方 程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个不等实数根，Δ＝4（m－2）2－4 （m2＋4）＞0，得m＜0，所以m＝－1.故选B. √ C. 17或－1 D. －17或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 若实数a≠b，且a2－5a＋2＝0，b2－5b＋2＝0，则代数式 ＋ 的值为（　　） A. － B. C. － D. －2 √ 解析：　因为实数a≠b，且a2－5a＋2＝0，b2－5b＋2＝0，所以a，b 为方程x2－5x＋2＝0的两个不相等的根.所以a＋b＝5，ab＝2.所以 ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕若方程 ＝ 的解集为单元素集，那么该方程的解集 可以是（　　） A. {1} B. {2} 解析： 　由题意可知x≠－1且x≠0，则原方程可化为x＝ ，得 x2－2x－m＝0，若方程有一根为0，则m＝0，此时原方程的解为x＝2（x ＝0舍去），符合题意；若方程有一根为－1，则m＝3，此时原方程的解 为x＝3（x＝－1舍去），符合题意；若Δ＝4＋4m＝0，解得m＝－1，故 原方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1.故选A、B、C. C. {3} D. {4} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 若－5∈{x｜x2－ax－5＝0，a∈R}，则集合{x｜x2＋ax＋3＝0， a∈R}＝ ⁠. 解析：由题意可知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，则（－5）2＋5a －5＝0⇒a＝－4，代入方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1 或x＝3，所以{x｜x2＋ax＋3＝0，a∈R}＝{1，3}. {1，3}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 7. 已知实数a，b分别满足a2＋3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，且a＋b≠0， 则ab的值为 ⁠. 解析：实数a，b分别满足a2＋3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，故－a，b为 方程x2－3x＋1＝0的两根，由根与系数的关系可知－ab＝1，即ab＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 方程x2＋x＋c＝0的两个实数根为x1，x2，若 x2＋ x1＝6，则实数c ＝ ⁠. 解析：由根与系数的关系知，x1＋x2＝－1，x1x2＝c，所以 x2＋ x1＝ x1x2（x1＋x2）＝－c＝6，解得c＝－6. －6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 已知关于x的一元二次方程x2＋2（m＋1）x＋m2－1＝0. （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； 解： ∵方程有实数根， ∴Δ＝4（m＋1）2－4（m2－1）＝8m＋8≥0，∴m≥－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若方程有两个不相等的实根x1，x2，且满足（x1－x2）2＝16－ 2x1x2，求实数m的值. 解： ∵方程有两个不相等的实根x1，x2， ∴Δ＝4（m＋1）2－4（m2－1）＝8m＋8＞0，∴m＞－1， 且x1＋x2＝－2（m＋1），x1x2＝m2－1， ∴（x1－x2）2＝ －4x1x2＝16－2x1x2， （x1＋x2）2＝16＋2x1x2，4（m＋1）2＝16＋2（m2－1）， ∴m2＋4m－5＝0，m＝－5或m＝1. ∵m＞－1，∴m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. 设m∈R，若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分不必要 条件，则实数m的值为（　　 ） A. － B. 1 C. － 或1 D. －1或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　由题意可知，x＝2是m2x2－（m＋3）x＋4＝0的解，但不是唯 一的解， 因此4m2－2（m＋3）＋4＝0，解得m＝1或m＝－ . 当m＝1时，x＝2是x2－4x＋4＝0唯一的解，故不满足题意； 当m＝－ 时， 则 x2－ x＋4＝0，即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝ 8，满足题意.综上所述，m＝－ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 11. 设集合U＝{－2， ，2，3}，A＝{x｜2x2－5x＋2＝0}，B＝ { ， }，若∁UA＝B，则a＋b＝ ⁠. 解析：因为集合A＝{x｜2x2－5x＋2＝（2x－1）·（x－2）＝0}，即集 合A＝{ ，2}，所以∁UA＝{－2，3}＝{ ， }.因为 ≥0⇒ ＝ 3⇒a＝1，所以 ＝－2⇒b＝－2，所以a＋b＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 12. 在学习解一元二次方程之后，对于某些不是一元二次方程的方程，我 们也可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如：方程：x2－3｜x｜ ＋2＝0. 