第二章 等式与不等式 章末整合提升 体系构建 素养提升-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

该高中数学单元复习讲义以逻辑推理、数学运算、数学建模三大核心素养为统领构建知识体系，通过“培优专题”形式系统梳理不等式性质、恒成立问题、均值不等式应用等重点内容，清晰呈现各知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如结合《九章算术》“勾股容方”问题培养逻辑推理素养，通过销售定价、窗户设计等实例强化数学建模能力，分层例题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生自主复习效率。

一、逻辑推理 　　逻辑推理的核心素养在本章中主要体现在（1）利用等式与不等式的性质推得结论；（2）利用均值不等式推出有关结论. 培优一｜不等式的性质及应用 【例1】　（1）〔多选〕已知实数a，b，c满足＞＞0＞c，则（　ACD　） A.＜　 B.＜ C.a2c＜b2c　 D.a＋＞b＋ 解析：由已知＞＞0＞c，则a＞b＞0＞c，易知＜，A选项正确；可得＜，B选项错误；a＞b＞0＞c，所以a2＞b2＞0，则a2c＜b2c＜0，C选项正确；由a＞b＞0可知ab＞0，则a＋－（b＋）＝a－b＋＝（a－b）（1＋）＞0，即a＋＞b＋，D选项正确.故选A、C、D. （2）〔多选〕若1＜a＜2，3＜b＜5，则下列不等式中正确的是（　ACD　 ） A.4＜a＋b＜7　 B.2＜b－a＜3 C.3＜ab＜10　 D.＜＜5 解析：选项A，由1＜a＜2，3＜b＜5，可得4＜a＋b＜7，故选项A正确； 选项B，由1＜a＜2可得－2＜－a＜－1，而3＜b＜5，所以1＜b－a＜4，故选项B错误； 选项C，由1＜a＜2，3＜b＜5，可得3＜ab＜10，故选项C正确； 选项D，由1＜a＜2可得＜＜1，而3＜b＜5，所以＜＜5，故选项D正确. 故选A、C、D. 培优二｜恒成立问题 【例2】　（1）已知命题“∀x∈R，ax2＋4x－1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（　A　） A.（－∞，－4）　 B.（－∞，4） C.[－4，＋∞）　 D.[4，＋∞） 解析：由题意，命题“∀x∈R，ax2＋4x－1＜0”是真命题，当a＝0时，不等式4x－1＜0，解得x＜，不满足题意；当a≠0时，解得a＜－4.综上所述，实数a的取值范围是（－∞，－4）.故选A. （2）若等式ax2＋bx＝（x－1）（x＋2）＋2恒成立，则常数a与b的和为　2　； 解析：等式ax2＋bx＝（x－1）（x＋2）＋2恒成立， 即（a－1）x2＋（b－1）x＝0恒成立， 则有解得故a＋b＝1＋1＝2. （3）已知a＞0，b＞0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为　6　. 解析：由已知，可得6＝1， ∴2a＋b＝6（2a＋b） ＝6≥6×（5＋4）＝54， 当且仅当即a＝b＝18时等号成立， ∴9m≤54，即m≤6，故m的最大值为6. 培优三｜均值不等式的应用 【例3】　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明： （1）ab＋bc＋ac≤； 证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（当且仅当a＝b＝c时等号成立）. 由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1. 所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤. （2）＋＋≥1. 证明：因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 所以＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 所以＋＋≥1. 【例4】　〔多选〕《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（　　） A.由图（1）和图（2）面积相等得d＝ B.由AE≥AF可得≥ C.由AD≥AE可得≥ D.由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab 解析：BCD　对于A，由题图（1），（2）面积相等得S＝ab＝（a＋b）×d，所以d＝，故A错误；对于B，因为AF⊥BC，所以×a×b＝×AF，所以AF＝，设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得＝，解得t＝，所以AE＝t＝.因为AE≥AF，所以≥，整理可得≥，故B正确；对于C，因为D为斜边BC的中点，所以AD＝.因为AD≥AE，所以≥，整理得≥，故C正确；对于D，因为AD≥AF，所以≥，整理得a2＋b2≥2ab，故D正确.故选B、C、D. 二、数学运算 　　数学运算的核心素养在本章中主要体现在方程组和不等式的求解问题中. 培优四｜方程组的解法 【例5】　求下列方程组的解集： （1） 解：法一（代入法）　由②得x＝y＋1， ④ 将④代入①③得 解这个方程组得 将y＝9代入④得x＝10. 所以原方程组的解集为{（10，9，7）}. 法二（加减法）　③－①，得x－2y＝－8， ⑤ 由②⑤组成方程组，得 解这个方程组，得 将其代入①得z＝7. 所以原方程组的解集为{（10，9，7）}. （2） 解：由②得x＝2y＋2， ③ 把③代入①，整理得8y2＋8y＝0.即y（y＋1）＝0，解得y＝0或y＝－1.把y＝0代入③，得x＝2；把y＝－1代入③，得x＝0.所以原方程组的解集是{（2，0），（0，－1）}. 【例6】　已知关于x和y的方程组 （1）当b＝0时，求方程组的解集； 解：当b＝0时，方程组为消元得3x2＋x2＝12， 解方程组得或 所以方程组的解集为{（，－），（－，）}. （2）设和是方程组的两组不同的解，若y1－4x1＋y2－4x2＝2m，求实数m的取值范围. 解：由方程组消元得x2－2bx＋4b2－12＝0， 则可得－＜b＜， 显然y1－4x1＋y2－4x2＝－（x1＋x2）＋2b－4（x1＋x2）＝－b＝2m， 所以m＝－b⇒－＜m＜. 实数m的取值范围为（－，）. 培优五｜不等式（组）的解法 【例7】　解下列不等式： （1）x＋｜2x＋3｜≥2； 解：原不等式可化为或解得x≥－或x≤－5. 综上，原不等式的解集是. （2）｜x＋1｜＋｜x－1｜≥3. 解：当x≤－1时，原不等式可以化为－（x＋1）－（x－1）≥3，解得x≤－. 当－1＜x＜1时，原不等式可以化为x＋1－（x－1）≥3，即2≥3，不成立，无解. 当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3， 解得x≥. 综上，原不等式的解集为∪. 【例8】　已知集合A＝{x｜≤1}，集合B＝{x｜x2－2mx＋m2－1≤0，m∈R}. （1）求集合A； 解：因为≤1，≤0，所以 所以－2≤x＜，所以A＝{x｜－2≤x＜}. （2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数m的取值范围. 解：若x∈A是x∈B的必要条件，所以B⊆A， B＝{x｜x2－2mx＋m2－1≤0，m∈R}＝{x｜[x－（m－1）]·[x－（m＋1）]≤0，m∈R}＝[m－1，m＋1]， 所以解得－1≤m＜. 所以实数m的取值范围是［－1，）. 培优六｜利用均值不等式求最值 【例9】　（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝9，则＋的最小值为（　A　） A.8　 B.9 C.12　 D.16 解析：已知a＞0，b＞0，a＋b＝9，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝，a＋b＝9，即a＝6，b＝3时等号成立.故选A. （2）若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为　2　. 解析：法一　 ∵≥ ， ∴＋＋b＝＋＋＋≥4＝2，当且仅当＝＝＝时等号成立，即a＝b＝时＋＋b取得最小值. 法二　∵a＞0，b＞0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2 ＝2.当且仅当＝和＝b同时成立，即a＝b＝时等号成立. 三、数学建模 　　数学建模是应用数学实际问题的基本方法，在本章中体现在（1）均值不等式的实际应用；（2）一元二次不等式的实际应用. 培优七｜均值不等式的实际应用 【例10】　某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件. （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 解：（1）设每件定价为t元，依题意得（6－×0.1）t≥40×6， 整理得t2－100t＋2 400≤0， 解得40≤t≤60. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为60元.（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入（x2－100）万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 解：依题意知当x＞40时，ax≥40×6＋160＋x2－100＋x， 等价于x＞40时，a≥＋x＋， 由于＋x≥2＝10，当且仅当＝x，即x＝60时等号成立， 所以a≥10.5， 当该商品改革后销售量a至少达到10.5万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为60元. 培优八｜一元二次不等式的实际应用 【例11】　现要在阁楼屋顶上开一窗户. （1）已知阁楼屋顶为高2米，底边长5米的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示），设其一边长为x米. （ⅰ）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ⅱ）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ 解：（ⅰ）设矩形的另一边长为y，由三角形相似得＝且0＜x＜5，0＜y＜2， 所以2x＋5y＝10，又矩形窗户面积S＝xy＝x（2－x）＝－（x－）2＋≥2，解得≤x≤， 故x的取值范围为{x｜≤x≤}. （ⅱ）设地板面积为S1，解不等式组 所以S＋S1≤11S，即11S≥16.5，解得S≥，故窗户面积最小为平方米， 令x（2－x）＝，可得4x2－20x＋15＝0，解得x＝或x＝. 故当x为米或米时，窗户面积最小，为平方米. （2）一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 解：设a，b分别表示原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得0＜a＜b，m＞0，则－＝＝. 因为b－a＞0，b（b＋m）＞0，所以＞0，即＞， 所以窗户和地板同时增加相同的面积，采光条件变好了. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $