1.2.1 命题与量词&1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“命题与量词”及“全称量词命题与存在量词命题的否定”核心知识点，从命题的定义（可供真假判断的陈述句）切入，通过全称量词（∀）与存在量词（∃）区分命题类型，再系统讲解命题否定规则（全称改存在、存在改全称并否定结论），构建完整知识支架。 资料以唐诗《相思》设疑导入，结合表格对比量词特征，通过实例训练（如判断“∀x∈R，x²≥0”真假、否定“∃x∈Z，x³＜1”）培养数学抽象与逻辑推理能力。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.2.1　命题与量词 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 课标要求 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学抽象）. 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（数学抽象）. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（数学抽象）. 　　“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗. 【问题】　（1）在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？ （2）疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　命题 1.命题：可供真假判断的　陈述语句　. 2.真命题：　判断为真　的语句. 3.假命题：　判断为假　的语句. 　　提醒：若一个语句为命题，则需满足两点：①陈述句；②能够判断真假. 知识点二　全称量词与存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题称为全称量词命题 含有　存在量词　的命题称为存在量词命题 命题形式 “对集合M中的所有元素x，r（x）”，可用符号简记为“　∀x∈M，r（x）　” “存在集合M中的元素x， s（x）”，可用符号简记为“　∃x∈M，s（x）　” 【想一想】 1.如何判定全称量词命题为假命题？ 提示：只要找到一个x∈M，r（x）不成立. 2.如何判定存在量词命题为真命题？ 提示：只要找到一个x∈M，s（x）成立. 知识点三　全称量词命题与存在量词命题的否定 q 􀱑q 结论 全称量词命题∀x∈M，q（x） ∃x∈M，􀱑q（x） 全称量词命题的否定是　存在量词命题　 存在量词命题∃x∈M，p（x） 　∀x∈M，􀱑p（x）　 存在量词命题的否定是　全称量词命题　 　　提醒：命题p与其否定􀱑p，必定是一个真命题一个假命题. 1.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（　　） A.∀x∈R，有＝x B.所有的质数都是奇数 C.至少有一个实数x，使x2≤0 D.有的正方形的四条边不相等 解析：A　对于A，是全称量词命题，且为真命题，所以A正确； 对于B，是全称量词命题，2是质数，但2不是奇数，所以此命题为假命题，所以B错误； 对于C，是存在量词命题，所以C错误； 对于D，是存在量词命题，且为假命题，所以D错误.故选A. 2.命题“∀x∈[－2，3），x2＜9”的否定是（　　） A.∀x∈[－2，3），x2≥9 B.∃x∈[－2，3），x2≥9 C.∀x∉[－2，3），x2＜9 D.∃x∈[－2，3），x2＜9 解析：B　命题“∀x∈[－2，3），x2＜9”的否定是“∃x∈[－2，3），x2≥9”.故选B. 3.选择适当的符号“∀”“∃”表述命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”为　∃x∈R，x2＋2x＋3＝0　. 题型一｜全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： （1）凸多边形的外角和等于360°； 解：可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题. （2）矩形的对角线不相等； 解：可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题. （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； 解：若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题. （4）有些实数a，b能使｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜； 解：含存在量词“有些”，故为存在量词命题. （5）方程3x－2y＝10有整数解. 解：可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题. 通性通法 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略. 【跟踪训练】 1.给出下列命题： ①存在实数x＞1，使x2＞1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数. 其中存在量词命题的个数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 解析：C　①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C. 2.用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题： （1）当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； （2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除. 解：（1）∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数. （2）∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解. （3）∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除. 题型二｜全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例2】　（链接教科书第26页例）判断下列命题的真假： （1）∃x∈Z，x3＜1； （2）存在一个四边形不是平行四边形； （3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P； （4）∀x∈N，x2＞0. 解：（1）因为－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题. （2）真命题，如梯形. （3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题. （4）因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2＞0”是假命题. 通性通法 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 【跟踪训练】 1.下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2－3x＋5＞0 B.任意两个无理数之和仍是无理数 C.∃x∈R，x2－3x＋＞0 D.至少存在两个质数的平方是偶数 解析：C　A、B是全称量词命题，排除.C、D是存在量词命题.对于C，存在x＝0使得x2－3x＋＝＞0，故C正确；对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误.故选C. 2.下列命题中是假命题的是（　　） A.∀x∈R，x2≥0　 B.∃x∈R，使x2≤0 C.∃x∈R，使x2＜0　 D.∃x∈R，使x2＞0 解析：C　∀x∈R，x2≥0，故A正确，C错误；因为02＝0，故B正确；因为12＞0，故D正确.故选C. 题型三｜全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】　（链接教科书第30页例1）（1）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（　C　） A.对任意实数x，都有x＞1 B.不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1 解析：利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对任意的实数x，都有x≤1. （2）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是（　D　） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 解析：由于存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”. 通性通法 全称量词命题与存在量词命题的否定的思路 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论； （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 【跟踪训练】 1.已知命题P：∀x∈N，∈N，则􀱑P是（　　） A.∃x0∈N，∈N B.∀x0∈N，∉N C.∃x0∉N，∉N D.∃x0∈N，∉N 解析：D　P：∀x∈N，∈N的否定为∃x0∈N，∉N.故选D. 2.“∀x∈[1，2]，1≤x2≤4”的否定是（　　） A.∀x∉[1，2]，1≤x2≤4 B.∃x∉[1，2]，1≤x2≤4 C.∃x∈[1，2]，x2＞4或x2＜1 D.∃x∈[1，2]，x2＞4且x2＜1 解析：C　 “∀x∈[1，2]，1≤x2≤4”的否定是“∃x∈[1，2]，x2＞4或x2＜1”.故选C. 题型四｜全称量词命题与存在量词命题的应用 【例4】　（1）若“∃x∈R，x2＋2x－a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　{a｜a＞－1}　； 解析：（1）若“∃x∈R，x2＋2x－a＜0”是真命题， 则Δ＞0，即4＋4a＞0，解得a＞－1，则实数a的取值范围是{a｜a＞－1}.（2）已知命题p：∀x∈R，x2＋a－1≥0，若p为真命题，则a的取值范围是（　D　） A.（－∞，1）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.[1，＋∞） 解析：因为命题p：∀x∈R，x2＋a－1≥0为真命题，则a≥（－x2＋1）对∀x∈R恒成立，所以a≥＝1，即a的取值范围是[1，＋∞）.故选D. 通性通法 利用含量词的命题的真假求参数的范围的方法 （1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围，如：∀x∈m，a＞f（x）⇔a＞f（x）max；∀x∈m，a＜f（x）⇔a＜f（x）min； （2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围，如：∃x∈m，a＞f（x）⇔a＞f（x）min；∃x∈m，a＜f（x）⇔a＜f（x）max. 【跟踪训练】 1.若∀x∈R，x2－a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.a＞0　　　　　　　 B.a＜0 C.a≥0　 D.a≤0 解析：B　因为∀x∈R，x2－a＞0恒成立，所以∀x∈R，x2＞a恒成立，即∀x∈R，a＜（x2）min.因为当x∈R时，（x2）min＝0，所以a＜0.故选B. 2.〔多选〕已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是（　　） A.1　 B.0 C.3　 D.－3 解析：AC　由于命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则Δ＝22－4（2－a）＝4a－4≥0，解得a≥1.符合条件的为A、C选项.故选A、C. 1.下列是存在量词命题且是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x3＞0　 B.∃x∈Z，x2＞2 C.∀x∈N，x2∈N　 D.∃x，y∈R，x2＋y2＜0 解析：B　对于A，∀x∈R，x3＞0是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x2＞2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y2＜0是存在量词命题，是假命题，不合题意.故选B. 2.已知命题p：所有的正方形都是菱形，则命题p的否定为（　　） A.所有的菱形都不是正方形 B.存在一个正方形不是菱形 C.所有的正方形都不是菱形 D.存在一个正方形是菱形 解析：B　命题p：所有的正方形都是菱形，则命题p的否定为存在一个正方形不是菱形.故选B. 3.下列四个命题： ①∀x∈R，x2－x＋≥0；②不存在实数x，使x3＋1＝0；③∀n∈R，n2≥n；④至少有一个实数x，使得x3＋1＝0. 其中真命题的序号是（　　） A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 解析：D　①，x2－x＋＝≥0，当x＝时等号成立. ①正确.②④，x＝－1时，x3＋1＝0，②错误，④正确.③，n＝时，n2＜n，③错误.所以正确的为①④.故选D. 4.若p：存在x＜5，使2x＋a＞0是真命题，则实数a的取值范围是　{a｜a＞－10}　. 解析：存在x＜5，使2x＋a＞0，即存在x＜5，使a＞－2x，所以a＞－10. 1.将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是（　　） A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy C.对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy D.存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≥2xy 解析：A　“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R都有x2＋y2≥2xy成立，故选项A正确. 2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　） A.∀x∈R，｜x｜＞0　 B.∃x∈R，｜x｜＞0 C.∀x∈R，｜x｜≤0　 D.∃x∈R，｜x｜≤0 解析：C　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，然后再否定结论，所以选C. 3.命题p：无论x取何实数，必有｜x｜≥0，则􀱑p为（　　） A.∀x∈R，都有｜x｜≥0 B.∀x∈R，都有｜x｜＜0 C.∃x0∈R，使得｜x0｜≥0 D.∃x0∈R，使得｜x0｜＜0 解析：D　由题意可知，命题p：∀x∈R，｜x｜≥0，该命题为全称量词命题，故􀱑p：∃x0∈R，使得｜x0｜＜0.故选D. 4.已知命题p：∀x∈R，｜x｜＞0；命题q：∃x＞0，x2＝x，则（　　） A.p和q都是真命题　 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题　 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：B　对于命题p，x＝0时，｜x｜＝0，所以p：∀x∈R，｜x｜＞0为假命题，􀱑p为真命题.对于命题q，x2＝x，解得x＝0或x＝1＞0，所以q：∃x＞0，x2＝x，为真命题，􀱑q为假命题，所以􀱑p和q都是真命题.故选B. 5.〔多选〕下列四个命题中，其中为真命题的是（　　） A.∀x∈R，｜x｜＋｜x－1｜＞0 B.∀x∈N，（x－1）2＞0 C.∃x∈R，x＋－1＜0 D.∃x∈N，x2－x＋＜0 解析：AC　因为｜x｜≥0，｜x－1｜≥0，所以｜x｜＋｜x－1｜≥0，由于x＝0，x＝1不能同时取得，所以∀x∈R，｜x｜＋｜x－1｜＞0为真命题，故A正确；当x＝1时，（x－1）2＝0，所以∀x∈N，（x－1）2＞0为假命题，故B错误；当x＝－1时，x＋－1＜0成立，故∃x∈R，x＋－1＜0为真命题，故C正确；因为x2－x＋＝（x－）2－，x∈N，所以x＝0或x＝1时，有最小值，故∃x∈N，x2－x＋＜0为假命题，故D错误.故选A、C. 6.给出下列命题，①存在a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0；②任何实数都有算术平方根；③某些四边形不存在外接圆；④∀x，y∈R，都有x2＋｜y｜＞0. 其中真命题的序号为　③　. 解析：①是假命题，因为对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－12）≥0； ②是假命题，例如－4没有算术平方根； ③是真命题，因为只有对角互补的四边形有外接圆； ④为假命题，当x＝y＝0时，x2＋｜y｜＝0. 7.能够说明“设x，y，z是任意实数.若x＞y＞z，则x＞y＋z”是假命题的一组整数x，y，z的值依次为　3，2，1（答案不唯一）　. 解析：由题意，整数x，y，z满足x＞y＞z，但不满足x＞y＋z，所以x，y，z的值依次可以为3，2，1. 8.已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则实数m的取值范围为　（－∞，1]　. 解析：由命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，得Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. 9.写出下列命题的否定，并判断真假： （1）正方形都是菱形； （2）∃x∈R，使4x－3＞x； （3）∀x∈R，有x＋1＝2x； （4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集. 解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题. （2）命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5＞2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题. （3）命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题. （4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题. 10.已知a＞0，函数y＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，当x＝m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（　　） A.∃x∈R，ax2＋bx＋c≤M B.∃x∈R，ax2＋bx＋c≥M C.∀x∈R，ax2＋bx＋c≤M D.∀x∈R，ax2＋bx＋c≥M 解析：C　方程2ax＋b＝0的解为m＝－.由当x＝m时的函数值记为M知A、B为真命题； ∵a＞0，∴函数y＝ax2＋bx＋c在x＝－＝m处取得最小值.∴M是函数y＝ax2＋bx＋c的最小值，因此D为真命题，C为假命题.故选C. 11.已知集合A＝{x｜a≤x≤a＋3}，集合B＝{x｜x＜－1或x＞5}，若命题“∀x∈A，x∈B”是真命题，则实数a的取值范围为　{a｜a＜－4或a＞5}　. 解析：若∀x∈A，x∈B是真命题，则有A⊆B， 则a＋3＜－1或a＞5，所以a＜－4或a＞5， 即实数a的取值范围为{a｜a＜－4或a＞5}. 12.已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围. 解：因为􀱑q为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x为真命题，则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃1≤x≤3，使m≥x为真命题，则m≥xmin，即m≥1. 因为命题p，q同时为真命题，所以解得m≥3， 故实数m的取值范围是[3，＋∞）. 13.某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，求m范围.小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m范围.你认为，两位同学题中m的范围是否一致？　是　.（填“是”“否”中的一种） 解析：∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”.而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题.∴两位同学题中m的范围是一致的. 14.从两个符号“∀”“∃”中任选一个补充在下面的问题中，并完成下面的问题. 已知集合A＝{x｜5≤x≤6}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若命题：　　x∈A，则x∈B是真命题，求m的取值范围. 解：由已知集合A＝{x｜5≤x≤6}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}. 若选∀，则“∀x∈A，则x∈B”是真命题，则A⊆B， 所以解得≤m≤4. 若选∃，则p：“∃x∈A，则x∈B”是真命题， 若􀱑p即“∀x∈A，则x∉B”为真命题，则m＋1＞2m－1或或 解得m＜3，或m＞5，故若p为真，只需3≤m≤5. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $