1.1.1 第二课时 集合的表示及区间-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学集合的表示方法（列举法、描述法）及区间的概念与表示，从生活中不同语言表示同一意义引入，构建“问题情境—概念定义—注意事项—应用示例”的学习支架，衔接集合基本概念与后续数集表示。 该资料以生活实例激发学生用数学眼光观察现实世界，通过“想一想”“通性通法”引导学生用数学思维推理，如例1明确列举法步骤、例3结合数轴理解区间。规范的符号表达与题型分类助教师授课，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第二课时　集合的表示及区间 　　语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”…… 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　列举法 把集合中的元素　一一列举　出来（相邻元素之间用　逗号　分隔），并写在　大括号　内，以此来表示集合的方法称为列举法. 　　提醒：使用列举法表示集合的四个注意点：①元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；②元素不重复，满足元素的互异性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 知识点二　描述法 这种表示集合的方法，称为　特征性质描述法　，简称为描述法. 【想一想】 集合A＝{x｜x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？ 提示：A＝{x｜x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合. 知识点三　区间的概念及表示 1.区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x｜a＜x＜b} 开区间 （a，b） {x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b） {x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 （a，b] 2.无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤a} {x｜x＜a} 符号 （－∞，＋∞） [a，＋∞） （a，＋∞） （－∞，a] （－∞，a） 【想一想】 1.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示. 2.“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号. 1.集合{x∈Z｜｜x｜＜3}中的元素个数为（　　） A.2　 B.3 C.5　 D.7 解析：C　{x∈Z｜｜x｜＜3}＝{－2，－1，0，1，2}，该集合中的元素有5个.故选C. 2.下列说法中，正确的为（　　） A.{（x，y）｜x＞1且y＞1}＝{（x，y）｜x＞1或y＞1} B.{（x，y）｜x＋y＝0}＝{x｜x＋y＝0} C.{x｜x＞2}＝{y｜y＞2} D.集合{（2，2）}不满足元素的互异性 解析：C　对于A，例如（0，3）∉{（x，y）｜x＞1且y＞1}，但（0，3）∈{（x，y）｜x＞1或y＞1}，所以{（x，y）｜x＞1且y＞1}≠{（x，y）｜x＞1或y＞1}，故A错误；对于B，集合{（x，y）｜x＋y＝0}是点集，集合{x｜x＋y＝0}是数集，两个集合的元素不相同，所以{（x，y）｜x＋y＝0}≠{x｜x＋y＝0}，故B错误；对于C，因为集合{x｜x＞2}，{y｜y＞2}元素相同，所以{x｜x＞2}＝{y｜y＞2}，故C正确；对于D，集合{（2，2）}只有一个元素（2，2），符合集合元素的互异性，故D错误.故选C. 3.若[0，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是　　. 解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a－1＞0，解得a＞，所以a的取值范围是. 题型一｜用列举法表示集合 【例1】　（链接教科书第9页练习A组3题）用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合； 解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数组成的集合是{0，2，4，6，8，10}. （2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合； 解：方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的实数解组成的集合为{0，1，－1}. （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. 解：将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1）， 故交点组成的集合是{（0，1）}. 通性通法 用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用大括号括起来. 提醒：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计顺序，且元素与元素间用“，”隔开. 【跟踪训练】 　若A＝{－1，3}，则集合{（x，y）｜x∈A，y∈A}可用列举法表示为（　　） A.{－1，3} B.{（－1，3）} C.{（－1，3），（3，－1）} D.{（－1，3），（3，3），（－1，－1），（3，－1）} 解析：D　因为A＝{－1，3}，则{（x，y）｜x∈A，y∈A}＝{（－1，3），（3，3），（－1，－1），（3，－1）}.故选D. 题型二｜用描述法表示集合 【例2】　（链接教科书第9页练习A组4题）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合； （2）平面直角坐标系内第一象限的点的集合； （3）大于4的所有偶数. 解：（1）根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x｜x＝3n＋1，n∈N}. （2）第一象限的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{（x，y）｜x＞0，y＞0}. （3）偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x｜x＝2n，n∈Z且n≥3}. 通性通法 1.描述法表示集合的2个步骤 2.选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 【跟踪训练】 1.集合A＝{x∈N｜xy＝16，y∈N}的元素个数为（　　） A.3　 B.4 C.5　 D.6 解析：C　因为x∈N，y∈N，xy＝16，所以x，y是16的因数，所以x的取值有：1，2，4，8，16，共5个元素.故选C. 2.已知集合M＝{1，5，9，13，17}，则M＝（　　） A.{x｜x＝2n＋1，n∈N，n≤8} B.{x｜x＝2n－1，n∈N，n≤9} C.{x｜x＝4n＋1，n∈N，n≤4} D.{x｜x＝4n－3，n∈N，n≤5} 解析：C　因为集合M＝{1，5，9，13，17}，根据集合中5个元素的特点知x＝1＋4n，n∈N，n≤4.所以M＝{x｜x＝4n＋1，n∈N，n≤4}.故选C. 题型三｜区间及其表示 【例3】　（链接教科书第9页练习A组5题）将下列集合用区间及数轴表示出来： （1）{x｜x＜2}；（2）{x｜x≥3}；（3）{x｜－1≤x＜5}. 解：（1）{x｜x＜2}用区间表示为（－∞，2），用数轴表示如下： （2）{x｜x≥3}用区间表示为[3，＋∞），用数轴表示如下： （3）{x｜－1≤x＜5}用区间表示为[－1，5），用数轴表示如下： 通性通法 用区间表示数集的原则和方法 （1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错； （2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字（或字母）之间用“，”隔开. 【跟踪训练】 1.不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（　　） A.[2，＋∞]　 B.[2，＋∞） C.（－∞，2）　 D.（－∞，2] 解析：B　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间为[2，＋∞）. 2.已知△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，则第三边AC的长的取值范围用区间表示为　（1，5）　. 解析：因为△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，所以BC－AB＜AC＜AB＋BC，即1＜AC＜5. 题型四｜集合与方程的综合问题 【例4】　（1）〔多选〕已知集合A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，则下列说法中错误的是（　ACD　） A.若A中只有一个元素，则a＝1 B.若A中至少有一个元素，则a≤1 C.若A中至多有一个元素，则a≥1 D.若A中恰有两个元素，则a＜1 （2）设∈，则集合{x｜x2－x－a＝0}中所有元素之积为　　. 解析：（1）对于A，若A中只有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0有一个实根，或两个相等实根，当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－符合题意，当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4a＝0，即a＝1，所以当A中只有一个元素时，则a＝0或a＝1，故A错误；对于B，若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素，当A中有一个元素时，由前面可知，a＝0或a＝1；当A中有两个元素时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，所以即a＜1且a≠0，所以若A中至少有一个元素，则a≤1，故B正确；对于C，若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素，当A中有一个元素时，由前面可知，a＝0或a＝1；当A中没有元素时，即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，所以即a＞1，所以若A中至多有一个元素，则a＝0或a≥1，故C错误；对于D，若A中恰有两个元素，由前面可知，a＜1且a≠0，故D错误.故选A、C、D. （2）因为∈，所以－a－＝0，解得a＝－， 当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝＞0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9， 所以{xx2－x＋＝0}＝{，9}， 故集合的所有元素的积为×9＝. 通性通法 集合与方程综合问题的解题策略 （1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个实数根；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根. （2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数（含参数）的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用. 【跟踪训练】 　已知集合A＝{x｜mx2－3x＋2＝0}. （1）若A是单元素集，求m的值及集合A； （2）求集合P＝{m｜m使得A至少含有一个元素}. 解：（1）当m＝0时，方程－3x＋2＝0，有一个根x＝，符合题意，故A＝； 当m≠0，A只有一个元素，则二次方程mx2－3x＋2＝0只有一个根， 所以Δ＝0，得m＝，得A＝. （2）A至少含有一个元素，则m＝0或有集合P＝. 幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验.每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策： （1）本市户籍适龄儿童入学.凡年满6周岁（2019年8月31日以前出生）的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证（监护人持有）的适龄儿童均须参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学. （2）非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学. 该市东城区2025年的入学顺位可以参考2024年公布的入学顺位说明： 第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”； 第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”； 第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”； 第七顺序：“本片户口＋‘（外）曾祖父’房屋产权”. 【问题探究】 1.若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，某儿童a具有该市户口（非本区），a是集合A的元素吗？ 提示：a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母. 2.某儿童b的父母在东城区有房屋产权，则b是集合A中的元素吗？ 提示：b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口. 【迁移应用】 　给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合.判断集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x｜x＝3k，k∈Z}是不是闭集合，并给出证明. 解：因为4∈A，4＋4＝8∉A，所以A不是闭集合. 任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z， 则a＋b＝3m＋3n＝3（m＋n），且m＋n∈Z， 所以a＋b∈B， 同理，a－b∈B，故B为闭集合. 1.下列四组中表示同一集合的为（　　） A.M＝{（－1，3）}，N＝{（3，－1）} B.M＝{－1，3}，N＝{3，－1} C.M＝{（x，y）｜y＝x2＋3x}，N＝{x｜y＝x2＋3x} D.M＝{0}，N＝0 解析：B　选项A，两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；选项B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；选项C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；选项D，M是以0为元素的集合，N是数字0，D错误.故选B. 2.集合A＝用列举法可以表示为（　　） A.{3，6}　　　　　　　 B.{1，2} C.{0，1，2}　 D.{－2，－1，0，1，2} 解析：B　因为∈N*，所以3－x＝1，2，3，6，可得x＝2，1，0，－3.因为x∈N*，所以x＝1，2，集合A＝{1，2}.故选B. 3.〔多选〕一次函数y＝2x－3与y＝x－2的图象的交点组成的集合是（　　） A.{1，－1} B.{（1，－1）} C. D. 解析：BC　解方程组解得 故一次函数y＝2x－3与y＝x－2的图象的交点组成的集合是或{（1，－1）}.故选B、C. 4.用描述法表示下图中的阴影部分可以是　{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}　. 解析：可以用{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}来表示图中阴影部分. 1.已知集合M＝{（x，y）｜x，y∈N*，x＋y＜3}，则M中元素的个数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.0 解析：A　集合M＝{（x，y）｜x，y∈N*，x＋y＜3}＝{（1，1）}，所以M中只有1个元素.故选A. 2.集合{x∈N*｜x－3＜2}的另一种表示法是（　　） A.{0，1，2，3，4}　　 B.{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4，5}　　 D.{1，2，3，4，5} 解析：B　集合{x∈N*｜x－3＜2}＝{x∈N*｜x＜5}＝{1，2，3，4}.故选B. 3.方程x2－1＝0的解集可表示为（　　） A.{x2－1＝0} B.{x｜x＝1，或x＝－1} C.{－1，1} D.{x＝1，x＝－1} 解析：C　因为x2－1＝0，所以x＝±1，故方程x2－1＝0的解集可表示为{－1，1}，故选C. 4.〔多选〕下列说法错误的是（　　） A.在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为{（x，y）｜xy＞0} B.方程＋｜y＋2｜＝0的解集为{－2，2} C.{x｜x＜－8，且x＞－5}中的元素个数为0 D.若A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A 解析：BD　对于A，第一象限内的点（x，y）满足x＞0，y＞0，第三象限内的点（x，y）满足x＜0，y＜0，故A正确；对于B，方程的解为故解集为{（2，－2）}，故B错误；对于C，由x的范围可得{x｜x＜－8，且x＞－5}中的元素个数为0，故C正确；对于D，A＝{－1，0，1}，－1.1∉A，故D错误.故选B、D. 5.若二次根式有意义，则x的取值范围用区间表示为　　. 解析：由题意知，要使有意义，则x－2≥0，得x≥2.所以x的取值范围为. 6.若－5∈{x｜x2－ax－5＝0}，则集合{x｜x2－3x＋a＝0}中所有元素之和为　3　. 解析：－5∈{x｜x2－ax－5＝0}，则有（－5）2－a（－5）－5＝0，解得a＝－4，方程x2－3x＋a＝0即x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1，所以{x｜x2－3x－4＝0}＝{4，－1}，所有元素之和为3. 7.已知集合A＝{x｜ax2＋bx＋1＝0，a∈R，b∈R}. （1）当a＝2时，A中只有一个元素，求b的值； （2）当b＝2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围. 解：（1）当a＝2时，A＝{x｜2x2＋bx＋1＝0，b∈R}， 由A中只有一个元素，得Δ1＝b2－8＝0，解得b＝±2. （2）当b＝2时，A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}， 由A中至多有一个元素，得A中可能没有元素或只有1个元素. 当a＝0时，A＝{x｜2x＋1＝0}＝{－}，符合要求； 当a≠0时，对ax2＋2x＋1＝0有Δ2＝4－4a≤0，解得a≥1. 综上所述，a＝0或a≥1. 8.定义新集合运算AⓧB＝{x｜x＝x1·x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，3，4}，B＝{2，3}，则AⓧB所有元素之和为（　　） A.48　 B.54 C.40　 D.36 解析：C　由题意，AⓧB＝{2，3，6，9，8，12}，则所有元素和为2＋3＋6＋9＋8＋12＝40.故选C. 9.用列举法表示集合：{x∈Z｜∈Z}＝　{－1，0，2，3}　；{∈N｜x∈N}＝　{1，2，3，6}　. 解析：因为∈Z，x∈Z，所以x－1＝±1或x－1＝±2，解得x＝－1或0或2或3，即{x∈Z｜∈Z}＝{－1，0，2，3}.当x取2，3，4，7时，对应的值为6，3，2，1，所以{∈N｜x∈N}＝{1，2，3，6}. 10.已知关于x的方程mx＋4＝3x－n（m，n∈R）. （1）求方程的解集A； （2）若n＝4，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B. 解：（1）由题意，可得（3－m）x＝4＋n， ①当m≠3时，解集为A＝； ②当m＝3，n＝－4时，解集为A＝R； ③当m＝3，n≠－4时，解集为A＝∅. （2）由题意及（1）问结论知，m≠3，且x＝∈N*， 所以3－m＝1或2或4或8，所以B＝{2，1，－1，－5}. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $