第二章 等式与不等式 章末整合提升 体系构建 素养提升-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了等式与不等式的核心知识，涵盖等式性质、一元一次及二次方程解法，不等式性质、一元一次及二次不等式解法，通过知识框架将方程与不等式的解法（因式分解、配方法、判别式法）横向关联，构建知识网络。 其亮点在于以核心素养为导向设计“培优”系列专题，如逻辑推理类的不等式性质应用、数学运算类的方程组与不等式组解法、数学建模类的均值不等式实际应用，例题从基础到综合分层递进，培养学生数学思维与应用能力，助力教师精准复习，提升学生知识巩固效果。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 体系构建 数学·必修第一册（B 版） 素养培优 素养培优 一、逻辑推理 　　逻辑推理的核心素养在本章中主要体现在（1）利用等式与不等式的 性质推得结论；（2）利用均值不等式推出有关结论. 数学·必修第一册（B 版） 培优一｜不等式的性质及应用 【例1】　（1）〔多选〕已知实数a，b，c满足 ＞ ＞0＞c，则 （　ACD　） A. ＜ B. ＜ C. a2c＜b2c D. a＋ ＞b＋ ACD 数学·必修第一册（B 版） 解析：由已知 ＞ ＞0＞c，则a＞b＞0＞c，易知 ＜ ，A选项正确； 可得 ＜ ，B选项错误；a＞b＞0＞c，所以a2＞b2＞0，则a2c＜b2c＜ 0，C选项正确；由a＞b＞0可知ab＞0，则a＋ －（b＋ ）＝a－b＋ ＝（a－b）（1＋ ）＞0，即a＋ ＞b＋ ，D选项正确.故选A、 C、D. 数学·必修第一册（B 版） （2）〔多选〕若1＜a＜2，3＜b＜5，则下列不等式中正确的是 （　ACD　） A. 4＜a＋b＜7 B. 2＜b－a＜3 C. 3＜ab＜10 D. ＜ ＜5 ACD 数学·必修第一册（B 版） 解析：选项A，由1＜a＜2，3＜b＜5，可得4＜a＋b＜7，故选项A正 确； 选项B，由1＜a＜2可得－2＜－a＜－1，而3＜b＜5，所以1＜b－a＜ 4，故选项B错误； 选项C，由1＜a＜2，3＜b＜5，可得3＜ab＜10，故选项C正确； 选项D，由1＜a＜2可得 ＜ ＜1，而3＜b＜5，所以 ＜ ＜5，故选项 D正确. 故选A、C、D. 数学·必修第一册（B 版） 培优二｜恒成立问题 【例2】　（1）已知命题“∀x∈R，ax2＋4x－1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是（　A　） A. （－∞，－4） B. （－∞，4） C. [－4，＋∞） D. [4，＋∞） 解析：由题意，命题“∀x∈R，ax2＋4x－1＜0”是真命题，当a＝0时， 不等式4x－1＜0，解得x＜ ，不满足题意；当a≠0时， 解得a＜－4.综上所述，实数a的取值范围是（－∞， －4）.故选A. A 数学·必修第一册（B 版） （2）若等式ax2＋bx＝（x－1）（x＋2）＋2恒成立，则常数a与b的和 为 ⁠； 2　 解析：等式ax2＋bx＝（x－1）（x＋2）＋2恒成立， 即（a－1）x2＋（b－1）x＝0恒成立， 则有 解得 故a＋b＝1＋1＝2. 数学·必修第一册（B 版） （3）已知a＞0，b＞0， ＋ ＝ ，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m 的最大值为 ⁠. 6　 解析：由已知，可得6 ＝1， ∴2a＋b＝6 （2a＋b） ＝6 ≥6×（5＋4）＝54， 当且仅当 即a＝b＝18时等号成立， ∴9m≤54，即m≤6，故m的最大值为6. 数学·必修第一册（B 版） 培优三｜均值不等式的应用 【例3】　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明： （1）ab＋bc＋ac≤ ； 证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋ bc＋ca（当且仅当a＝b＝c时等号成立）. 由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1. 所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤ . 数学·必修第一册（B 版） （2） ＋ ＋ ≥1. 证明：因为 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c， 所以 ＋ ＋ ＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即 ＋ ＋ ≥a ＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 所以 ＋ ＋ ≥1. 数学·必修第一册（B 版） 【例4】　〔多选〕《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE， 过点A作AF⊥BC于点F，则下列推 理正确的是（　　） 数学·必修第一册（B 版） A. 由图（1）和图（2）面积相等得d＝ B. 由AE≥AF可得 ≥ C. 由AD≥AE可得 ≥ D. 由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab √ √ √ 数学·必修第一册（B 版） 解析： 对于A，由题图（1），（2）面积相等得S＝ab＝（a＋b） ×d，所以d＝ ，故A错误；对于B，因为AF⊥BC，所以 ×a×b ＝ ×AF，所以AF＝ ，设题图（3）中内接正方形的边 长为t，根据三角形相似可得 ＝ ，解得t＝ ，所以AE＝ t＝ .因为AE≥AF，所以 ≥ ，整理可得 ≥ ，故 B正确；对于C，因为D为斜边BC的中点，所以AD＝ . 数学·必修第一册（B 版） 因为AD≥AE，所以 ≥ ，整理得 ≥ ，故C正确； 对于D，因为AD≥AF，所以 ≥ ，整理得a2＋b2≥2ab， 故D正确.故选B、C、D. 数学·必修第一册（B 版） 二、数学运算 　　数学运算的核心素养在本章中主要体现在方程组和不等式的求解 问题中. 数学·必修第一册（B 版） 培优四｜方程组的解法 【例5】　求下列方程组的解集： （1） 解：法一（代入法）　由②得x＝y＋1， ④ 将④代入①③得 数学·必修第一册（B 版） 解这个方程组得 将y＝9代入④得x＝10. 所以原方程组的解集为{（10，9，7）}. 法二（加减法）　③－①，得x－2y＝－8， ⑤ 由②⑤组成方程组，得 解这个方程组，得 将其代入①得z＝7. 所以原方程组的解集为{（10，9，7）}. 数学·必修第一册（B 版） （2） 解：由②得x＝2y＋2， ③ 把③代入①，整理得8y2＋8y＝0.即y（y＋1）＝0，解得y＝0或y＝－1. 把y＝0代入③，得x＝2；把y＝－1代入③，得x＝0.所以原方程组的解集 是{（2，0），（0，－1）}. 数学·必修第一册（B 版） 【例6】　已知关于x和y的方程组 （1）当b＝0时，求方程组的解集； 解：当b＝0时，方程组为 消元得3x2＋ x2＝12， 解方程组得 或 所以方程组的解集为{（ ，－ ），（－ ， ）}. 数学·必修第一册（B 版） （2）设 和 是方程组的两组不同的解，若y1－4x1＋y2－ 4x2＝2m，求实数m的取值范围. 解：由方程组 消元得 x2－2bx＋4b2－12＝0， 则 可得－ ＜b＜ ， 显然y1－4x1＋y2－4x2＝－ （x1＋x2）＋2b－4（x1＋x2）＝－ b＝ 2m， 所以m＝－ b⇒－ ＜m＜ . 实数m的取值范围为（－ ， ）. 数学·必修第一册（B 版） 培优五｜不等式（组）的解法 【例7】　解下列不等式： （1）x＋｜2x＋3｜≥2； 解：原不等式可化为 或 解得x≥－ 或 x≤－5. 综上，原不等式的解集是 . 数学·必修第一册（B 版） （2）｜x＋1｜＋｜x－1｜≥3. 解：当x≤－1时，原不等式可以化为－（x＋1）－（x－1）≥3，解得 x≤－ . 当－1＜x＜1时，原不等式可以化为x＋1－（x－1）≥3，即2≥3，不成 立，无解. 当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3， 解得x≥ . 综上，原不等式的解集为 ∪ . 数学·必修第一册（B 版） 【例8】　已知集合A＝{x｜ ≤1}，集合B＝{x｜x2－2mx＋m2－ 1≤0，m∈R}. （1）求集合A； 解：因为 ≤1， ≤0，所以 所以－2≤x＜ ，所以A＝{x｜－2≤x＜ }. 数学·必修第一册（B 版） （2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数m的取值范围. 解：若x∈A是x∈B的必要条件，所以B⊆A， B＝{x｜x2－2mx＋m2－1≤0，m∈R}＝{x｜[x－（m－1）]·[x－（m ＋1）]≤0，m∈R}＝[m－1，m＋1]， 所以 解得－1≤m＜ . 所以实数m的取值范围是［－1， ）. 数学·必修第一册（B 版） 培优六｜利用均值不等式求最值 【例9】　（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝9，则 ＋ 的最小值为 （　A　） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 解析：已知a＞0，b＞0，a＋b＝9，所以 ＋ ＝ ＋ ＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8， 当且仅当 ＝ ，a＋b＝9，即a＝6，b＝3时等号成立.故选A. A 数学·必修第一册（B 版） （2）若a＞0，b＞0，则 ＋ ＋b的最小值为 　2 　. 解析：法一　 ∵ ≥ ， ∴ ＋ ＋b＝ ＋ ＋ ＋ ≥4 ＝2 ，当且仅当 ＝ ＝ ＝ 时等号成立，即a＝b＝ 时 ＋ ＋b取得最小值. 2 　 法二　∵a＞0，b＞0，∴ ＋ ＋b≥2 ＋b＝ ＋b≥2 ＝ 2 .当且仅当 ＝ 和 ＝b同时成立，即a＝b＝ 时等号成立. 数学·必修第一册（B 版） 三、数学建模 　　数学建模是应用数学实际问题的基本方法，在本章中体现在（1）均 值不等式的实际应用；（2）一元二次不等式的实际应用. 数学·必修第一册（B 版） 培优七｜均值不等式的实际应用 【例10】　某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售 价为40元，年销售6万件. （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1 000件，要使销 售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 解： 设每件定价为t元，依题意得（6－ ×0.1）t≥40×6， 整理得t2－100t＋2 400≤0， 解得40≤t≤60. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为60元. 数学·必修第一册（B 版） （2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入（ x2－100）万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入 万 元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并 求出此时每件商品的定价. 数学·必修第一册（B 版） 解：依题意知当x＞40时，ax≥40×6＋160＋ x2－100＋ x， 等价于x＞40时，a≥ ＋ x＋ ， 由于 ＋ x≥2 ＝10，当且仅当 ＝ x，即x＝60时等号 成立， 所以a≥10.5， 当该商品改革后销售量a至少达到10.5万件时，才可能使改革后的销售 收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为60元. 数学·必修第一册（B 版） 培优八｜一元二次不等式的实际应用 【例11】　现要在阁楼屋顶上开一窗户. （1）已知阁楼屋顶为高2米，底 边长5米的锐角三角形，若开一个 内接矩形窗户（阴影部分）（如图 所示），设其一边长为x米. （ⅰ）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ⅱ）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板 面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方 米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ 数学·必修第一册（B 版） 解：（ⅰ）设矩形的另一边长为y，由三角形相似得 ＝ 且0＜x＜5， 0＜y＜2， 所以2x＋5y＝10，又矩形窗户面积S＝xy＝x（2－ x）＝－ （x－ ）2 ＋ ≥2，解得 ≤x≤ ， 故x的取值范围为{x｜ ≤x≤ }. （ⅱ）设地板面积为S1，解不等式组 所以S＋S1≤11S，即11S≥16.5，解得S≥ ，故窗户面积最小为 平方 米， 令x（2－ x）＝ ，可得4x2－20x＋15＝0，解得x＝ 或x＝ . 故当x为 米或 米时，窗户面积最小，为 平方米. 数学·必修第一册（B 版） （2）一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同 时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从 数学角度说明理由. 解：设a，b分别表示原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增 加的面积（面积单位都相同）， 由题意得0＜a＜b，m＞0，则 － ＝ ＝ . 因为b－a＞0，b（b＋m）＞0，所以 ＞0，即 ＞ ， 所以窗户和地板同时增加相同的面积，采光条件变好了. 数学·必修第一册（B 版） $