3.1.1 第三课时 分段函数-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学分段函数核心知识点，系统讲解其定义（定义域内不同区间对应不同关系）、图象（多段曲线及端点虚实）、定义域值域求法（各段并集），前承函数基本概念，为后续函数应用构建学习支架。 资料以空调公交车票价问题引入，渗透数学抽象；分定义域值域、求值、图象应用题型，结合例题与跟踪训练，强化直观想象和数学运算。课中助教师系统教学，课后练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第三课时　分段函数 课标要求 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用（数学抽象、直观想象、数学运算）. 　　某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5千米以内（含5千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）. 　　已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途（包括起点站和终点站）有11个汽车站. 【问题】　（1）从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）有函数关系吗？ （2）函数的表达式是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　分段函数 1.分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有　不同的对应关系　，则称其为分段函数. 2.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象. 3.常数函数 值域　只有一个　元素的函数，通常称为常数函数. 　　提醒：分段函数应注意4点：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. 1.已知函数f（x）＝则f（f（3））＝（　　） A.8　 B.－ C.－　 D. 解析：B　因为函数f（x）＝所以f（3）＝＝，即f（f（3））＝f（）＝（）2－1＝－.故选B. 2.函数f（x）＝的值域是（　　） A.R　 B.[－1，1] C.{－1，1}　 D.{－1，0，1} 解析：D　∵函数f（x）＝∴函数值只有三个数：－1，0，1.∴函数f（x）的值域为{－1，0，1}，故选D. 3.下列图形是函数y＝x｜x｜的图象的是　④　（填序号）. 解析：y＝故只有④符合. 　　 题型一｜分段函数的定义域、值域 【例1】　（1）已知函数f（x）＝，则其定义域为（　D　） A.R　　　　　　　　 B.（0，＋∞） C.（－∞，0）　 D.（－∞，0）∪（0，＋∞） 解析：要使f（x）有意义，需x≠0， 故定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. （2）函数f（x）＝的值域是（　B　） A.R　 B.[0，2]∪{3} C.[0，＋∞）　 D.[0，3] 解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f（x）≤2；当1＜x＜2时，f（x）＝2；当x≥2时，f（x）＝3.综上可知，f（x）的值域为[0，2]∪{3}.故选B. 通性通法 1.分段函数定义域、值域的求法 （1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； （2）分段函数的值域是各段函数值域的并集. 2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝若f（x0）＝2，则实数x0＝　－1　；函数f（x）的值域为　（－∞，3]　. 解析：当x0≤0时，x0＋3＝2，解得x0＝－1；当x0＞0时，＝2，解得x0＝－（舍去），所以x0＝－1.当x≤0时，x＋3≤3；当x＞0时，0＜＜1，所以函数f（x）的值域为（－∞，3]. 题型二｜分段函数求值问题 【例2】　已知函数f（x）＝ （1）求f的值； 解：因为f＝－2＝－， 所以f＝f＝＝. （2）若f（a）＝，求a的值. 解：f（a）＝，若｜a｜≤1，则｜a－1｜－2＝， 得a＝或a＝－. 因为｜a｜≤1，所以a的值不存在； 若｜a｜＞1，则＝，得a＝±，符合｜a｜＞1. 所以若f（a）＝，a的值为±. 通性通法 分段函数问题的常见解法 （1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值； （2）已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验； （3）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝则f（2）＝（　　） A.－2　 B.－1 C.1　 D.4 解析：B　由题意，f（2）＝1－f（0）＝1－2＝－1.故选B. 2.设f（x）＝若f（x）＝3，则x＝（　　） A.1　 B.± C.　 D. 解析：D　若即无解； 若即所以x＝； 若即无解.综上x＝.故选D. 3.设函数f（x）＝则不等式f（x）＞f（1）的解集是（　　） A.（－∞，－4）∪（1，＋∞） B.（－∞，－2）∪（1，＋∞） C.（－∞，－4）∪（2，＋∞） D.（－∞，－2）∪（2，＋∞） 解析：A　由题意可得f（1）＝3＋6＝9.当x＜0时，x2＋2x＋1＞9，解得x＜－4或x＞2，所以x＜－4.当x≥0时，3x＋6＞9，解得x＞1，所以x＞1.综上所述，不等式f（x）＞f（1）的解集为（－∞，－4）∪（1，＋∞）.故选A. 题型三｜分段函数的图象及应用 【例3】　分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域. （1）y＝ 解：图象如图所示： 由图象知，定义域是（0，＋∞），值域是[1，＋∞）. （2）y＝｜x＋1｜＋｜x－2｜. 解：由题意得y＝｜x＋1｜＋｜x－2｜＝ 图象如图所示， 所以定义域为R，函数的值域为[3，＋∞）. 通性通法 分段函数图象的画法 （1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；也可以利用翻折变换作出图象； （2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. 【跟踪训练】 1.函数f（x）＝x＋的图象是（　　） 解析：C　依题意，知f（x）＝x＋＝所以函数f（x）的图象为选项C中的图象.故选C. 2.设x∈R，则函数y＝2｜x－1｜－3｜x｜的值域为　（－∞，2]　. 解析：当x≥1时，y＝2（x－1）－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2（x－1）－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2（x－1）＋3x＝x＋2.故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示. 由图象可以看出，函数的值域为（－∞，2]. 1.19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数D（x）＝，则D（D（D（π）））＝（　　） A.0　　　　　　　　 B.1 C.π　 D.π2 解析：B　因为π∉Q，所以D（π）＝0，则D（D（D（π）））＝D（D（0））＝D（1）＝1，故选B. 2.函数y＝的图象的大致形状是（　　） 解析：A　因为y＝＝所以函数的图象为A. 3.已知函数f（x）＝则f（－4）＝（　　） A.2　 B.3 C.4　 D.8 解析：A　∵f（x）＝∴f（－4）＝f（－2）＝f（0）＝0＋2＝2.故选A. 4.〔多选〕已知f（x）＝若f（a）＝10，则实数a的值可以是（　　） A.3　 B.－3 C.4　 D.－4 解析：BC　当a≤0时，由f（a）＝10得a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3（舍去）；当a＞0时，由f（a）＝10得＋8＝10，解得a＝4.故选B、C. 5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是　f（x）＝　. 解析：由题图可知，f（x）的图象是由两条线段组成的.当－1≤x＜0时，设f（x）＝ax＋b，将（－1，0），（0，1）代入解析式，得解得 当0≤x≤1时，设f（x）＝kx，将（1，－1）代入，得k＝－1. 所以f（x）的解析式为f（x）＝ 1.已知函数y＝f（x）表示为 x [－2，0） 0 （0，2] y 1 0 －2 设f（1）＝m，f（x）的值域为M，则（　　） A.m＝－2，M＝{－2，0，1} B.m＝－2，M＝{y｜－2≤y≤1} C.m＝1，M＝{－2，0，1} D.m＝1，M＝{y｜－2≤y≤1} 解析：A　根据题意得f（1）＝－2＝m，f（x）的值域为M＝{－2，0，1}.故选A. 2.已知函数f（x）＝则f（f（－1））＝（　　） A.－2　 B.0 C.2　 D.6 解析：D　由条件可得f（－1）＝2，所以f（f（－1））＝f（2）＝6.故选D. 3.函数f（x）＝x2－2｜x｜的图象是（　　） 解析：C　f（x）＝分段画出，应选C. 4.〔多选〕已知函数f（x）＝若f（x）＝20，则x的取值可以是（　　） A.3　 B.20 C.－3　 D.5 解析：CD　当x≤0时，f（x）＝2x2＋2＝20，解得x＝－3；当x＞0时，f（x）＝4x＝20，解得x＝5.故选C、D. 5.〔多选〕已知函数f（x）＝关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A.f（x）的最大值为3 B.f（0）＝2 C.若f（x）＝－1，则x＝2 D.f（x）＜2的解集为（－∞，0）∪（1，＋∞） 解析：BD　画出函数f（x）＝的图象如图， 可知f（x）≠3，A选项错误；f（0）＝0＋2＝2，B选项正确；当x＜1时，f（x）＝x＋2＝－1，解得x＝－3，当x＞1时，f（x）＝－x2＋3＝－1，解得x＝2，C选项错误；当x＜1时，f（x）＝x＋2＜2，解得x＜0，当x＞1时，f（x）＝－x2＋3＜2，解得x＞1，D选项正确；故选B、D. 6.已知f（x）＝则f（10）＝　7　. 解析：f（10）＝f（10－3）＝f（7）＝f（7－3）＝f（4）＝f（4－3）＝f（1）＝f（1－3）＝f（－2）＝3×（－2）2－5＝7. 7.已知f（x）＝g（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，则f（g（π））＝　－1　. 解析：因为π∈∁RQ，所以g（π）＝[π]－π＝3－π＜0，所以f（g（π））＝－1. 8.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为　25　. 解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意.故该公司拟录用25人. 9.已知函数f（x）＝ （1）求f（0），f（2），f（f（2））的值； （2）若f（m）＝－1，求m的值； （3）作出函数f（x）的大致图象，并求x＞1时，f（x）的值域. 解：（1）因为f（x）＝ 所以f（0）＝0，f（2）＝×22－3×2＝－4， f（f（2））＝f（－4）＝＝－. （2）当m＜0时，f（m）＝＝－1，所以m＝－2； 当0≤m＜2时，f（m）＝－m＝－1，所以m＝1； 当m≥2时，f（m）＝m2－3m＝－1，所以m＝3＋或3－（舍去）. 综上所述，m的值为－2或1或3＋. （3）函数f（x）的图象如图所示， 当x∈（1，2），f（x）＝－x∈（－2，－1）， 当x∈[2，＋∞），f（x）＝x2－3x＝（x－3）2－≥－. 综上所述，结合图象可得x＞1时，f（x）的值域为［－，＋∞）. 10.已知f（x）＝则不等式xf（x）＋x≤2的解集是（　　） A.{x｜x≤1}　 B.{x｜x≤2} C.{x｜0≤x≤1}　 D.{x｜x＜0} 解析：A　当x≥0时，f（x）＝1， xf（x）＋x≤2⇔x≤1， 所以0≤x≤1； 当x＜0时，f（x）＝0，xf（x）＋x≤2⇔x≤2， 所以x＜0.综上，x≤1. 11.已知函数f（x）＝若f（－4f（m））＝2，则m＝（　　） A.－1　 B.－4 C.1　 D.4 解析：B　当x＞0时，＞0，当x≤0时，－x2－4x－9＝－（x＋4）2－1＜0.因为f（－4f（m））＝2＞0，所以－4f（m）＞0，即f（m）＜0，所以m≤0，所以f（－4f（m））＝［－4×（－m2－4m－9）＝2，即－4×（－m2－4m－9）＝4，解得m＝－4. 12.对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f（x），y＝g（x），规定：函数h（x）＝ （1）若函数f（x）＝－2x＋3，x≥1；g（x）＝x－2，x∈R，写出函数h（x）的解析式； （2）求（1）中函数h（x）的最大值. 解：（1）h（x）＝ （2）当x≥1时，h（x）＝－2x2＋7x－6＝－2＋， ∴h（x）≤. 当x＜1时，h（x）＜－1，∴当x＝时，h（x）取最大值且最大值是. 13.f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜，则不等式f（x）≤的解集为　［，］　. 解析：因为f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜≤，若x＜1，则1－x＋2－x≤，解得≤x＜1；若1≤x＜2，则x－1＋2－x≤，解得1≤x＜2；若x≥2，则x－1＋x－2≤，解得2≤x≤.综上所述，不等式f（x）≤的解集为［，］. 14.如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片ABC的腰长为3，正方形纸片CDEF的边长为1，其中B、C、D三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a个单位，0＜a≤3.设两张纸片重叠部分的面积为S. （1）求S关于a的函数解析式； （2）若S＝，求a的值. 解：（1）如图，延长EF交AB于点G，易得Rt△AFG∽Rt△ACB，又AC＝3FC＝3， 则＝＝， 所以FG＝2. 当0＜a≤1时，S＝a； 当1＜a≤2时，S＝1； 当2＜a≤3时，S＝1－（a－2）2＝－＋2a－1. 综上，S＝ （2）由（1）知，在（0，1]上，S＝a＝； 在（2，3]上，S＝－＋2a－1＝，整理得4a2－16a＋15＝（2a－3）（2a－5）＝0， 解得a＝（舍）或a＝. 综上，a＝或a＝. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $