2.1.1 等式的性质与方程的解集-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦等式的性质与方程的解集核心知识点，先以狐狸错误变形等式的情境引入，系统梳理等式加减乘除性质及拓展，再讲解恒等式常用公式，最后落实到一元一次方程解法和一元二次方程因式分解法，构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于情境化启思与分层训练结合，通过狐狸问题激发兴趣培养数学眼光，题型涵盖等式性质应用、恒等式化简等，强调通性通法提升数学运算能力。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固知识查漏补缺。

2.1.1　等式的性质与方程的解集 课标要求 掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程（数学抽象、数学运算）. 　　有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5x－2＝2x－2.等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，等式两边同时除以x，得5＝2”.老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑. 【问题】　你认为狐狸的说法正确吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）等式的两边同时加上　同一个　数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个　不为零　的数或代数式，等式仍成立. 　　提醒：等式的性质拓展：①a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4⇒a1＝a2＝a3＝a4；②a＝b⇒c－a＝c－b；③a＝b⇒－a＝－b；④a＝b≠0⇒＝. 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取　任意实数　时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式　两边恒等　. 　　提醒：常用重要恒等式：①a2－b2＝（a＋b）（a－b）；②（a±b）2＝a2±2ab＋b2；③a3±b3＝（a±b）·（a2∓ab＋b2）；④（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 3.方程的解集 一般地，把一个方程　所有解　组成的集合称为这个方程的解集. 【想一想】 1.若ac＝bc，一定有a＝b吗？ 提示：不一定，当c≠0时，若ac＝bc，则a＝b. 2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解（根）吗？ 提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根. 1.已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　 ） A.＝　　　　　　 B.＝ C.＝　 D.＝ 解析：B　因为3x＝7y（y≠0），则x≠0，则＝，＝，故B选项正确，A、C、D选项错误.故选B. 2.集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}＝（　　） A.1，2　 B.（1，2） C.{1，2}　 D.{（1，2）} 解析：C　对于方程x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}，故C正确，A、B、D错误.故选C. 3.用十字相乘法因式分解5x2－2x－3＝　（x－1）（5x＋3）　. 题型一｜等式性质的应用 【例1】　已知x＝y， 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正确的有（　　 ） A.①②③　 B.④⑤⑥ C.①③⑤　 D.②④⑥ 解析：C　①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正确，故选C. 通性通法 　　在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件. 【跟踪训练】 已知等式mx＝my，则下列变形正确的是（　　） A.＝　 B.mx＋2＝my＋2 C.x＝y　 D.＝ 解析：B　对于A，x＝y＝0满足mx＝my，但＝无意义，故错误；对于B，mx＝my两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确；对于C，当m＝0，x＝1，y＝2，满足mx＝my，但得不到x＝y，故错误；对于D，当mx＝my＜0时，无法得到＝，故错误.故选B. 题型二｜恒等式的化简 角度1　利用恒等式化简 【例2】　计算下列各式： （1）（4＋m）（16－4m＋m2）； （2）（a＋2）（a－2）（a4＋4a2＋16）； （3）（x＋1）（x－1）（x2－x＋1）（x2＋x＋1）； （4）（x2＋2xy＋y2）（x2－xy＋y2）2. 解：（1）原式＝43＋m3＝64＋m3. （2）原式＝（a2－4）（a4＋4a2＋16）＝（a2）3－43＝a6－64. （3）法一　原式＝（x2－1）[（x2＋1）2－x2]＝（x2－1）·（x4＋x2＋1）＝x6－1. 法二　原式＝（x＋1）（x2－x＋1）（x－1）（x2＋x＋1）＝（x3＋1）·（x3－1）＝x6－1. （4）原式＝（x＋y）2（x2－xy＋y2）2＝[（x＋y）（x2－xy＋y2）]2＝（x3＋y3）2＝x6＋2x3y3＋y6. 通性通法 1.在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构. 2.注意乘法公式的正用、逆用及变形应用. 角度2　十字相乘法分解因式 【例3】　把下列各式因式分解： （1）6x2＋11x－7； （2）x＋5－6y（x＞0，y＞0）； （3）（x＋y）2－z（x＋y）－6z2. 解：（1）由十字相乘法，得： 所以6x2＋11x－7＝（2x－1）（3x＋7）. （2）原式＝（＋6）（－）. （3）原式＝（x＋y＋2z）（x＋y－3z）. 通性通法 　　对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成（a1x＋c1）（a2x＋c2）. 【跟踪训练】 1.计算下列各式： （1）（x－3y－4z）2； （2）（2a＋1－b）2－（a－b）（a＋2b）； （3）（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a＋b）3； （4）（a－4b）. 解：（1）原式＝x2＋9y2＋16z2－6xy－8xz＋24yz. （2）原式＝4a2＋1＋b2＋4a－4ab－2b－（a2＋ab－2b2）＝3a2－5ab＋3b2＋4a－2b＋1. （3）原式＝a3＋b3－（a3＋3a2b＋3ab2＋b3）＝－3a2b－3ab2. （4）原式＝（a－4b）（a2＋4ab＋16b2）＝[a3－（4b）3]＝a3－16b3. 2.因式分解： （1）x2－2xy－8y2； 解： x2－2xy－8y2＝（x－4y）（x＋2y）. （2）（x＋y＋1）2－（x－y＋1）2； 解：（x＋y＋1）2－（x－y＋1）2＝[（x＋1）＋y]2－[（x＋1）－y]2 ＝（x＋1）2＋2（x＋1）y＋y2－[（x＋1）2－2（x＋1）y＋y2]＝4（x＋1）y. （3）x3＋6x2＋11x＋6. 解：法一　x3＋6x2＋11x＋6 ＝（x3＋3x2）＋（3x2＋9x）＋（2x＋6） ＝x2（x＋3）＋3x（x＋3）＋2（x＋3） ＝（x＋3）（x2＋3x＋2）＝（x＋3）（x＋1）（x＋2）. 法二　x3＋6x2＋11x＋6＝（x3＋3x2）＋（3x2＋11x＋6）① ＝x2（x＋3）＋（x＋3）（3x＋2）＝（x＋3）（x2＋3x＋2） ＝（x＋3）（x＋1）（x＋2）.①可用十字相乘法分解因式 　　　 3×3＋2×1＝11. 题型三｜求方程的解集 角度1　求一元一次方程的解集 【例4】　求下列方程的解集： （1）4－3（10－y）＝5y； （2）＝－1. 解：（1）去括号，得4－30＋3y＝5y. 移项，得3y－5y＝30－4. 合并同类项，得－2y＝26. 系数化为1，得y＝－13. 所以该方程的解集为{－13}. （2）去分母，得2（2x－1）＝（2x＋1）－6. 去括号，得4x－2＝2x＋1－6. 移项，得4x－2x＝1－6＋2. 合并同类项，得2x＝－3. 系数化为1，得x＝－.所以该方程的解集为. 通性通法 　　解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤. （1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数.注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数； （2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号. 角度2　因式分解法解一元二次方程 【例5】　求下列方程的解集： （1）x（x＋2）＝2x＋4； （2）16（x－5）2－9（x＋4）2＝0. 解：（1）原方程可变形为x（x＋2）＝2（x＋2），即 （x－2）（x＋2）＝0， 从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2，2}. （2）利用平方差，将原方程变为[4（x－5）＋3（x＋4）]·[4（x－5）－3（x＋4）]＝0， 整理可得（7x－8）（x－32）＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32， 故原方程的解集为. 通性通法 因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的积； （3）令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解. 【跟踪训练】 1.若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是　8　. 解析：由x2－8x＋15＝0得（x－5）（x－3）＝0，解得x＝3或x＝5.又因为△ABC的两边长分别为2，3，所以1＜x＜5，故x＝3，所以△ABC的周长为2＋3＋3＝8. 2.关于x的方程a2x＋1＝b2－x的解集为　　. 解析：由a2x＋1＝b2－x⇒（a2＋1）x＝b2－1，解得x＝. 1.计算（3a－2b）2的结果为（　　） A.9a2＋4b2　 B.9a2＋6ab＋4b2 C.9a2－12ab＋4b2　 D.9a2－4b2 解析：C　由完全平方公式得，原式＝9a2－12ab＋4b2. 2.已知关于x的方程＝＋1的解集为∅，则实数a的值为（　　 ） A.0　 B.1 C.　 D. 解析：C　由＝＋1，得x＝1，因为关于x的方程＝＋1的解集为∅，所以－＝0，得a＝，故选C. 3.〔多选〕下列式子中变形正确的是（　　 ） A.若3x－1＝2x＋1，则x＝0 B.若＝，则a＝b C.若＝，则＝ D.若＝，则y＝x 解析：CD　对于A选项，两边同时减（2x－1），得到x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a（a≠0），得到＝.故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确.故选C、D. 4.若等式x2－10x－7＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c恒成立，则a＋b＋c的值为　－7　. 解析：x2－10x－7＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c，当x＝0，则a＋b＋c＝－7. 5.已知x－2y＝6，x－3y＝4，则x2－5xy＋6y2的值为　24　 . 解析：∵x－2y＝6，x－3y＝4，∴原式＝（x－2y）（x－3y）＝24. 1.若多项式x2－3x＋a可分解为（x－5）（x－b），则a，b的值是（　　） A.a＝10，b＝2　 B.a＝10，b＝－2 C.a＝－10，b＝－2　 D.a＝－10，b＝2 解析：C　因为（x－5）（x－b）＝x2－（5＋b）x＋5b， 所以即 2.（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（　　） A.（a＋b＋10）（a＋b－2） B.（a＋b＋5）（a＋b－4） C.（a＋b＋2）（a＋b－10） D.（a＋b＋4）（a＋b－5） 解析：A　（a＋b）2＋8（a＋b）－20＝ [（a＋b）－2][（a＋b）＋10]＝（a＋b－2）（a＋b＋10）. 3.如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚0.9 cm，每本语文书厚1.1 cm，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（　　） A.38　 B.39 C.41　 D.42 解析：D　设书架上有x本英语书，则语文书有84－x本.由题意，0.9x＋（84－x）×1.1＝84，解得x＝42.故选D. 4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（　　） A.（a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b2 B.a2－b2＝（a＋b）（a－b） C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 D.（a－b）2＝a2－2ab＋b2 解析：B　图甲中阴影部分的面积为a2－b2，图乙中阴影部分面积为（a＋b）（a－b），因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2－b2＝（a＋b）（a－b）.故选B. 5.〔多选〕若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（　　 ） A.－　 B.－ C.　 D. 解析：BD　由x2＋xy－2y2＝0得（x＋2y）（x－y）＝0，得x＝－2y或x＝y， 当x＝－2y时，＝＝－； 当x＝y时，＝＝.故选B、D. 6.已知等式2x2＋3x＋5＝2ax2＋a（3x＋1）＋c恒成立，则a＋c＝　5　. 解析：因为2x2＋3x＋5＝2ax2＋a（3x＋1）＋c恒成立，即2x2＋3x＋5＝2ax2＋3ax＋（a＋c）恒成立，所以所以a＋c＝5. 7.方程x－2－1＝0的解集为　{3＋2}　. 解析：设 ＝y，则 y≥0，故原方程可变为 y2－2y－1＝0，因此可知 y＝1＋ 或 y＝1－ （舍去）.从而＝1＋，即x＝3＋2，所以原方程的解集为{3＋2}. 8.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若a＝2，b＝3，则小正方形的面积是　1　. 解析：设小正方形边长为x，由勾股定理得（2＋x）2＋（3＋x）2＝（2＋3）2，解得x＝1，故小正方形的面积为1×1＝1. 9.用因式分解法求下列方程的解集： （1）x2－10x＋9＝0； （2）2（x－3）＝3x（x－3）； （3）4（3x－2）（x＋1）＝3x＋3； （4）2（2x－3）2－3（2x－3）＝0； （5）2x2－16＝x2＋5x＋8； （6）（3x－1）2＋3（3x－1）＋2＝0. 解：（1）原方程可化为（x－1）（x－9）＝0，所以x＝1或x＝9，所以该方程的解集为{1，9}. （2）原方程整理，得（x－3）（2－3x）＝0， 所以x－3＝0或2－3x＝0，所以x＝3或x＝， 所以该方程的解集为. （3）原方程可化为4（3x－2）（x＋1）－3（x＋1）＝0， 即（x＋1）（12x－11）＝0，所以x＝－1或x＝， 所以该方程的解集为. （4）原方程可化为（2x－3）[2（2x－3）－3]＝0， 即（2x－3）（4x－9）＝0，所以x＝或x＝， 所以该方程的解集为. （5）原方程可化为2x2－x2－5x－16－8＝0， x2－5x－24＝0，即（x－8）（x＋3）＝0，所以x＝8或x＝－3， 所以该方程的解集为{8，－3}. （6）原方程可化为[（3x－1）＋1][（3x－1）＋2]＝0， 即3x（3x＋1）＝0，所以x＝0或x＝－，所以该方程的解集为. 10.〔多选〕设A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，B＝{x｜ax＋1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（　　 ） A.－　 B.0 C.3　 D.－ 解析：ABD　∵A∩B＝B，∴B⊆A，A＝{x｜x2－8x＋15＝0}＝{3，5}， 当a＝0时，B＝∅，符合题意； 当a≠0时，B＝ ， 要使B⊆A，则－＝3或－＝5，解得a＝－或a＝－. 综上，a＝0或a＝－或a＝－.故选A、B、D. 11.一般情况下，使得＋＝成立的一对数m，n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）.若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为　－　. 解析：由题意，得＋＝，解得x＝－. 12.设a，b∈R，求关于x的方程a2x＝x＋ab－b的解集. 解：方程a2x＝x＋ab－b可化为（a2－1）x＝（a－1）b， 当a≠±1时，解集为； 当a＝1，b∈R时，解集为R； 当a＝－1，b＝0时，解集为R； 当a＝－1，b≠0时，解集为∅. 13.阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等. 例如，ab＝1，求证＋＝1. 证明：＋＝＋＝＋＝1. 结合阅读材料解答下列问题：已知ab＝2，则＋的值为（　　） A.2　 B.3 C.4　 D.6 解析：B　因为ab＝2，所以＋＝＋＝＋＝3.故选B. 14.如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n.（以上长度单位：cm） （1）用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，将代数式2m2＋5mn＋2n2因式分解； （3）若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求（m＋n）2的值. 解：（1）题图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为2（m＋2n）＋2（2m＋n）＝6m＋6n＝6（m＋n）. （2）2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为（m＋2n）·（2m＋n）. （3）依题意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10， ∴m2＋n2＝29. ∵（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2， ∴（m＋n）2＝29＋20＝49. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $