章末检测（一）集合与常用逻辑用语-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

**基本信息** 本单元卷为高中数学“集合与常用逻辑用语”章末检测，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查集合运算、逻辑命题、充分必要条件等核心知识，适配单元复习，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合交并补、命题否定（如第2题全称命题否定）|基础概念辨析，强调符号语言转换| |多项选择|3/18|存在与全称命题、充分条件（如第10题方程实根条件）|选项分层，考查逻辑推理严谨性| |填空|3/15|集合运算实际应用（如第12题竞赛人数）、创新定义（第14题集合分拆）|结合生活情境，渗透数学建模| |解答|5/77|集合综合运算（第15题）、新定义证明（第19题A⊕1与B关系）|分层设问，突出抽象思维与综合应用|

章末检测（一）　集合与常用逻辑用语 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若A＝{1，2，6}，B＝{2，3，4，5，6}，则集合A∩B中元素的个数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 解析：B　因为A＝{1，2，6}，B＝{2，3，4，5，6}，所以A∩B＝{2，6}，所以集合A∩B中元素的个数为2.故选B. 2.命题“∀x∈R，x2－2x＋12≤0”的否定为（　　） A.∀x∉R，x2－2x＋12≤0　　 B.∀x∈R，x2－2x＋12＞0 C.∃x0∈R，－2x0＋12＞0　　 D.∃x0∉R，－2x0＋12＞0 解析：C　原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到是否定结论而不是否定条件，所以原命题的否定是∃x0∈R，－2x0＋12＞0.故选C. 3.已知全集U＝R，集合A＝{x｜1＜x≤3}，B＝{x｜x＞2}，则A∩（∁UB）等于（　　） A.{x｜1＜x≤2}　 B.{x｜2＜x≤3} C.{x｜1≤x≤2}　 D.{x｜1≤x≤3} 解析：A　由B＝{x｜x＞2}，得∁UB＝{x｜x≤2}，因为A＝{x｜1＜x≤3}，所以A∩（∁UB）＝{x｜1＜x≤2}.故选A. 4.“x2＋｜y｜＝0”是“xy＝0”的（　　） A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件 解析：A　x2＋｜y｜＝0⇔x＝y＝0，xy＝0⇔x＝0或y＝0，所以“x2＋｜y｜＝0”是“xy＝0”的充分不必要条件.故选A. 5.已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{x｜x＜2}，且A∪（∁RB）＝R，则a满足（　　） A.{a｜a≥2}　 B.{a｜a＞2} C.{a｜a＜2}　 D.{a｜a≤2} 解析：A　∁RB＝{x｜x≥2}，则由A∪（∁RB）＝R，得a≥2，故选A. 6.定义集合运算：A*B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}.设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为（　　） A.0　 B.2 C.3　 D.6 解析：D　依题意，A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D. 7.已知集合U为全集，集合M∩N≠∅，M∪N≠U，则（　　） A.M∪（∁UN）⊆M　 B.M∩（∁UN）＝M C.∁U（M∪N）⊇（∁UN）　 D.∁U（M∩N）⊇（∁UM） 解析：D　对于A，因为M∩N≠∅，则M，N均不为空集.因为M∪N≠U，所以，当N⊆M时，则M∪（∁UN）＝U.又因为M为U的真子集，A错；对于B，若M⊆N，则M∩（∁UN）＝∅，B错； 对于C，因为∁U（M∪N）＝（∁UM）∩（∁UN），所以∁U（M∪N）⊆（∁UN），C错；对于D，因为∁U（M∩N）＝（∁UM）∪（∁UN），所以∁U（M∩N）⊇（∁UM），D对.故选D. 8.命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A.a≥4　 B.a≥3 C.a≤4　 D.a≤3 解析：B　因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个必要不充分条件是a≥3，故选B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.在下列命题中，真命题的是（　　） A.∃x∈R，x2＋x＋3＝0　　 B.∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数 C.∃x，y∈Z，使3x－2y＝10　　 D.∀x∈R，x2＞｜x｜ 解析：BC　A中，x2＋x＋3＝0有Δ＝1－12＝－11＜0，所以方程无实数解，假命题. B中，对于∀x∈Q，x2，x，1都是有理数，故它们的和也为有理数，真命题. C中，当x＝4，y＝1时有3x－2y＝10，真命题. D中，当x＝时，有x2＜｜x｜，假命题.故选B、C. 10.一元二次方程ax2＋4x＋3＝0（a≠0）有实根的充分不必要条件可以是（　　） A.a＜0　 B.0＜a＜ C.a≤　 D.a≤且a≠0 解析：AB　若方程ax2＋4x＋3＝0（a≠0）有实根， 则解得a≤且a≠0， 则一元二次方程ax2＋4x＋3＝0（a≠0）有实根的充要条件是a≤且a≠0.因此它有实根的充分不必要条件应为（－∞，0）∪的真子集，结合选项知A、B正确，C、D错误，故选A、B. 11.对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x｜x∈（A∪B），x∉（A∩B）}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是（　　） A.若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B.若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B C.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D.存在A，B⊆R，使得A⊕B≠（∁RA）⊕（∁RB） 解析：AB　对于A，因为A⊕B＝B，所以B＝{x｜x∈（A∪B），x∉（A∩B）}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，即A正确；对于B，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x｜x∈（A∪B），x∉（A∩B）}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，即B正确；对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x｜x∈（A∪B），x∉（A∩B）}⊆A，所以B⊆A，即C错误；对于D，由于（∁RA）⊕（∁RB）＝{x｜x∈（∁RA）∪（∁RB），x∉（∁RA）∩（∁RB）}＝{x｜x∈∁R（A∩B），x∉∁R（A∪B）}＝{x｜x∈（A∪B），x∉（A∩B）}，而A⊕B＝{x｜x∈（A∪B），x∉（A∩B）}，故A⊕B＝（∁RA）⊕（∁RB），即D错误.故选A、B. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.某班同学参加数学、物理竞赛，有15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，其中两个竞赛都参加的有5名.这两个竞赛中，这个班共有　21　名学生参赛. 解析：因为15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，两个竞赛都参加的有5名，所以只参加了数学竞赛的有10名同学，只参加了物理竞赛的有6名同学，则参加这两个竞赛的同学共有10＋6＋5＝21名. 13.已知p：x＜2m－1或x＞－m，q：x＜2或x≥4，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是　　. 解析：设A＝{x｜x＜2m－1或x＞－m}，B＝{x｜x＜2或x≥4}，若p是q的必要条件，则B⊆A： （1）当2m－1＞－m时，即m＞时，A＝R，B⊆A成立； （2）当2m－1≤－m时，即m≤，若B⊆A，此时无解.综上：m＞. 14.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a，b}有　9　种不同的分拆. 解析：集合A＝{a，b}的子集有∅，{a}，{b}，{a，b}，对A1分四种情况分析： （1）当A1＝∅时，则A2＝{a，b}，有1种分拆； （2）当A1＝{a}时，则A2可为{b}，{a，b}，有2种分拆； （3）当A1＝{b}时，则A2可为{a}，{a，b}，有2种分拆； （4）当A1＝{a，b}时，则A2可为∅，{a}，{b}，{a，b}，有4种分拆.故共有9种. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知集合A＝{x｜－4＜x＜2}，B＝{x｜x＜－5或x＞1}，C＝{x｜m－1≤x≤m＋1}. （1）求A∩B，A∩（∁RB）； （2）若B∩C＝∅，实数m的取值范围. 解：（1）∵A＝{x｜－4＜x＜2}，B＝{x｜x＜－5或x＞1}， ∴A∩B＝{x｜1＜x＜2}. 又∁RB＝{x｜－5≤x≤1}，∴A∩（∁RB）＝{x｜－4＜x≤1}. （2）B∩C＝∅，且C≠∅，则需解得故实数m的取值范围为－4≤m≤0. 16.（本小题满分15分）求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明：充分性： ∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2， 由x1x2＝1＞0，∴x1，x2同号， 又x1＋x2＝－m≤－2， ∴x1，x2同为负根. 必要性： ∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1， ∴m－2＝－（x1＋x2）－2＝－－2 ＝－＝－≥0， ∴m≥2.命题得证. 17.（本小题满分15分）已知集合A＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜x＜－3或x≥1}. （1）求∁RA，（∁RB）∩A； （2）若集合C＝{x｜2m＜x＜m＋1}，且“∃x∈C，x∈A”为假命题，求实数m的取值范围. 解：（1）对于集合A＝{x｜－2≤x≤3}，根据补集定义，∁RA＝{x｜x＜－2或x＞3}. 对于集合B＝{x｜x＜－3或x≥1}，∁RB＝{x｜－3≤x＜1}. 那么（∁RB）∩A＝{x｜－2≤x＜1}. （2）因为“∃x∈C，x∈A”为假命题，则其否定“∀x∈C，x∉A”为真命题，这意味着C中的元素都不在A中，即A∩C＝∅. 当C＝∅时，满足A∩C＝∅，此时2m≥m＋1，解得m≥1. 当C≠∅，即m＜1时，要使A∩C＝∅，则m＋1≤－2或2m≥3. 由m＋1≤－2，解得m≤－3. 由2m≥3，解得m≥，但m＜1，所以2m≥3这种情况无解. 综上所得，实数m的取值范围是m≥1或m≤－3. 18.（本小题满分17分）设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，非空集合B＝{x｜2m＜x＜1}. （1）若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求实数m的取值范围； （2）若B∩（∁RA）的元素中只有一个整数，求实数m的取值范围. 解：（1）由“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，得B⊆A， ∵B≠∅， ∴2m＜1，解得m＜，∵A＝{x｜－1≤x≤2}， ∴2m≥－1，解得－≤m＜， 综上所述，实数m的取值范围为. （2）∵A＝{x｜－1≤x≤2}，∴∁RA＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2m＜x＜1}， 若B∩（∁RA）中只有一个整数，则元素必然是－2， ∴－3≤2m＜－2，则－≤m＜－1， 综上所述，实数m的取值范围为. 19.（本小题满分17分）对于非空的有限整数集X，定义X2＝{x2｜x∈X}，X⊕n＝{x＋n｜x∈X}，n∈Z. （1）若集合A＝{－3，－2，0，2}，求A2和A⊕2. （2）已知A，B为非空的有限整数集，A⊕1⊆B且B2⊕（－1）⊆A. ①若A＝{－1，0}，求集合B； ②证明：A⊆{－2，－1，0}. 解：（1）由题意可得A2＝{9，4，0}，A⊕2＝{－1，0，2，4}. （2）①设x∈B2，则x－1∈（B2⊕（－1））， 因为B2⊕（－1）⊆A，所以x－1∈A，所以（x－1）＋1∈（A⊕1）， 即x∈（A⊕1），因此B2⊆（A⊕1）. 因为A＝{－1，0}，所以A⊕1＝{0，1}，所以B2⊆{0，1}⊆B， 由此可知B中至少有0和1两个元素，所以B2＝{0，1}， 故B＝{0，1}或{－1，0，1}. ②证明：设x∈A，因为A⊕1⊆B，所以x＋1∈B. 又因为B2⊕（－1）⊆A，所以（x＋1）2－1∈A，即x2＋2x∈A， 若0∈A，则02＋2×0＝0∈A，故A可以是{0}； 若－1∈A，则（－1）2＋2×（－1）＝－1∈A，故A可以是{－1}，{－1，0}； 若－2∈A，则（－2）2＋2×（－2）＝0∈A，故A可以是{－2，0}，{－2，－1，0}； 若1∈A，则12＋2×1＝3∈A，32＋2×3＝15∈A，…， 像这样可以得到无限个A中的元素，不符合A是有限集； 若－3∈A，则（－3）2＋2×（－3）＝3∈A，32＋2×3＝15∈A，…， 同样不符合A是有限集； 同理可得，当x＞1或x＜－3（x∈Z）时，不符合A是有限集. 综上，A可以是{0}，{－1}，{－1，0}，{－2，0}，{－2，－1，0}， 均满足A⊆{－2，－1，0}. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $