2.1.3 方程组的解集-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“方程组的解集”核心知识点，系统构建从方程组定义（多个方程解集的交集）到解法（代入/加减消元解二元一次，消元转化解三元一次，消元降次解二元二次）再到实际应用的学习支架，衔接紧密。 以“鸡兔同笼”问题情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，分题型详解通性通法并配例题与跟踪训练，提升数学思维中的运算能力与推理意识，规范用集合表示解集的数学语言。课中助力教师系统授课，课后辅助学生通过练习查漏补缺。

2.1.3　方程组的解集 课标要求 1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组（数学运算）. 2.能运用合适的方法求解二元二次方程组（数学运算）. 　　在一个笼子里有若干只鸡和兔，从笼子上看有30个头，从笼子下数有70只脚. 【问题】　这个笼子里共有多少只兔多少只鸡？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　方程组的解集 1.方程组 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组. 2.方程组的解集 方程组中，每个方程的解集的　交集　称为这个方程组的解集. 　　提醒：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 1.方程组的解集是（　　） A.{（1，－1），（－1，1）}　　B.{（1，1），（－2，2）} C.{（1，－1），（－2，2）}　　D.{（2，－2），（－2，2）} 解析：C　方程组解得或所以方程组的解集是{（1，－1），（－2，2）}.故选C. 2.已知则x∶y∶z＝（　　 ） A.（－1）∶13∶5　 B.1∶（－17）∶（－5） C.1∶5∶13　 D.1∶17∶5 解析：A　因为两式相加得5x＋z＝0，则z＝－5x，则y＝－13x，所以x∶y∶z＝x∶（－13x）∶（－5x）＝1∶（－13）∶（－5）＝（－1）∶13∶5.故选A. 3.若｜x＋y－5｜＋（x－y－9）2＝0，则x，y的值分别为　7，－2　. 解析：由题意知 ①＋②得2x－14＝0，即x＝7， ①－②得2y＋4＝0，即y＝－2. 题型一｜求二元一次方程组的解集 角度1　用代入消元法求二元一次方程组的解集 【例1】　求方程组的解集. 解：法一　由②，得y＝4x－5， ③ 把③代入①，得2x＋3（4x－5）＝－1， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{（x，y）｜（1，－1）}. 法二　由①，得3y＝－2x－1，即y＝， ③ 把③代入②，得4x－＝5， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{（x，y）｜（1，－1）}. 通性通法 代入消元法解二元一次方程组的步骤 （1）变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b（或x＝ay＋b）（a，b是常数，a≠0）的形式 （2）代入 把y＝ax＋b（或x＝ay＋b）代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 （3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程，求出另一个未知数 （5）写解集 用集合表示为{（x，y）｜（…，…）}的形式 角度2　用加减消元法求二元一次方程组的解集 【例2】　求下列方程组的解集： （1） （2） 解：（1）法一（加法消元）　①＋②，得6x＝12， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1. 所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}. 法二（减法消元）　①－②，得－14y＝－14，解得y＝1， 把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2. 所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}. 法三（加减法消元）　①＋②，得6x＝12，解得x＝2. ①－②，得－14y＝－14，解得y＝1. 所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}. （2）①×5－②×2，得7y＝21，解得y＝3， 把y＝3代入①，整理得2x＝4，解得x＝2. 所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，3）}. 通性通法 加减消元法解二元一次方程组的步骤 （1）变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 （2）加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 （3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值 （5）写解集 用集合表示为{（x，y）｜（…，…）}的形式 【跟踪训练】 1.设A＝{（x，y）｜y＝－4x＋6}，B＝{（x，y）｜y＝5x－3}，则A∩B＝（　　 ） A.{（2，1）}　 B.（1，2） C.x＝1，y＝2　 D.{（1，2）} 解析：D　由题意得，集合A、B均为点集，所以，所求A∩B即求两直线的交点即可， 因为解得交点为（1，2）.故选D. 2.若（3，－2）∈，则a＋b的值为　－1　. 解析：∵（3，－2）∈， ∴两式相加可得a＋b＝－1. 题型二｜求三元一次方程组的解集 【例3】　求下列方程组的解集： （1） 解：法一　①×2＋②，得5x＋8y＝7， ④ ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×（－1）＋2z＝2， 所以z＝1. 所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（3，－1，1）}. 法二　由③，得y＝2x－7， ④ 把④代入①，整理得7x＋2z＝23， ⑤ 把④代入②，整理得7x－4z＝17， ⑥ ⑤与⑥组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3代入④，得y＝－1. 所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（3，－1，1）}. （2） 解：法一　由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5. 设x＝3k，y＝2k，z＝5k（k≠0），并代入③，得5k＋3k＋2k＝20，解得k＝2. 所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（6，4，10）}. 法二　由①，得x＝y， ④ 由②，得z＝y. ⑤ 把④和⑤代入③，得y＋y＋y＝20，解得y＝4. 把y＝4分别代入④和⑤， 得x＝6，z＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（6，4，10）}. 通性通法 解三元一次方程组的一般步骤 　　解三元一次方程组类似于解二元一次方程组，关键是消元转化.通过加减消元或代入消元逐渐将三元一次方程组转化为一元一次方程求解，然后再逐个代入求另外两个未知数.最后组成三元一次方程组的一组解. 提醒：解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元.对于一些特殊的方程组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个方程是x∶y∶z＝a∶b∶c（a，b，c为常数，且都不为0），另一个方程是关于x，y，z的三元一次方程，解这种方程组时，可引入k（k≠0），用含k的式子表示x，y，z，再代入三元一次方程中，化“三元”为“一元”，求出k的值，进而可求出x，y，z的值. 【跟踪训练】 1.集合＝（　　） A.{（1，－2，3）}　 B.{（1，0，1）} C.{（0，－1，0）}　 D.{（0，1，－2）} 解析：A　由题意将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得∴代入第一个式子，可得z＝3，故方程组的解集为{（1，－2，3）}.故选A. 2.方程组则的值为（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 解析：C　由题意，将方程组的两式相加，可得2x－3y＝0，即y＝x，z＝x－2y＝－x，则＝＝＝－.故选C. 题型三｜二元二次方程组的解集 【例4】　求下列方程组的解集： （1） 解：由①得y＝8－x， ③ 把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.解得x1＝2，x2＝6. 把x1＝2代入③，得y1＝6. 把x2＝6代入③，得y2＝2. 所以原方程组的解集为{（2，6），（6，2）}. （2） 解：将x＝2（y＋1）代入x2＋3y2＝3，得4（y＋1）2＋3y2＝3， 整理得7y2＋8y＋1＝0⇒（y＋1）（7y＋1）＝0，解得y＝－或y＝－1. 当y＝－时，x＝；当y＝－1时，x＝0. 所以原方程组的解集为. 通性通法 　　求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 【跟踪训练】 1.若则xyz＝（　　 ） A.2　 B. C.±　 D.3 解析：C　法一　由方程组 ①÷②得＝，z＝2x，代入③得x＝± ，z＝±， 再代入①得y＝±，即原方程组的解为 或所以xyz＝±.故选C. 法二　①×②×③得（xyz）2＝6， ∴xyz＝±.故选C. 2.求下列方程组的解 （1）（2） 解：（1）由题设，4x2＝9y2＋15＝（3y＋5）2，整理有3y＋1＝0，可得y＝－， 代入2x－3y＝5，可得x＝2， 所以方程组的解集为{（2，－）}. （2）由方程组消去y整理得x4－5x2＋16＝0. 因为Δ＝（－5）2－4×16＜0，所以方程组的解集为∅. 题型四｜方程组的实际应用 【例5】　水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载量和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元.问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 解：设需甲车型x辆，乙车型y辆， 由题意得解得 所以需甲车型8辆，乙车型10辆. （2）市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数. 解：设需甲车型x（1≤x≤14）辆，乙车型y（1≤y≤14）辆，丙车型z（1≤z≤14）辆， 由题意得消z得到5x＋2y＝40，所以x＝8－y. 又x，y均为正整数，得到或 当时，z＝5，当时， z＝2，所以甲、乙、丙三种车型分别为6，5，5或4，10，2. 通性通法 列方程组解应用题的一般步骤 （1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系； （2）设：恰当地设未知数； （3）列：依据题中的等量关系列出方程组； （4）解：解方程组，求出未知数的值； （5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； （6）答：写出结论. 【跟踪训练】 某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（　　 ） A.8元　 B.16元 C.24元　 D.32元 解析：D　设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，则两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a.∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋（3x＋3y）＝a－8，∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D. 　　 【典例】　《九章算术》是中国古代第一部数学专著，其中第八章方程中有一问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？设上、中、下禾实一秉分别为x，y，z斗，则x＝　　，y＋z＝　7　. 解析：根据题意知，上、中、下禾实一秉分别为x，y，z斗，则有 解得x＝，y＝，z＝，则y＋z＝＋＝7. 【问题探究】 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就. 代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，本例就是其中的第一个问题.《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下： 其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似. 《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则. 另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的数值求解步骤.而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开.这是意识到了无理数的存在. 你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！ 【迁移应用】 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位.高中数学教科书中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？（　　 ） A.21、105　 B.21、150 C.24、165　 D.24、171 解析：B　设合伙人数为x人，羊价为y钱，则解得故选B. 1.方程组的解集为（　　 ） A.{（2，1）}　 B.∅ C.{1，2}　 D.{（1，2）} 解析：D　∵∴所以方程组的解集为{（1，2）}故选D. 2.已知集合A＝{（x，y）｜y＝x2}，B＝{（x，y）｜y＝x}，则集合A∩B中元素的个数为（　　） A.3　 B.2 C.1　 D.0 解析：B　联立解得或所以A∩B＝{（0，0），（1，1）}，故集合A∩B中元素的个数为2.故选B. 3.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛、羊各直金几何？”大致意思是：有5头牛、2只羊，值金10两，2头牛、5只羊，值金8两，问每头牛和每只羊各值金多少两？（　　） A.， B.， C.， D.， 解析：A　设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由题意可得解得所以每头牛值金两，每只羊值金两.故选A. 4.三元一次方程组的解集为　{（5，，－2）}　. 解析：方程2x＋3y＋z＝9两边同乘以3，得6x＋9y＋3z＝27，再与5x－9y＋7z＝8相加，得11x＋10z＝35，由得把x＝5，z＝－2代入2x＋3y＋z＝9中，解得y＝， 所以原方程组的解集为{（5，，－2）}. 　　 1.方程组的解集为（　　） A.　 B.{（1，1）} C.{2，－1}　 D.{（2，－1）} 解析：B　 ①×5－②得，7x＝7，∴x＝1. 代入①得y＝1. 2.关于x，y的方程组的解集为{（2，1）}，则a＋b＋c＝（　　） A.1　 B.5 C.6　 D.7 解析：D　由题意，将x＝2，y＝1代入方程组得则a＝1，b＋c＝6，故a＋b＋c＝7.故选D. 3.如果其中xyz≠0，那么x∶y∶z＝（　　） A.1∶2∶3　 B.2∶3∶4 C.2∶3∶1　 D.3∶2∶1 解析：C　已知 ①×2－②得7y－21z＝0，即y＝3z，代入①可得x＝8z－6z＝2z，∴x∶y∶z＝2z∶3z∶z＝2∶3∶1.故选C. 4.若｜3a＋b＋5｜＋｜2a－2b－2｜＝0，则2a2－3ab的值是（　　 ） A.14　 B.2 C.－2　 D.－4 解析：D　∵｜3a＋b＋5｜＋｜2a－2b－2｜＝0，∴解得a＝－1，b＝－2，则2a2－3ab＝2－6＝－4.故选D. 5.〔多选〕有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（　　 ） A.{（x，y）｜x＝－1或y＝2} B. C.{x＝－1，y＝2} D.{（－1，2）} 解析：BD　由得解集用列举法表示为{（－1，2）}，用描述法表示为.故选B、D. 6.设k∈R.若关于x与y的二元一次方程组的解集为∅，则k＝　1　. 解析：由二元一次方程组可得（k－1）x＝－4，因为由题意，二元一次方程组的解集为∅，所以k－1＝0，即k＝1. 7.若关于x，y的方程组与的解集相等，则a＝　4　；b＝　－　. 解析：因为方程组与的解集相等，所以的解集也是原方程组的解集，由得到所以解得 8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为　　. 解析：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得 9.求方程组的解集. 解： ①＋②×2得，x2＋y2＋2xy＝36，即（x＋y）2＝36，得x＋y＝6或x＋y＝－6； ①－②×2得，x2＋y2－2xy＝16，即（x－y）2＝16， 得x－y＝4或x－y＝－4. 所以或 或或 解此四个方程组，得或或或 故方程组的解集是{（5，1），（1，5），（－1，－5），（－5，－1）}. 10.已知则x＋y＝（　　） A.2　 B.3 C.4　 D.5 解析：A　由已知可知 ⇒（x＋y）［（x＋y）2＋］＝98⇒（x＋y）3＝8，所以x＋y＝2.故选A. 11.设a，b是实数，若关于x，y的方程组的解集为∅，则实数a，b所满足的条件为　a＝3且b≠2　. 解析：因为方程组的解集为∅，所以消元后（3－a）x＋2－b＝0无解，所以3－a＝0且2－b≠0，解得a＝3且b≠2. 12.已知关于x，y的方程组的解都为正数. （1）当a＝2时，解此方程组； （2）求a的取值范围. 解：（1）当a＝2时，方程组为 ①×2＋②得7x＝7，即x＝1， 把x＝1代入①得，3－y＝－1，即y＝4， 故此方程组的解集为{（1，4）}. （2）方程组 由③×2＋④得7x＝7a－7即x＝a－1， 把x＝a－1代入④得y＝a＋2， ∴方程组的解为 由题意，得∴a＞1， 故所求a的取值范围是（1，＋∞）. 13.已知是方程组的解，则方程组的解是　　. 解析：由题意，代入方程组可得 方程组 即得 即所以方程组的解是 14.已知关于x，y的方程组其中k∈R. （1）当k＝1时，求该方程组的解； （2）证明：无论k为何值，该方程组总有两组不同的解； （3）记该方程组的两组不同的解分别为和判断3（y1＋y2）－2y1y2是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 解：（1）当k＝1时，消去y得3x2＋2x－1＝0， 解得x1＝－1，x2＝， 因此，方程组的解为和 （2）证明：消去y整理得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0， 显然k2＋2≠0，且Δ＝8k2＋8＞0， 因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解. （3）由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2＝， y1y2＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝， 所以3（y1＋y2）－2y1y2＝－＝4， 因此，3（y1＋y2）－2y1y2是定值，且定值为4. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $