上海市华东师范大学第二附属中学2026-2027学年高三上学期数学周测卷1

2026学年华东师范大学第二附属中学 高三数学周测卷1 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟。 2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题 纸上，在试卷上作答一律不得分。 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指 定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格 填对得5分，否则一律得零分。 1.已知集合A={x|x2-3x≤0}，B={|x>1},则AnB= 2.已知i是虚数单位，复数z满足(2-)z=1+3i,则z= 3.一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则其侧面展开图中扇形的圆心角为」 4.在公比q>1的正项等比数列{an}中，a3=12,a2+a4=30,则a5= 5.已知随机变量X~N(70,o2),且P(60≤X≤80)=0.8，则P(X≥80)= 6.已知如a=号且号<a<,则cos2a= 7.设集合A={x|2-5x+4<0},B={x|c-al<2}。若A≤B,则实数a的取值范围 为 8.已知x>0,>0,且+2=3，则y+2的最小值为 9.设A={1,2,,8}。若非空子集B≤A的最大元素与最小元素之差等于4，则满足条件的集合B共 有一个。 10.已知An={1,2,,n}。若存在含有20个元素的集合S≤An,且对S中任意两个不同元素a,b, 都有la->3,则正整数n的最小值为 一0 1.箱圆C:兰+=1的左、右焦点分别为，乃，点P1,0)在精圆C内。过点P的直线与椭圆C 交于A,B两点，椭圆C在点A,B处的切线相交于点T,则TF引+TF2的最小值为 A 12.如图，在四面体A一BCD中，棱AB的长为V6,其余各棱长均为2。底 面BCD位于平面a内，点E为棱AC的中点。将该四面体绕棱CD旋转，平 面α保持不动。在旋转过程中，直线BE,DE与平面α所成的角分别为01,2， B 则cos201+cos202的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13一14题每题4分，第15一16题每题5分）每题有 且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律 得零分。 13.某组样本数据(，)（i=1,2,·,n)的线性回归方程为=0.8x+12。下列结论中一定正确的是 ()。 A.对每个样本点都有班=0.8x+12 B.样本相关系数为0.8 C.样本均值满足可=0.8元+12 D.当x增加1时，y一定增加0.8 14.已知实数a,b,c满足a>b>1>c,则下列结论中一定成立的是（)。 A.ac>bc B.b<1 C.loga b+logb a>2 D.a+c>b 15.设Aa={z|x2-2ax+a+2≤0}。若集合Aa非空，且Aa0,4,则实数a的取值范围是（)。 A割 B(么] C.[2,3] n 16,已知圆1：君+号-1与双面线r:若-白，2沙-1.直线1：g=e+m(化m€)分别 与1，I2交于A,B两点和C,D两点，且Ad=D庐。满足上述条件的直线1的条数为()。 A.4 B.5 C.7 D.11 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤。 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 如图，在四棱锥P-ABCD巾，底面ABCD是菱形，AC=2,BD=2V3,PA⊥平面ABCD,点E 是棱PC的中点。 (1)求证：BD⊥平面PAC; (2)若直线BE与平面PAC所成角的正弦值为 ，求四棱锥P-ABCD的体积。 3 P A 心 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知f(x)=sinx+2cos(x+p),其中p∈0，]。 (1)若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，求P的值： (②)当口=看时，若关于云的不等式fe)+气：≥a对任意：∈0，对恒成立，求实数a的取值范围。 19.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 4分。 某校为了解高三学生每天课外自主学习时间，随机抽取200名学生进行调查，所有学生的课外自主学习 时间均在区间0,5)内，统计结果如下表： 学习时间（小时） [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5] 人数 20 50 60 四 30 (1)用各组区间的中点值作为该组数据的代表，估计这200名学生每天课外自主学习时间的平均数： (2)采用分层抽样的方法，从学习时间在2,3)、[3,4)内的学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取 3人，记X为这3人中学习时间在[3,4)内的人数，求X的分布、数学期望和方差； (3)将学习时间在3,5)内的学生称为“深度学习者”。以样本频率估计总体概率，从该校高三学生中随机 抽取8人，记其中“深度学习者”的人数为Y,求使P(Y=)取得最大值的整数k。 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分。 将以坐标原点O为顶点、以x轴为对称轴，并经过点P(1,2)的抛物线记为C。点A,B是抛物线C上 两个不同于点P的不同点，直线PA,PB的斜率kPA,kPB均存在且不为O,并满足 1,1 -=2 kPA+kPB- (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：直线AB的斜率为1： (3)若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，求△OAB的面积。 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分。 设函数f(x)在实数集上可导，且f(x)>0。定义 Gr={ala∈R,V∈R,f(a-x)f(a+x)=f(a)2}, 称Gr中的元素为f(x)的几何中心。 (1)若{1,3}≤Gf,且f0)=9,f(1)=6,f3)=12,求(2026)： (2)若p<g,,9}cG,求使但为周期函数的正数 (3)若p<q,且p,q二Gr,求f(x)在实数集上的单调性。 2026学年华东师范大学第二附属中学 高三数学周测卷1 参考答案与解析 题号 1 2 34 56 答案 (1,3)-3+ig480.1 务 题号 6 91011 12 答案 [2,3] 32778 29 6 题号 13 14 1516 答案 C C AC 11.椭圆C:兰+产=1的左、右焦点分别为A,及，点P(1,0)在椭圆C内。过点P的直线与椭圆C 交于A,B两点，椭圆C在点A,B处的切线相交于点T,则T引+TF2l的最小值为 解析设T=(化，A=(国，），B=,n).椭圆在A处的切线为+y=1,在B处同理。 因两切线都过工，可知AB均在直线学+网=1上，该直线即AB。它经过P1,0,故u=4。焦点 为F1=(-V3,0)、F2=(3,0),于是 ITFl+T2l=V(4+3)2+2+V√(4-V3)2+2≥8. 当v=0时，弦AB为x=1,与椭圆有两个交点，其切线交于(4,0)，等号可达。因此最小值为8。 12.如图，在四面体A-BCD中，棱AB的长为V6,其余各棱长均为2。底面BCD位于平面a内， 点E为棱AC的中点。将该四面体绕棱CD旋转，平面α保持不动。在旋转过程中，直线BE,DE与 平面a所成的角分别为01,2，则cos201+cos202的最大值为 解析以CD的中点为原点，CD所在直线为x轴，初始底面为xy平面。可取 C=(-1,0,0),D=(1,0,0),B=(0,V3,0): 由AC=AD=2得A=(0,,v)、u2+u2=3;再由AB2=6得u=0,不妨取v=V5。所以 E=(,0,号)，B它=(-，-V3,号)，D龙=(-，0，)， 且|BE=2,DE=V3。绕x轴旋转t后，向量的竖直分量按x=y sint+zcost变化，故 1 、21 s2a+s2h-(-st+oast'+7cos2t 195 m24≥9品8-0 12 3232c0s2t- 当cos2t=5/13、sin2t=12/13时等号成立。于是 max(cos26+cos22)=2-=29 16=16 6,已知椭圆6+女15双迪践2：女-。2=1.直线：y=:+m(Gme2)分别 与I1,I2交于A,B两点和C,D两点，且Ad=D店。满足上述条件的直线1的条数为()。 A.4 B.5 C.7 D.11 解析由Ad=D得A+B=C+D,即两弦中点重合。代人y=kc+m,两曲线的交点横坐标分别 满足 (1+4k2)x2+8km+4m2-16=0, (9-4k2)x2-8k(m-2)x-4(m-2)2-36=0. 因此中点条件为 -4km4k(m-2) 1+4k2= 9-4k21 这里k∈Z保证9-42卡0。 当k=0时，中点条件自动满足。椭圆上有两个交点要求m<2,故m=-1,0,1,均与双曲线有两个 交点，得到3条。 当k≠0时，中点条件化为5m=1+42。椭圆有两个交点要求m2<4+16k2,代入得 16k4-392k2-99<0. 对整数k,这给出1≤k≤4；再由m为整数得k2≡1(mod5),故仅有 (k,m)=(1,1),（-1,1),(4,13),（-4,13). 双曲线交点方程的判别式为144(m-2)2+9一4k2),上述两类括号内分别为6、66，均为正，故均符合 题意。合计7条，选C。 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC=2,BD=2V3,PA⊥平面ABCD,点E 是棱PC的中点。 (1)求证：BD⊥平面PAC; (②)若直线BE与平面PAC所成角的正弦值为Y3, ,求四棱锥P-ABCD的体积。 解析(1)菱形的对角线互相垂直，故BD⊥AC。又PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA。由于PA 与AC相交且均在平面PAC内，得BD⊥平面PAC (2)设两条对角线交于O,取0=(0,0,0)、A=(-1,0,0)、C=(1,0,0)、B=(0,-V3,0)。设PA=h>0, 则P=(-1,0,h)、E=(0,0,h/2)。平面PAC为y=0,所以直线BE与该平面所成角的正弦为 v V8+2m=2 解得九=2。底面菱形面积为号AC,BD=2V3,故 1 VP-ABCD= ×23x2=4y图 3 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知f(x)=sin+2cos(x+p),其中p∈0，]。 (1)若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，求P的值： (2)当口=石时，若关于x的不等式fa+ 2x≥a对任意c∈0，列恒成立，求实数a的取值范围。 解析(1)展开得f(x)=(1-2sinp)sinx+2 cos cos。若为奇函数，必有f(0)=2cosp=0。结合 p∈[0，得p=π/2；此时f(a)=-sinx,确为奇函数。因此p=π/2。 (2)当p=π/6时，f(x)=V3cosx。令 da)-vioos+ x∈0，. 原命题等价于a≤ming(ac)。由g(c)=V3(1/2-sinc)可知，g在[0，π/6上递增，在[π/6,5π/6上递 减，在[5π/6，上递增。因此只需比较g(0)与g(5π/6)： g(0)=V3, 96/同)=-是+5Y8<v5 所以 aE 3,5V3π 2+12 19.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 4分。 某校为了解高三学生每天课外自主学习时间，随机抽取200名学生进行调查，所有学生的课外自主学习 时间均在区间[0,5)内，统计结果如下表： 学习时间（小时) [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5] 人数 20 50 60 40 30 (1)用各组区间的中点值作为该组数据的代表，估计这200名学生每天课外自主学习时间的平均数； (2)采用分层抽样的方法，从学习时间在[2,3)、[3,4)内的学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取 3人，记X为这3人中学习时间在[3,4)内的人数，求X的分布、数学期望和方差； (3)将学习时间在[3,5]内的学生称为“深度学习者”。以样本频率估计总体概率，从该校高三学生中随机 抽取8人，记其中“深度学习者”的人数为Y,求使P(Y=)取得最大值的整数k。 解析(1)用组中值加权估计平均数： 元=0.5×20+1.5×50+2.5×60+3.5×40+4.5×30 =2.55小时 200 (2)两层人数之比为60：40=3：2，故分层抽取的10人中，学习时间在[2,3)、[3,4)内的人数分别为6、 4。因此X服从超几何分布： P(X=k)= 因(3) k=0,1,2,3. X012 3 P吉是品品 4 E(X)=3× 6 Dx)=3×0×8×18-号 610-314 (3)以样本频率估计，“深度学习者”的概率为p=(40+30)/200=7/20。按题意采用二项模型，Y~ B(8,7/20)。记Pk=P(Y=k),则 +1=8-k7 Pk ,k+113 (0≤k≤7). 该比值大于1当且仅当k<43/20,所以pk从k=0到3递增，之后递减，最大值在k=3处取得。 20.（本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分。 将以坐标原点O为顶点、以x轴为对称轴，并经过点P(1,2)的抛物线记为C。点A,B是抛物线C上 两个不同于点P的不同点，直线PA,PB的斜率kPA,kPB均存在且不为O,并满足 1 1 kPA+kpB- 2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：直线AB的斜率为1； (3)若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，求△OAB的面积。 解析(1)设C:y2=2px（p卡0)。代人P(1,2)得4=2p,所以C:y2=4x。 (2)设A=(y1/4,1)、B=(/4,2)。由题设，1,2≠2，且相关分母非零，故 1=班/4-1=班+2,1=2+2 kPA 1-2 4PB= 4 于是1+2=4。因A卡B,有1≠2，从而 -2=-21+抛=1-2≠0， 4 所以kAB=1。 (3)设AB:y=x+b。联立抛物线得到y-4划+4b=0,有两个不同实根要求b<1。弦中点为 M=(2-b,2),且 m-2l=4v1-6,r=4B1=2V21-0. 2 准线为x=-1。圆心到准线距离为3-b>0,由相切得 (3-b)2=8(1-b)→(6+1)2=0→b=-1. 此时h,2=2士2V2,对应点符合题设。由：=-b得 SAOAB=212-2nl=2b(h-2川=2V② 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分。 设函数f(x)在实数集上可导，且f(x)>0。定义 Gr={a|a∈R,x∈R,f(a-x)f(a+x)=f(a)2}, 称G中的元素为f()的几何中心。 (1)若{1,3}Gr,且f0)=9,f(1)=6,f(3)=12,求f(2026): (2)若刀<g,,9}cG,求使把为周期函数的正数 (3)若p<q,且m,q二Gr,求f(x)在实数集上的单调性。 解析先将定义改写为：若a∈Gr,则对任意实数t, f2a-)= f(a)2 f(t)' 若p,q∈Gr,连续应用关于p、q的上述关系，可得 f(t+2(q-p))=f(a)2 2f) (*) (1)由中心1得f(0)f(2)=f(1)2,所以f(2)=36/9=4。在(*)中取p=1,9=3,得ft+4)=4f(t)。 因为2026=2+4×506，故 f(2026)=4506f(2)=4507 (2)令T=2(q-p)>0,R=f(q)2/fp)2>0。取 f) 1/(9-p) 入三 f(p) 使入T=R。则H(x)=f(x)/Az满足 e+)-架=4 所以T=2(g一p)是它的一个正周期（不必是最小正周期）。 该正数入也是唯一的：若某正数4使f(x)/μ为周期函数，则它连续、处处为正，因而在实数集上有统 一的正下界和有限上界；而沿x+nT,其值为原值乘(R/μT)”。令整数n→士oo,可知只能R/uT=1, 故h=入。 (3)令g(x)=lnf(x),则g可导。对任意a∈[p,g和x∈R,有 g(a-x)+g(a+2x)=2g(a). 固定a∈(p,q),对x求导得-g(a-x)+g(a+)=0;对a求导得g(a-x)+g(a+x)=2g(a)。两 式联立即 g(a-x)=g'(a+x)=g'(a)(VxER). 因此g在整个实数集上恒为某常数c,即g(x)=cc+d,f(z)=ee,且 c=Inf(q)-In f(p) 9-P 故当f(q)>f(p)时，∫在R上严格递增；当f(q)<f(p)时严格递减；当f(q)=f()时为正常数函数。 条件本身不能唯一确定递增或递减，须按以上三种情形分类。