其解法为：设｜x｜＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0（y≥0）. 解得y1＝1，y2＝2. 当y＝1时，｜x｜＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，｜x｜＝2，∴x＝±2. ∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 上述解方程的方法叫做“换元法”. 请用“换元法”解决下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （1）解方程：x4－10x2＋9＝0； 解： 设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0（a≥0）， 即（a－1）（a－9）＝0， 解得a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3. ∴原方程的解集是{1，－1，3，－3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若实数x满足x2＋ －3x－ ＝2，求x＋ 的值. 解： 设x＋ ＝y， 则原方程可化为y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0， ∴（y＋1）（y－4）＝0， 解得y＝－1或y＝4， 即x＋ ＝－1（方程无解，舍去）或x＋ ＝4， 故x＋ ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 13. 已知集合P＝{x｜x2－x－2＝0}，若集合Q＝{x｜mx－1＝0}，且 Q⊆P，则实数m的值为 　　；若集合Q＝{x｜ax2＋2x＋2＝0}，且Q是 P的真子集，则实数a的取值范围为 ⁠. －1，0， 　a＝0或a＞ 　 解析：P＝{x｜x2－x－2＝0}＝{－1，2}，Q＝{x｜mx－1＝0}， Q⊆P，则当Q＝∅时，m＝0，满足题意；当Q≠∅时，则Q＝{－1}或 Q＝{2}，将－1和2分别代入mx－1＝0，解得m＝－1，m＝ .综上所 得，实数m的值为－1，0， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 P＝{－1，2}，Q＝{x｜ax2＋2x＋2＝0}，且Q是P的真子集，则当Q＝ ∅时，则a≠0，Δ＝4－8a＜0，解得a＞ ，满足题意；当Q≠∅时，则 当a＝0时，Q＝{－1}满足题意；当Q≠∅时，则当a≠0时，Δ＝4－8a＝ 0，则a＝ ，此时Q＝{－2}，不满足Q是P的真子集.综上所得， 实数a 的取值范围为a＝0或a＞ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 14. 已知y＝x2－2ax＋a. （1）若方程y＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且 ＋ ＝6－ ，求 实数a的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解： 由函数y＝x2－2ax＋a，令y＝0，即x2－2ax＋a＝0. 因为方程y＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得x1＋x2＝2a，x1x2＝a. 又因为 ＋ ＝6－ ，可得 ＝ ， 即（x1＋x2）2－2x1x2＝6x1x2－3，即（x1＋x2）2－8x1x2＋3＝0， 将x1＋x2＝2a，x1x2＝a代入，可得4a2－8a＋3＝0，解得a＝ 或a＝ . 又由Δ＝（－2a）2－4a＞0，即a（a－1）＞0，解得a＜0或a＞1， 所以a＝ ，即实数a的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若集合A＝{x｜x2＋4x＝0}，B＝{x｜x2－2ax＋a＝－（4a＋2） x－a2＋a＋1}，若A∪B＝A，求a的取值范围. 解： 由集合A＝{x｜x2＋4x＝0}＝{－4，0}， 集合B＝{x｜x2－2ax＋a＝－（4a＋2）x－a2＋a＋1}， ＝{x｜x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}. 因为A∪B＝A，可得B⊆A. 若B＝∅时，即方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0无实数根， 则满足Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，解得a＜－1； 若B＝{0}时，把x＝0代入方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，解得a＝ ±1， 当a＝1时，方程x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－4，此时B＝{－4，0}， 舍去； 当a＝－1时，方程x2＝0，解得x＝0，此时B＝{0}，符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 若B＝{－4}时，把x＝－4代入方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，解得a ＝1或a＝7， 当a＝1时，方程x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－4，此时B＝{－4，0}， 舍去； 当a＝7时，方程x2＋16x＋48＝0，解得x＝－4或x＝－12，此时B＝{－ 4，－12}，舍去； 若B＝{－4，0}时，可得 解得a＝1，符合题意. 综上可得，实数a满足a≤－1或a＝1，即实数a的取值范围为（－∞， －1]∪{1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $