专题1.3 集合的基本运算【知识清单+10大题型+强化训练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册重难点题型精讲精练系列

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算，系统梳理并集、交集、全集与补集核心知识点，通过文字、符号、图形语言及性质构建基础，衔接即学即练，递进至运算、参数、交并补混合、容斥原理与新定义题型，形成完整学习支架。 资料特色在于三语言融合培养数学语言表达能力，题型分层设计发展数学思维，结合各地考题实例提升数学眼光。课中助力教师系统授课，课后供学生针对性练习，有效查漏补缺，强化知识应用。

专题1.3 集合的基本运算-重难点题型精讲 知识点01：并集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形 语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A 【注意】并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B．如图所示． 【即学即练】 1．（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】集合，， 则． 知识点02：交集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号 语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 集合交、并集运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A． (2)A∩B＝A⇔A⊆B． (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B． (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． 【即学即练】 1．（26-27高三上·云南·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，集合是点集，元素是点，集合是数集，元素是实数，故． 知识点03：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 自然 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 【注意】1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 【即学即练】 1．（2026·四川广安·模拟预测）若全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以， ，所以. 题型01 并集的运算 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用集合的并集运算求解. 【详解】集合，，则 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 【点睛】 题型02 利用并集求参数 5．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【分析】先求集合，再由，得，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 6．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】∵，∴. ①若，则，解得. ∵，， ∴，且，解得. 此时. ②若，则，解得，符合题意． 综上，实数满足即可. 7．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 8．（26-27高一上·全国·课后作业）设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 题型03 交集的运算 9．（26-27高二上·山东日照·开学考试）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此，又，因此. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若集合，，则______. 【答案】 【详解】由题意得， ， 画数轴如图： ∴. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，求. 【答案】，. 【详解】 ∵， 把集合A与B表示在数轴上，如图． ∴， . 12．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合交集定义求解即可. 【详解】由可得， ，不属于B； 属于B； ，不属于B. 因此同时属于A和B的元素为，即. 题型04 利用交集求参数 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，或，若，求a的取值范围． 【答案】或 【分析】根据已知条件得出，结合数轴分和两种情况讨论，进而求出的取值范围． 【详解】由可知，， ①若，则，解得； ②若，如图所示 则有或， 解得或． 综上所述，a的取值范围是或． 14．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 15．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 16．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 题型05 全集与补集的运算 17．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全集先求出，进而可得到. 【详解】因为全集，集合，所以， 所以. 18．（26-27高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，则集合________. 【答案】 【详解】因为集合， 所以， 又因为,则． 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）根据并集的概念求解； （2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解； 【详解】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 20．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算集合与的并集，再根据补集的定义求该并集在全集中的补集即可. 【详解】因为，，所以， 又全集，所以 题型06 利用全集与补集求参数 21．（26-27高一上·全国·课后作业）设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 【答案】A 【详解】由集合知，，即，而，全集， 所以，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0． 22．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【答案】/ 【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 23．（25-26高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 24．（25-26高二下·山东滨州·期末）在①，②且，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答该问题． 已知非空集合，________，若，求实数的取值集合． 【答案】选①，；选②，. 【分析】若选①首先求出集合，再根据及得到不等式组，解得即可； 若选②依题意可得，解得即可. 【详解】若选①，则， 因为非空集合且， 所以，解得，即实数的取值集合为； 若选②且， 又非空集合且， 所以，解得或，即实数的取值集合为. 题型07 交并补混合运算 25．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，，求，，，． 【答案】,,, ． 【详解】，，， ， ， ，， ， . 26．（26-27高一上·全国·课后作业）全集，，，，，则________，________ 【答案】 【详解】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 27．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知，则. 28．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，所以. 题型08 利用交并补求参数 29．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 【答案】BCD 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 30．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）即方程只有一个实数根，由判别式等于0可得答案； （2）由题可得，据此可得及集合B，后由题意可得答案. 【详解】（1）由题意，即只有一个实数解，    （2）由题意知，  得 的根为或， 又     得   31．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）设集合. (1)若，求； (2)是否存在实数，使得，若存在，求实数的取值范围，否则说明理由. 【答案】(1)或 (2)不存在，理由如下： 由，得， 由，解得不存在. 所以不存在实数，使得. 故a不存在. 【分析】（1）把代入，利用集合的并集、交集的定义求解即得. （2）假定实数存在，再结合集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】（1）当时，，而，因此， 所以或. （2）不存在，理由略. 32．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 题型09 容斥原理与Venn图的应用 33．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）某班共有50人参加三个社团，其中参加篮球社的有22人，羽毛球社的有21人，乒乓球社的有20人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（    ）人 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】由题意作出Venn图，结合Venn图能表达出只同时参加了两个社团的人数，进而得解． 【详解】设只同时参加篮球社和羽毛球社的人数为，只同时参加篮球社和乒乓球社的人数为，只同时参加乒乓球社和羽毛球社的人数为，而同时参加了三个社团的人数为，如下图所示，    所以只同时参加两个社团的人数为， 由题意有， 则， 因为，所以， 所以只同时参加了两个社团的人数不可能为人． 故选：D． 34．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 【答案】 【分析】设三项比赛都参加的有人，分别求得只参加100米、200米、400米的同学的人数，列出方程，即可求解. 【详解】设参加100米的同学构成集合 、200米的同学构成集合、400米的同学构成集合 设三项比赛都参加的有人，如图所示， 则只参加100米的同学为人 只参加200米的同学为人； 只参加400米的同学为人， 所以，解得， 所以三项比赛都参加的有人. 故答案为：.    35．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________．    【答案】或 【分析】利用并集和补集的概念求即可. 【详解】由题意得，，则或， 故阴影部分表示的集合为或. 故答案为：或 36．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图研究集合之间的运算即可. 【详解】根据图中所示，阴影部分表示的是从集合中去掉， 然后与集合的公共部分，即. 故选：C. 题型10 集合新定义 37．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，集合，且中恰有2个元素，定义，写出的全部子集. 【答案】 ，. 【分析】求出集合及，再根据所给定义求出求出的子集个数. 【详解】由集合且中恰有2个元素，得，， 又，则，， 又，则， 所以的全部子集为：， . 38．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记集合的所有子集构成的集合为，即，如果的子集同时满足：①，；②对任意的，都有且，则称为的运算封闭系统.例如，为的一个运算封闭系统. (1)写出集合的所有运算封闭系统； (2)是否存在集合的运算封闭系统，满足中含有7个元素？说明理由； (3)确定集合的运算封闭系统的个数. 【答案】(1)为，，，. (2) 不存在.理由如下： 设为集合的一个运算封闭系统，且中有7个元素.因为共有8个子集，所以中只缺少的一个1元素子集或2元素子集. 如果缺少的是1元素子集，不妨设为，则，， 由题意，即，矛盾； 如果缺少的是2元素子集，不妨设为，则，， 由题意，即，矛盾. (3)29 【分析】（1）由新定义逐个列举即可； （2）从缺少一个1元素子集或2元素子集.讨论即可； （3）法一：通过中元素个数逐个列举即可，法二：通过中包含单个元素的集合的个数逐个列举即可. 【详解】（1），，，. （2）略 （3）方法一：设为集合的一个运算封闭系统. 如果中只有两个元素，有一种情况：； 如果中有三个元素，有6种情况； ，，，，， 如果中有4个元素，有9种情况； ，，， ，，， ，，， 如果中有5个元素，有6种情况； ，，， ，，， 如果中有6个元素，有6种情况； ，， ，， ， 如果中有7个元素，由（2）知，有0种情况； 如果中有8个元素，有1种情况. 综上所述，集合的运算封闭系统的个数为. 方法二：考虑中包含单个元素的集合的个数. 如果中不包含单个元素的集合，则4种情况； ，，，， 如果中包含一个单个元素的集合，有15种情况； ，，，，，， ，，， ，，， ，，， 如果中包含二个单个元素的集合，有9种情况； ，，，，， ，， ， 如果中包含三个单个元素的集合，则1种情况. 综上所述，集合的运算封闭系统的个数为. 39．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）（多选）当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合，，若集合与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】BD 【分析】讨论、求出对应集合，根据各项给定的值及已知判断集合的关系，即可得. 【详解】当时，， 当时，， 对于A：若，，此时，不满足； 对于B：若，，此时，满足； 对于C：若，，此时，不满足； 对于D：若，，此时，满足. 故选：BD 40．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有真子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为______，的“大和数”为______． 【答案】 30 30690 【分析】根据给定条件，求出集合中所有元素之和得“小和数”；求出集合含有其中每个元素的真子集个数，进而求出“大和数”. 【详解】依题意，集合的“小和数”为； 例如集合中含有元素的真子集可视为集合的真子集与集合的并集， 而集合的真子集个数为， 因此集合的所有真子集中，元素出现次，同理集合的所有真子集中，集合的每个元素都出现次， 所以的“大和数”为. 故答案为：30；30690 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， 所以， 所以. 2．（25-26高一下·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． 3．（25-26高二下·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知全集为且，可得， 又，则. 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 5．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求出集合，即可得解. 【详解】因为全集，， 所以，， 又因为，故. 因此，集合中的元素个数为. 故选：B. 6．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 7．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）某班共38名学生参加了足球､篮球和羽毛球兴趣小组，参加了足球小组的学生人数为20，参加了篮球小组的学生人数为22，参加了羽毛球小组的学生人数为21，其中3个兴趣小组都参加了的学生人数为5，则恰好参加了2个兴趣小组的学生人数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】设参加各对应的2个兴趣小组的学生人数，再应用容斥原理求恰好参加了2个兴趣小组的学生人数. 【详解】设参加足球、羽毛球有人，参加足球、篮球有人，参加篮球、羽毛球有人，如下图，    所以，则， 所以人. 故选：A 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 9．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 10．（25-26高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知是两个非空的集合，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的运算法则和性质依次判断即可. 【详解】若，则，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则，所以，故C正确； 若， 可知包含于，故，故D正确， 故选：ACD. 11．（25-26高一上·湖北武汉·期中）（多选）已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据韦恩图可得，由反例判断AC，根据反证法判断B，根据集合彼此包含判断D. 【详解】由韦恩图可得. 对于A，取，， 则，故，故A错误； 对于C，，故， 而，， ，故C错误； 对于B，若，设，则， 故，而，故，矛盾，故， 故B正确； 对于D，，则有，故， 故，故，故； ，则有，故， 故，故，故， 故，故D正确. 故选：BD. 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则　______，______． 【答案】 R 【分析】利用集合的交集、并集定义，借助于数轴即可求解. 【详解】因或， 则， 13．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将集合分为空集和非空集两种情况进行分类讨论，分别列出满足子集条件的不等式求出参数的范围，最后将结果取并集即可. 【详解】若集合为空集， 则有，解得， 若集合不是空集， 则有，解得， 因为，所以有，解得， 结合，可得， 综上可得，即的取值范围是. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 15．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）设，集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、均表示点集，集合、的交集即直线和抛物线的交点，因此联立求交点即可. （2），即直线和抛物线无交点，联立直线方程和抛物线方程得到一元二次方程，即方程无实根，，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）集合是直线上的点集，当时，集合是抛物线上的点集， 即直线与抛物线的交点构成的集合. 联立，解得或，即交点为、. 所以. （2）联立，整理得. 若，即直线与抛物线无交点，即. ，解得. 故实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知或 (1)若，⫋，求的取值范围； (2)若或，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的包含关系，分类讨论建立不等式即可解出结果； （2）根据集合交集得包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1），或，且是的真子集， 当时，则，即时，符合题意； 当时，则或，解得， 综上，的取值范围是； （2）由，可得， 因为或，若或， 当，即时，，满足； 当，即时，或，不满足； 当，即时， 要使，需使，解得． 综上，的取值范围为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算-重难点题型精讲 知识点01：并集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形 语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A 【注意】并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B．如图所示． 【即学即练】 1．（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点02：交集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号 语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 集合交、并集运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A． (2)A∩B＝A⇔A⊆B． (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B． (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． 【即学即练】 1．（26-27高三上·云南·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 知识点03：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 自然 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 【注意】1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 【即学即练】 1．（2026·四川广安·模拟预测）若全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 题型01 并集的运算 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型02 利用并集求参数 5．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 6．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 7．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（26-27高一上·全国·课后作业）设 ，若 ，求 的值． 题型03 交集的运算 9．（26-27高二上·山东日照·开学考试）集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若集合，，则______. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，求. 12．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型04 利用交集求参数 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，或，若，求a的取值范围． 14．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 15．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 题型05 全集与补集的运算 17．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 18．（26-27高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，则集合________. 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 20．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 题型06 利用全集与补集求参数 21．（26-27高一上·全国·课后作业）设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 22．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 23．（25-26高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·山东滨州·期末）在①，②且，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答该问题． 已知非空集合，________，若，求实数的取值集合． 题型07 交并补混合运算 25．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，，求，，，． 26．（26-27高一上·全国·课后作业）全集，，，，，则________，________ 27．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 28．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型08 利用交并补求参数 29．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 30．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 31．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）设集合. (1)若，求； (2)是否存在实数，使得，若存在，求实数的取值范围，否则说明理由. 32．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 题型09 容斥原理与Venn图的应用 33．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）某班共有50人参加三个社团，其中参加篮球社的有22人，羽毛球社的有21人，乒乓球社的有20人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（    ）人 A．1 B．3 C．5 D．7 34．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 35．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________．    36．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 题型10 集合新定义 37．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，集合，且中恰有2个元素，定义，写出的全部子集. 38．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记集合的所有子集构成的集合为，即，如果的子集同时满足：①，；②对任意的，都有且，则称为的运算封闭系统.例如，为的一个运算封闭系统. (1)写出集合的所有运算封闭系统； (2)是否存在集合的运算封闭系统，满足中含有7个元素？说明理由； (3)确定集合的运算封闭系统的个数. 39．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）（多选）当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合，，若集合与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（   ） A． B．0 C． D．1 40．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有真子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为______，的“大和数”为______． 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 7．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）某班共38名学生参加了足球､篮球和羽毛球兴趣小组，参加了足球小组的学生人数为20，参加了篮球小组的学生人数为22，参加了羽毛球小组的学生人数为21，其中3个兴趣小组都参加了的学生人数为5，则恰好参加了2个兴趣小组的学生人数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 10．（25-26高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知是两个非空的集合，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高一上·湖北武汉·期中）（多选）已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则　______，______． 13．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 14．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 15．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）设，集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知或 (1)若，⫋，求的取值范围； (2)若或，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $