1.2集合间的基本关系（知识点+7题型+过关检测） 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“集合间的基本关系”核心知识点，系统梳理子集（含定义、Venn图、反身性与传递性）、真子集（与子集的区别）、空集（规定及与{0}的差异）、集合相等（定义及判定）等内容，搭建从集合概念到后续运算的学习支架，明确关系判断的列举观察、元素特征、数形结合三种方法。 该资料以结构化表格呈现知识要点，题型分层设计（基础判断、子集求解、集合相等、参数问题），通过Venn图与数轴法培养几何直观（数学眼光），借助推理判断与参数分析发展逻辑推理意识（数学思维）。课中助力教师系统授课，课后过关检测全面，便于学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2 集合间的基本关系 知识要点梳理 知识点一、子集 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与 读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 4.判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. (2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图，不等式的解集之间的关系适合用数轴法. 知识点二、真子集与空集 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0} 考点题型突破 一、题型一 集合关系的判断 1．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 3．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 4．已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 5．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 6．若，，则与的关系为________ 【答案】 【分析】通过配方分别求解两个二次函数的值域得到集合和，再判断二者的包含关系. 【详解】由， 因为，所以，因此, 由 ，因为，所以，因此, 因此是的真子集，即. 二、题型二 子集的求解 7．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 8．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 9．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合真子集的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 10．已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 三、题型三 集合相等 11．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 12．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 13．下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【答案】AD 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 14．设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 四、题型四 集合关系求参数 15．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 16．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 17．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 18．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 过关检测 一、单选题 1．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 3．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 4．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 5．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 6．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 7．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 8．已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合的具体范围，再根据集合的包含关系，分析中元素与集合的约束条件，得出的取值范围. 【详解】集合：由，得，即， 因，故中所有元素均需满足， 的最小元素为，因此需，即， 所以的取值范围是. 故选：B 二、多选题 9．关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 10．已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 【答案】BD 【分析】由列举法求得集合，由集合元素的个数得到集合的子集个数，即可判断各个选项. 【详解】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 11．设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 三、填空题 12．已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 13．满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 14．已知a，，若，则______. 【答案】 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 四、解答题 15．已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 16．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 17．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 18．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 19．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 知识要点梳理 知识点一、子集 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与 读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 4.判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. (2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图，不等式的解集之间的关系适合用数轴法. 知识点二、真子集与空集 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0} 考点题型突破 一、题型一 集合关系的判断 1．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 4．已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 5．若集合，则（    ） A． B． C． D． 6．若，，则与的关系为________ 二、题型二 子集的求解 7．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 8．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 9．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 10．已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 三、题型三 集合相等 11．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 14．设a，，若集合，则______． 四、题型四 集合关系求参数 15．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 17．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 18．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值集合； 过关检测 一、单选题 1．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 3．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 4．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 5．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 7．设集合，则（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 11．设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知非空集合，且⫋，则___________ 13．满足的集合A共有______个 14．已知a，，若，则______. 四、解答题 15．已知，若，求的值 16．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 17．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 18．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 19．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $