2.2.3 一元二次不等式的解法-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦一元二次不等式的解法这一核心知识点，系统梳理概念、因式分解法、配方法等基础内容，衔接一元二次方程根与不等式解集的关系，拓展含参数不等式、分式不等式等应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料以交通车距实际问题引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过题型分类与通性通法总结发展数学思维，结合实际问题转化提升数学语言表达能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

2.2.3　一元二次不等式的解法 课标要求 1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式（数学运算）. 2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系（数学抽象、数学运算）. 　　城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长（单位：m）的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l（单位：m），当车速为60（单位：km/h）时，车距为1.44个车身长. 【问题】　在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如　ax2＋bx＋c＞0　的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 　　提醒：判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0. 2.用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是　（x1，x2）　，不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是　（－∞，x1）∪（x2，＋∞）　. 3.用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为　（x－h）2＞k　或　（x－h）2＜k　的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 【想一想】 　mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式吗？ 提示：不一定.当m≠0时，mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式. 1.不等式x2－4x＜0的解集是（　　 ） A.（0，4）　 B.（－4，0） C.（－∞，4）　 D.（－∞，0）∪（4，＋∞） 解析：A　x2－4x＜0⇒x（x－4）＜0，解得0＜x＜4，所以解集为（0，4）.故选A. 2.不等式－6x2－5x＋6＞0的解集为（　　） A.{x｜x＜－或x＞}　 B.{x｜－＜x＜} C.{x｜x＜－或x＞}　 D.{x｜－＜x＜} 解析：B　由－6x2－5x＋6＞0，可得6x2＋5x－6＜0，即（x－）·（x＋）＜0，解得－＜x＜，所以不等式－6x2－5x＋6＞0的解集为{x｜－＜x＜}.故选B. 3.不等式≥0的解集为（　　） A.［－1，］ B.（－1，］ C.（－∞，－1]∪[2，＋∞） D.（－∞，－1）∪［，＋∞） 解析：D　由≥0，得解得x≥或x＜－1，因此，原不等式的解集为（－∞，－1）∪［，＋∞）.故选D. 题型一｜不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　（链接教科书第73页例1）解下列不等式： （1）2x2＋7x＋3＞0； 解：法一　因为2x2＋7x＋3＝2＝2（x＋3）， 所以2（x＋3）＞0，即x＞－或x＜－3， 所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪. 法二　因为2x2＋7x＋3＝2＋3 ＝－， 所以2－＞0，即＞， 所以x＋＞或x＋＜－， 即x＞－或x＜－3， 所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪. （2）－4x2＋18x－≥0； 解：因为－4x2＋18x－＝－4 ＝－4， 所以－4≥0，即≤0，x＝. 所以原不等式的解集为. （3）－2x2＋5x－2＜0； 解：因为－2x2＋5x－2＝－2＝－2＝－2＋， 所以－2＋＜0，即＞. 所以x－＞或x－＜－， 解得x＞2或x＜. 所以原不等式的解集为∪（2，＋∞）. （4）－x2＋3x－5＞0. 解：因为－x2＋3x－5＞0， 所以x2－6x＋10＜0. 又因为x2－6x＋10＝（x－3）2＋1＜0无解， 所以原不等式的解集为∅. 通性通法 解不含参数的一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法. 【跟踪训练】 不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　） A.{x｜x＜－1} B. C. D. 解析：D　因为－2x2＋x＋3＝－（2x2－x－3）＝－（x＋1）（2x－3）， 所以－（x＋1）（2x－3）＜0，即（x＋1）（2x－3）＞0， 所以x＞或x＜－1， 所以不等式的解集为. 题型二｜含参数的一元二次不等式的解法 【例2】　解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a≠0）. 解：①当a＜0时，原不等式化为（x－1）＞0，解得x＜或x＞1. ②当a＞0时，原不等式化为（x－1）＜0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1； 若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜，或x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为. 通性通法 含参一元二次不等式的解法 【跟踪训练】 1.若0＜a＜1，则不等式（x－a）＜0的解集是（　　） A.　　　　　 B.（－∞，a）∪ C.　 D.∪（a，＋∞） 解析：A　因为0＜a＜1，所以a＜，则不等式解集为.故选A. 2.若不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1＜0的解集为R，则实数a的取值范围是　－＜a≤1　. 解析：①当a2－1≠0，即a≠±1时，解得－＜a＜1. ②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立.若a＝－1，则原不等式为2x－1＜0，即x＜，不符合题目要求，舍去.综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集为R. 题型三｜两个“二次”间的关系 【例3】　（链接教科书第81页习题B组7题）（1）若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为（　D　） A.14　 B.－10 C.10　 D.－14 解析：由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0. 所以解得 所以a＋b＝－14. （2）已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集. 解：因为x2＋px＋q＜0的解集为{x｜－＜x＜}， 所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根， 由根与系数的关系得解得 所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3. 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}. 通性通法 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集； （2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a＜0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值. 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解. 【跟踪训练】 1.已知不等式x2－7x－a＜0的解集是{x｜2＜x＜b}（b＞2），则实数a等于（　　 ） A.－10　 B.－5 C.5　 D.10 解析：A　由题设，有可得故选A. 2.某同学求解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）时，因弄错常数b的符号，解得解集为{x｜－6＜x＜1}.若该同学解不等式的过程正确，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为（　　） A.{x｜－＜x＜} B.{x｜x＜－或x＞} C.{x｜－1＜x＜} D.{x｜x＜－1或x＞} 解析：C　由题意，a＜0，因为弄错常数b的符号，则方程ax2－bx＋c＝0有两根为－6和1，由根与系数的关系，可得－6＋1＝，－6×1＝，即b＝－5a，c＝－6a，代入cx2＋bx＋a＜0，可得－6ax2－5ax＋a＜0.因为a＜0，故得6x2＋5x－1＜0，解得－1＜x＜.故选C. 题型四｜分式不等式的解法 【例4】　（链接教科书第75页例3）解下列不等式： （1）≥0； 解：原不等式可化为解得 ∴原不等式的解集为. （2）＞1. 解：法一　原不等式可化为或解得或∴－3＜x＜－， ∴原不等式的解集为. 法二　原不等式可化为＞0，化简得＞0，即＜0， ∴（2x＋1）（x＋3）＜0，解得－3＜x＜－. ∴原不等式的解集为. 通性通法 分式不等式的解法 （1）形如＞a（a≠0）的分式不等式可同解变形为＞0，故可转化为解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0； （2）解≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）为关于x的表达式） 【跟踪训练】 1.不等式＜0的解集为　（，1）　. 解析：不等式＜0等价于（x－1）（2x－1）＜0，解得＜x＜1，所以不等式＜0的解集为（，1）. 2.不等式≤1的解集为　[－3，2）　. 解析：移项得－1≤0，通分化简得到分式不等式≤0.两边同时乘分母，结合分母不为零，得到不等式组解得－3≤x＜2.原不等式的解集为[－3，2）. 1.不等式（x－1）（x－3）≤0的解集是（　　） A.（－∞，0）　 B.[1，3] C.（0，2）　 D.（6，＋∞） 解析：B　当（x－1）（x－3）＝0时，x＝1或x＝3，所以不等式（x－1）（x－3）≤0的解集为[1，3].故选B. 2.设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（　　） A.（－∞，－n）∪（m，＋∞） B.（－n，m） C.（－∞，－m）∪（n，＋∞） D.（－m，n） 解析：B　不等式等价于（x－m）（x＋n）＜0.∵m＋n＞0，∴m＞－n.故原不等式的解集是（－n，m）.故选B. 3.不等式＞0的解集是（　　） A. B.（4，＋∞） C.（－∞，－3）∪（4，＋∞） D.（－∞，－3）∪ 解析：D　＞0⇔（2x－1）（x＋3）＞0⇔x＜－3或x＞.故选D. 4.〔多选〕已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（　　） A.a＜0 B.cx＋b＞0的解集是{x|x＜} C.a－b＋c＜0 D.cx2＋bx＋a≤0的解集为{x|－≤x≤1} 解析：AD　由题知，a＜0，且－＝－1，＝－2，即得b＝a，c＝－2a，故A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞0，所以x＞，故B错误；a－b＋c＝－2a＞0，故C错误；由cx2＋bx＋a≤0可得－2ax2＋ax＋a≤0，所以2x2－x－1≤0，解得－≤x≤1，故D正确.故选A、D. 5.已知集合M＝{x∈R｜x2－3x＋2≤0}，集合N＝{x∈R｜m＋1≤x≤3－2m}.若“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，则m的取值范围为　（－∞，0]　. 解析：由M＝{x∈R｜x2－3x＋2≤0}可得M＝{x∈R｜（x－1）（x－2）≤0}＝{x｜1≤x≤2}，故M＝[1，2].由于“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，则M⫋N，或解得m≤0. 1.下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋＞0；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x＋4＜1.其中解集为R的是（　　） A.①　 B.② C.③　 D.④ 解析：C　①显然不可能；②中Δ＝（－2）2－4×＞0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10＜0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3＜0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.故选C. 2.不等式（x－3）（5－x）＜0的解集为（　　） A.{x｜3＜x＜5} B.{x｜x＜3或x＞5} C.{x｜－5＜x＜－3} D.{x｜x＜－5或x＞－3} 解析：B　由（x－3）（5－x）＜0，即（x－3）（x－5）＞0，解得x＜3或x＞5，则不等式（x－3）（5－x）＜0的解集为{x｜x＜3或x＞5}.故选B. 3.设x∈R，则“｜x－2｜＞3”是“x2－5x－6＞0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为｜x－2｜＞3，所以x－2＜－3或x－2＞3，解得x＜－1或x＞5，所以不等式｜x－2｜＞3的解集为{x｜x＜－1或x＞5}.因为x2－5x－6＞0，所以（x－6）（x＋1）＞0，解得x＜－1或x＞6，所以不等式x2－5x－6＞0的解集为{x｜x＜－1或x＞6}.因为{x｜x＜－1或x＞6}是{x｜x＜－1或x＞5}的真子集，所以“｜x－2｜＞3”是“x2－5x－6＞0”的必要不充分条件.故选B. 4.对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y＝x（y＋2）.若不等式x☉（x＋a）＋4＞0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（　　） A.（－2，6）　 B.（－6，2） C.（－6，6）　 D.（－2，2） 解析：B　由已知得x☉（x＋a）＋4＝x（x＋a＋2）＋4＝x2＋（a＋2）x＋4＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝（a＋2）2－16＜0，解得－6＜a＜2.故选B. 5.〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的有（　　） A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－12} C.a＋b＋c＞0 D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－或x＞} 解析：ABD　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－3或x≥4}，所以a＞0，故A正确；由题意，方程ax2＋bx＋c＝0的根为－3，4，则－＝－3＋4＝1，＝－3×4＝－12，所以b＝－a，c＝－12a，所以a＋b＋c＝－12a＜0，故C错误；不等式bx＋c＞0等价于－ax－12a＞0，解得x＜－12，所以不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－12}，故B正确；不等式cx2－bx＋a＜0等价于－12ax2＋ax＋a＜0，即为12x2－x－1＞0，解得x＞或x＜－，所以不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－或x＞}，故D正确.故选A、B、D. 6.不等式≤1的解集是　（1，6]　. 解析：由不等式≤1得≤0，故⇒1＜x≤6. 7.已知关于x的不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是　0≤k≤1　. 解析：当k＝0时，8≥0恒成立，符合题意；当k≠0时，解得0＜k≤1.所以k的取值范围是0≤k≤1. 8.若a＜0，则关于x的不等式a（x＋1）·＜0的解集为　　. 解析：因为a＜0，所以解关于x的不等式a（x＋1）·＜0得x＜－1或x＞－， 所以原不等式的解集为. 9.已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0（a∈R）. （1）若不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞b}，求a，b的值； （2）求不等式ax2－3x＋2＞5－ax（a∈R）的解集. 解：（1）根据题意，a＞0，方程ax2－3x＋2＝0的两根为1和b， 所以解得 （2）不等式可转化为ax2＋（a－3）x－3＞0，即（ax－3）（x＋1）＞0. 当a＝0时，上式变为－3（x＋1）＞0，解得x＜－1. 当a≠0时，方程（ax－3）（x＋1）＝0的根为x＝或x＝－1， 当a＞0时，＞－1，所以原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞}； 当－3＜a＜0时，＜－1，所以原不等式的解集为{x｜＜x＜－1}； 当a＝－3时，＝－1，所以原不等式的解集为∅； 当a＜－3时，＞－1，所以原不等式的解集为{x｜－1＜x＜}. 综上所述，当a＞0时，不等式的解集为（－∞，－1）∪（，＋∞）； 当a＝0时，不等式的解集为（－∞，－1）； 当－3＜a＜0时，不等式的解集为（，－1）； 当a＝－3时，不等式的解集为∅； 当a＜－3时，不等式的解集为（－1，）. 10.关于x的方程mx2＋4mx＋3＝0有两个不等的实根x1，x2，且＋－3x1x2＞0，则实数m的取值范围是　（－∞，0）∪（，＋∞）　. 解析：因为关于x的方程mx2＋4mx＋3＝0有两个不等的实根x1，x2，所以解得m＜0或m＞，又x1＋x2＝－4，x1x2＝，所以＋－3x1x2＝（x1＋x2）2－5x1x2＝16－＝＞0，即m（16m－15）＞0，解得m＜0或m＞.综上，m＜0或m＞.所以实数m的取值范围是（－∞，0）∪（，＋∞）. 11.设命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立.若p为真命题，则实数m的取值范围是　1≤m≤3 　. 解析：对于p：因为对任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立，所以对任意x∈[0，1]，（2x－3）min≥m2－4m成立，又因为（2x－3）min＝－3，所以－3≥m2－4m，即1≤m≤3.若p为真命题，则1≤m≤3. 12.已知关于x的不等式（a－1）x2－2bx－2＜0的解集为{x｜－1＜x＜2}. （1）求实数a，b的值； （2）若m≤0，求关于x的不等式amx2＋（m－a）x－1≥0的解集； （3）若对任意的实数x∈[1，2]，amx2＋（m－a）x－1≥mx恒成立，求实数m的取值范围. 解：（1）由题意可得，（a－1）x2－2bx－2＝0的两根为－1和2， 所以解得a＝2，b＝. （2）由（1）知amx2＋（m－a）x－1≥0可化为 2mx2＋（m－2）x－1≥0， 即（2x＋1）（mx－1）≥0. 当m＝0时，不等式为2x＋1≤0，得x≤－. 当m≠0时，（2x＋1）（mx－1）＝0的两根为－和，当m＜0时， （ⅰ）－＝，即m＝－2时，（2x＋1）（mx－1）≥0的解集为{－}； （ⅱ）－＜，即m＜－2时，（2x＋1）（mx－1）≥0的解集为［－，］； （ⅲ）－＞，即0＞m＞－2时，（2x＋1）（mx－1）≥0的解集为［，－］. 综上，当m＝0时，解集为（－∞，－］； 当m＝－2时，解集为{－}； 当m＜－2时，解集为［－，］； 当0＞m＞－2时，解集为［，－］. （3）若对任意的实数1≤x≤2，amx2＋（m－a）x－1≥mx恒成立， 由（1）知amx2＋（m－a）x－1≥mx可化为2mx2－2x－1≥0， 即m≥＋，对任意1≤x≤2恒成立， 令t＝∈［，1］，可得m≥t2＋t， 易知y＝t2＋t，对称轴为t＝－1， 所以当t＝1时，ymax＝，所以m≥. 所以实数m的取值范围为［，＋∞）. 13.关于x的不等式x2－（a＋）x＋1＜0（其中实数a＞0）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A.＜a＜1或1＜a＜2 B.≤a＜1或1＜a≤2 C.≤a≤2 D.0＜a＜1或1＜a＜2 解析：B　因为x2－（a＋）x＋1＜0，即为（x－a）·（x－）＜0，令（x－a）（x－）＝0，解得x＝a或x＝，且a＞0，若a＞1＞＞0，不等式的解集为{x|＜x＜a}，由题意可得1＜a≤2；若a＝1，不等式的解集为∅，不合题意；若0＜a＜1＜，不等式的解集为{x|a＜x＜}，由题意可得1＜≤2，解得≤a＜1.综上所述，实数a的取值范围是≤a＜1或1＜a≤2.故选B. 14.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：（1）由题意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）. （2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即 解不等式组，得0＜x＜， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $