第一章 集合与常用逻辑用语（单元分层自测·培优冲刺卷）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 高一数学第一章集合与常用逻辑用语培优冲刺卷，整合多地期末真题，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，通过基础巩固与创新探究（如迷宫条件判断、集合性质P），培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合关系、命题否定、充要条件|结合Venn图（第6题）、迷宫情境（第8题），考查直观想象| |多选题|3题|集合运算、命题真假、充要条件|多角度辨析（第10题命题否定与充要条件），培养批判性思维| |填空题|3题|集合含参问题、命题真假|简洁考查集合子集（第13题）、命题一真一假（第12题）| |解答题|5题|集合综合运算、充要条件应用、创新定义|分层设计：基础运算（15题）到创新探究（19题集合性质P），体现数学建模与逻辑推理|

2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·培优冲刺卷（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C B C C A A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BD ACD ACD 3、 填空题（共3小题，共15分） 12． 13． 14． 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故.（4分） （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是.（8分） （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或.（13分） 16．（15分） （1）当时，集合， 又因为全集，所以，（5分） 因为集合，所以（7分） （2）因为“”是“”的充分条件，所以. 又因为集合，，所以.（10分） 即的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【详解】【详解】（1）当时，，所以或，（3分） 所以或；（7分） （2）由有，（10分） 所以实数的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题知当时，， ，（4分） 所以；（8分） （2）若，即，由（1）知，， 当时，可得，符合题意， 当时，可得，符合题意， 当时，可得，符合题意，（12分） 所以的取值范围为.（17分） 19．（17分） （1）因为，， 由定义可知：， ．（3分） (2)①若集合具有性质， 任取中不同元素，，令，， 有 ． 由的定义可知，对任意正整数n，都有， 所以有，．（6分） ②若对中任意两个不同的元素，， 都有，， 那么 ． 综上，结论成立．（10分） （3）设具有性质的集合的元素个数最大值为， 下证：，，其中n为偶数． 当时，则， 由于，，， 则，，中至多有一个属于，（12分） 当时，元素个数取到最大值为2．即． 一方面，若集合，分别具有性质，， 令集合，其中， 对中任意两个不同的元素，， 都有， 由于，因此． 另一方面，设具有性质的集合元素个数取到最大值为， 设和为的两个不同元素， 则有 ．（15分） 因此，， 由于，因此． 综上，，n为偶数． 所以．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一下·河南新乡·期末）命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为. 2．（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】集合，， 则． 3．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 6．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【详解】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：C 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【分析】根据所有子集的并集不等于集合可知集合中至少比所有非空子集的并集多一个元素，仅多一个元素时可以求得最大，再进行反证法验证即可. 【详解】由可知所有非空子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素1，则所有非空子集均不含元素1，即是集合非空子集， 集合的非空子集个数为，且这些子集的并集必不含1，满足条件. 假设，要满足所有非空子集的并集不等于集合，必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是1，那么个非空子集都不含元素1， 即每个子集都是集合的非空子集， 而集合只有个不同的非空子集， 所以无法从中取出至少16个不同的非空子集， 因此假设不成立，必须小于16，所以的最大值为15， 故选：A. 8．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 10．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）下列说法中，正确的有（   ） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 【答案】ACD 【分析】对A，根据特称命题的否定是全称命题判断；对B，举反例说明；对C，由二次函数的对称性判断；对D，举例说明. 【详解】对于A，命题的否定为，故A正确； 对于B，当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，故B错误； 对于C，对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，故C正确； 对于D，当时，得，所以命题“若，则”是假命题，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 【答案】 【详解】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 四、解答题 15．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 16．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先通过全集与补集的定义，将给定条件转化为具体不等式的解集，再根据交集运算规则求出两个集合的共同部分； （2）利用充分条件的集合解释，将条件转化为子集关系，再根据数轴分析端点值的大小关系确定参数范围. 【详解】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以 （2）因为“”是“”的充分条件，所以. 又因为集合，，所以. 即的取值范围为. 17．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求，再根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，解出即可求解. 【详解】（1）当时，，所以或， 所以或； （2）由有， 所以实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得集合，进而根据集合并集运算即可求解； （2）由题意得，分情况讨论即可得答案. 【详解】（1）由题知当时，， ， 所以； （2）若，即，由（1）知，， 当时，可得，符合题意， 当时，可得，符合题意， 当时，可得，符合题意， 所以的取值范围为. 19．（24-25高二上·北京东城·期末）设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质． (1)当时，若，，求，的值； (2)已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”； (3)给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)， (2)①若集合具有性质， 任取中不同元素，，令，， 有 ． 由的定义可知，对任意正整数n，都有， 所以有，． ②若对中任意两个不同的元素，， 都有，， 那么 ． 综上，结论成立． (3) 【分析】(1)利用的运算规则进行运算即可； (2)利用已知条件中的的运算规则从充分性与必要性两个方面进行证明； (3)设具有性质的集合的元素个数最大值为，先求当时元素个数的最大值，再从两方面去求解得到及，从而得到，进而求得. 【详解】（1）因为，， 由定义可知：， ． （2）略 （3）设具有性质的集合的元素个数最大值为， 下证：，，其中n为偶数． 当时，则， 由于，，， 则，，中至多有一个属于， 当时，元素个数取到最大值为2．即． 一方面，若集合，分别具有性质，， 令集合，其中， 对中任意两个不同的元素，， 都有， 由于，因此． 另一方面，设具有性质的集合元素个数取到最大值为， 设和为的两个不同元素， 则有 ． 因此，， 由于，因此． 综上，，n为偶数． 所以． 【点睛】关键点睛：本题的关键是对题目中的运算以及性质进行理解设，， 所以，，， 所以，， 所以，或者， 所以或者 （2）略 【点睛】运用题目所给的条件将问题中的元素代入计算可直接验证是否为的子集，同样，通过设变量可以由的子集找元素. 学科网（北京）股份有限公司12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一下·河南新乡·期末）命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 6．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 8．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 10．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）下列说法中，正确的有（   ） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 13．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为__________. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 四、解答题 15．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 17．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 19．（24-25高二上·北京东城·期末）设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质． (1)当时，若，，求，的值； (2)已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”； (3)给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一下·河南新乡·期末）命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 6．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 8．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 10．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）下列说法中，正确的有（   ） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 13．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为__________. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 四、解答题 15．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 17．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 19．（24-25高二上·北京东城·期末）设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质． (1)当时，若，，求，的值； (2)已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”； (3)给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $