3.1.1 第一课时 函数的概念-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

第一课时　函数的概念

课标要求

　　微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分.大部分同学都有微信号，这样微信号与同学之间就有对应关系，即微信号（可能不止一个）对应唯一一位同学.在数学领域也有类似的对应问题，即实数x（可能不止一个）对应实数y（唯一一个）.

【问题】　你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　函数的相关概念

　　提醒：（1）给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值的集合；（2）函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.

【想一想】

1.有同学认为“y＝f（x）”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？

提示：这种看法不对.符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f（x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f（x）外，还常用g（x），F（x），G（x）等来表示函数.

2.f（x）与f（a）（a为x定义域内的一个定值）有何区别与联系？

提示：f（a）表示当x＝a时，函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一个常数.

知识点二　同一个函数

如果两个函数表达式表示的函数　定义域　相同，　对应关系　也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.

【想一想】

定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？

提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.

1.下图中不能表示函数关系的是（　　）

解析：C　由于C中的2与1和3同时对应，故C不是函数.

2.已知函数f（x）＝，那么f（－1）＝（　　）

A.－2　　　 B.－1　　C.－　　　 D.2

解析：A　f（－1）＝＝－2.故选A.

3.下列各组函数中是同一个函数的是（　　）

A.y＝与y＝

B.f（x）＝与g（x）＝x－2 025

C.f（x）＝x0与g（x）＝1

D.f（x）＝｜x｜与g（x）＝

解析：D　对于A，y＝的定义域为{x｜x≠1且x≠－1}，y＝的定义域为{x｜x≠－1}，所以定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，f（x）＝＝g（x）＝x－2 025，显然两函数不同，故B错误；对于C，f（x）＝x0中，x不能取0，而g（0）＝1，两函数定义域不同，不是同一个函数，故C错误；对于D，g（x）＝＝｜x｜＝f（x），所以两函数的对应关系一样，且定义域都是R，所以是同一个函数，故D正确.故选D.

题型一｜函数关系的判断

【例1】　（1）下列图形能表示函数y＝f（x）的图象的是（　B　）

解析：由函数的定义可知，只有B选项能表示函数y＝f（x）的图象.故选B.

（2）判断下列对应关系f是否为定义在集合A上的函数：

①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝；

②A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4；

③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示：

解：①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应关系f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在集合A上的函数.