吉林榆树市八号镇中学等校2026-2027学年度第一学期学情自测九年级数学试题

**基本信息** 2026-2027学年九年级数学开学考试，以分式、函数、几何为核心，融入石墨烯、新能源汽车等真实情境及“等邻边四边形”创新定义，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|分式意义、科学记数法、函数图像|石墨烯键长考查科学记数法，体现数学眼光| |填空题|6/18|分式化简、函数平移、反比例函数k值|点在y轴负半轴求参数，考查抽象能力| |解答题|7/78|函数应用、几何证明、新定义探究|新能源汽车充电与里程问题考查模型意识，“邻等对补四边形”探究发展推理能力|

2026-2027学年度第一学期开学考试九年级数学 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A．x≠﹣3 B．x≠2 C．x≠﹣3或x≠2 D．x≠﹣3且x≠2 2．（3分）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）点A（a2﹣9，a﹣1）在y轴的负半轴上，则a＝（　　） A．1 B．±3 C．﹣3 D．3 4．（3分）已知直线y1＝﹣x，，的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．0 B．4 C． D． 5．（3分）一次函数y＝x﹣6的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（3分）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d＝0.0000000142cm．将0.0000000142用科学记数法表示为（　　） A．1.42×10﹣4 B．1.42×10﹣7 C．1.42×10﹣8 D．1.42×10﹣9 7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数（k为常数，且k≠0）和y＝kx﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　） A．八（1）班 B．八（2）班 C．八（3）班 D．八（4）班 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9．（3分）分式和的最简公分母是　 　 ． 10．（3分）若分式的值为0，则x的值为　 　 ． 11．（3分）若直线y＝x向上平移m个单位长度后经过点（3，5），则m的值为 　 　 ． 12．（3分）在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在第二象限，且∠AOB＝90°，∠ABO＝30°．反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为　 　 ． 13．（3分）如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB＝4，则k的值为　 　 ． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点D（5，4），点B，点C分别在x轴上，且点B在点C左侧，连接AB，CD．若BC＝2，则AB+CD的最小值为　 　 ． 三、解答题（共78分） 15．（6分）计算： （1）（﹣1）2026|﹣3|； （2）3﹣1（3）0． 16．（6分）先化简，再求值，其中a＝﹣1． 17．（6分）已知函数y＝（m﹣2）x+m+2． （1）若该函数为正比例函数，求m的值； （2）若函数图象不经过第三象限，求m的取值范围． 18．（6分）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF． （1）求证：AE＝CE； （2）求证：四边形ABDF是平行四边形； （3）若AB＝3，AF＝6，∠F＝30°，求四边形ABCF的面积． 20．（12分）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在网格格点上，请你在5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD要求顶点D在网格格点上． （2）如图2，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，F是DE上一点，AD＝DE，∠AFE＝∠B，请说明四边形ABEF是“等邻边四边形”． 21．（6分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，点H在AC的延长线上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点，连接DE、DG、GF．求证：四边形DEFG为平行四边形． 22．（6分）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣1，4），在第四象限交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 24．（12分）综合与探究 在《第二十一章四边形》学习过程中，我们积累了四边形的研究经验，请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是　 　 （填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）【特例探究】如图1，在邻等对补四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D．求证：BC＝CD． （3）如图2，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD，若BC＞CD，求证：四边形ABCD为邻等对补四边形． （4）【拓展应用】如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，分别在边BC、AC上取点M、N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，直接写出∠AMN的度数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C C B C D B 9． 6a2b2． 10． ﹣2． 11． 2． 12． ﹣3． 13． ﹣8． 14． ． 15． 解：（1）原式＝1+4﹣3﹣2 ＝0； （2）原式21 ． 16． 解：原式 • ＝a（a﹣2） ＝a2﹣2a， 当a＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝1+2＝3． 17． 解：（1）由题意得：m﹣2≠0，m+2＝0， 解得：m＝﹣2； （2）由题意得：m﹣2≤0，m+2≥0， 解得：﹣2≤m≤2； 18． 解：设“乐融融”吉祥物的单价是x元，则“喜洋洋”吉祥物的单价是（x+30）元， 根据题意得：2， 解得：x＝58， 经检验，x＝58是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝58+30＝88（元）． 答：“喜洋洋”吉祥物的单价是88元，“乐融融”吉祥物的单价是58元． 19． （1）证明：∵点E是BD的中点， ∴BE＝DE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBE（两直线平行，内错角相等）， 在△ADE和△CBE中， ， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE； （2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∵DF＝CD， ∴DF＝AB， 即DF＝AB，DF∥AB， ∴四边形ABDF是平行四边形； （3）解：过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q， ∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝3，AF＝6，∠F＝30°， ∴DF＝AB＝3，CD＝AB＝3，BD＝AF＝6，BD∥AF， ∴∠BDC＝∠F＝30°（两直线平行，同位角相等）， ∴，， ∴四边形ABCF的面积， 即四边形ABCF的面积为13.5． 20．（1）解：如图，四边形ABCD即为所求； （2）证明：连接AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠AED， ∴∠AEB＝∠AED， ∵∠AFE＝∠B，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE（AAS）， ∴BE＝EF， ∴四边形ABEF是“等邻边四边形”； 21． 证明：∵点D、E分别为边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且． ∵点G、F分别为BH、CH的中点， ∴GF是△BCH的中位线， ∴GF∥BC，且， ∴DE∥GF，且DE＝GF， ∴四边形DEFG是平行四边形． 22． 解：（1）设y关于t的函数表达式为y＝k1t（k1为常数，且k1≠0）， 将t＝10，y＝20代入y＝k1t， 得10k1＝20， 解得k1＝2， ∴y关于t的函数表达式为y＝2t． 设e关于s的函数表达式为e＝k2s+b（k2、b为常数，且k2≠0）， 将s＝160，e＝60和s＝200，e＝50分别代入e＝k2s+b， 得， 解得， ∴e关于s的函数表达式为es+100． （2）当s＝300时，e300+100＝25， ∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25， 充电t分钟后，增加的电量为y＝2t， ∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为（25+2t）， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为（560﹣300）+100＝35， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为100﹣35＝65， ∴25+2t﹣10＝65， ∴t＝25． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 23． 解：（1）∵的图象过点A（﹣1，4）， ∴k2＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点B（2，m）， ∴， ∴B（2，﹣2）， ∵直线y1＝k1x+b的图象经过点A（﹣1，4），B（2，﹣2）， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为y1＝﹣2x+2； （2）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D， ∵BC⊥x轴，B（2，﹣2）， ∴BC＝2，C（2，0）， ∵A（﹣1，4）， ∴AD＝2﹣（﹣1）＝3， ∴； （3）∵A（﹣1，4），B（2，﹣2）， 由函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2是直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞2． 24． 解：（1）①平行四边形邻边不一定不相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义； ②矩形邻边不一定不相等，对角互补，不满足邻等对补四边形的定义； ③菱形邻边相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义； ④正方形邻边相等，对角互补，满足邻等对补四边形的定义， 综上所述，一定属于邻等对补四边形的是④， 故答案为：④； （2）证明：在邻等对补四边形ABCD中，∠B＝∠D， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴BC＝CD； （3）证明：在四边形ABCD中，BC＞CD， 如图2，在BC上截取CE＝CD，连接AE， ∵AC平分∠BCD， ∴∠ACE＝∠ACD， ∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝AE，∠D＝∠AEC， ∵∠B+∠D＝180°，∠AEC+∠AEB＝180°， ∴∠B＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD为邻等对补四边形； （4）解：∠AMN的度数为85°或65°或45°．理由如下： 在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝90°﹣∠C＝50°， 当四边形ABMN是邻等对补四边形时，分类讨论如下： ①当AB＝BM，MN⊥AC时，如图3.1， ∴∠BAM＝45°，∠ANM＝90°， ∴∠MAN＝∠BAC﹣∠BAM＝5°， ∴∠AMN＝90°﹣∠MAN＝85°； ②当AB＝AN，MN⊥BC时，如图3.2， ∴∠ABM＝∠ANM＝90°， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌RtANM（HL）， ∴，BM＝MN， ∴∠AMN＝90°﹣∠NAM＝65°； ③当BM＝MN时，同②∠AMN＝65°； ④当AN＝MN时，MN⊥AC，如图3.3， ∠AMN＝45°； 综上所述，∠AMN的度数为85°或65°或45°． 第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $