1.1.3 第一课时 交集与并集-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学集合的交集与并集运算，从微信群成员问题引入交集概念，系统讲解交集、并集的含义及性质，通过有限集、无限集（数轴）运算，结合参数问题和维恩图实际应用，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化问题培养数学抽象，用数轴、维恩图辅助运算发展直观想象，分层题型（基础运算、参数求解、实际应用）提升数学运算能力。课中助教师引导学生理解概念，课后通过跟踪训练和练习题，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.1.3　集合的基本运算 课标要求 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集（数学抽象、数学运算）. 2.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）. 4.能使用维恩图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（直观想象、数学运算）. 第一课时　交集与并集 　　某班级有两个微信群，文学群成员有：梅、兰、竹、桂、松、柳，他们组成的集合用A表示；数学群成员有：梅、竹、松、枫、杨、桦，他们组成的集合用B表示，若S表示两个群都加入的同学组成的集合. 【问题】　集合S与集合A，B有怎样的关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　交集 1.交集的相关概念 2.交集的性质 （1）A∩B＝　B∩A　；（2）A∩A＝　A　； （3）A∩∅＝∅∩A＝　∅　；（4）A⊆B⇒A∩B＝　A　. 【想一想】 1.当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ 提示：有，交集为空集. 2.若A∩B＝A，则集合A与B有什么关系？ 提示：A⊆B. 3.若A∩B＝A∩C，则一定有B＝C吗？ 提示：不一定，如A＝{0}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3}，满足A∩B＝A∩C＝∅，但是B≠C. 知识点二　并集 1.并集的相关概念 2.并集的性质 （1）A∪B＝　B∪A　；（2）A∪A＝　A　； （3）A∪∅＝∅∪A＝　A　；（4）A⊆B⇒A∪B＝　B　. 【想一想】 1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和. 2.若A∪B＝A，则集合A与B有什么关系？ 提示：B⊆A. 1.（2025·潍坊期末）已知集合A＝{－1，1}，B＝{x｜－2≤x＜0}，则A∩B＝（　　） A.{1}　 B.{－1} C.{－1，1}　 D.{－1，0，1} 解析：B　因为A＝{－1，1}，B＝{x｜－2≤x＜0}，故A∩B＝{－1}.故选B. 2.已知集合A＝{x｜1≤x＜4}，B＝{x｜0＜x＜3}，则A∪B＝（　　） A.{x｜0＜x＜1}　 B.{x｜0＜x＜4} C.{x｜1≤x＜3}　 D.{x｜1≤x＜4} 解析：B　因为集合A＝{x｜1≤x＜4}，B＝{x｜0＜x＜3}，所以A∪B＝{x｜0＜x＜4}.故选B. 3.已知集合A＝{1，2}，B＝{a，3}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝　{1，2，3}　. 解析：由于A∩B＝{1}，所以a＝1，所以A∪B＝{1，2，3}. 题型一｜交集的运算 【例1】　（链接教科书第16页例1）（1）设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（　C　） A.{1，3，5，7}　 B.{2，3} C.{2，3，5}　 D.{1，2，3，5，7，8} 解析：因为集合A，B的公共元素为2，3，5， 故A∩B＝{2，3，5}.故选C. （2）设集合M＝{x｜0＜x＜4}，N＝，则M∩N＝（　B　） A.　 B. C.{x｜4≤x＜5}　 D.{x｜0＜x≤5} 解析： M∩N＝. 通性通法 求两个集合的交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素个数无限的数集，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 【跟踪训练】 1.已知集合M＝{x｜－2＜x＜2}，集合N＝{－1，0，1，2}，则M∩N＝（　　） A.{－1，0，1}　 B.{0，1，2} C.{x｜－1＜x≤2}　 D.{x｜－1≤x≤2} 解析：A　因为M＝{x｜－2＜x＜2}，N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0，1}，故A正确.故选A. 2.若集合A＝{x｜2x＋1＞0}，B＝（－1，3），则A∩B＝　　. 解析：∵A＝，B＝（－1，3）， 画出数轴如图所示， ∴A∩B＝. 即A∩B＝. 题型二｜并集的运算 【例2】　（1）设集合M＝{x∈R｜x2＋2x＝0}，N＝{x∈R｜x2－2x＝0}，则M∪N＝（　D　） A.{0}　 B.{0，2} C.{－2，0}　 D.{－2，0，2} 解析： M＝{x∈R｜x2＋2x＝0}＝{0，－2}，N＝{x∈R｜x2－2x＝0}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}.故选D. （2）已知集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜0≤x≤2}，则A∪B＝（　B　） A.（－1，2）　　 B.（－1，2] C.[0，1）　　 D.[0，1] 解析：由题意可得A∪B＝{x｜－1＜x≤2}，即A∪B＝（－1，2].故选B. 通性通法 求集合并集的2种基本方法 （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 【跟踪训练】 1.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∪B＝（　　） A.{x｜2＜x≤3}　 B.{x｜2≤x≤3} C.{x｜1≤x＜4}　 D.{x｜1＜x＜4} 解析：C　∵A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，∴A∪B＝{x｜1≤x＜4}.故选C. 2.已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是　4　. 解析：依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个. 题型三｜由集合的并集、交集求参数 【例3】　（1）已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}.若A∩B＝{1}，则实数a的值为　1　. （2）已知集合A＝{x｜x≤1}，B＝{x｜x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是　（－∞，1]　. 解析：（1）∵集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}，∴a＝1或a2＋3＝1.当a＝1时，A＝{1，2}，B＝{1，4}，成立；a2＋3＝1无解.综上，a＝1. （2）因为A∪B＝R，由数轴可知，表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1. 通性通法 求集合运算中参数应注意的问题 　　解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： （1）由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； （2）对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 【跟踪训练】 1.〔多选〕已知集合M＝{1，4，x}，N＝{2，3}，若M∪N＝{1，2，3，4}，则x的可能取值为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 解析：BC　由题意，集合M＝{1，4，x}，N＝{2，3}，且M∪N＝{1，2，3，4}，根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得x＝2或x＝3.故选B、C. 2.已知A＝{x｜a＜x≤a＋8}，B＝{x｜x＜－1，或x＞5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为　{a｜－3≤a＜－1}　. 解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示， 则解得－3≤a＜－1. 题型四｜用维恩图解决实际问题 【例4】　为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？ 解：如图，不妨设参加计算的人为集合A，参加测量的人为集合B，参加绘图的人为集合C.设3项工作都参加的人数为x. 则测绘队总人数为（10－x）＋（8－x）＋（6－x）＋4＋6＋8＋x＝42－2x， 因为0＜x≤6，所以30≤42－2x＜42， 即测绘队人数最少为30人，此时x＝6. 故这个测绘队至少有30人. 通性通法 用维恩图解决实际问题的步骤 （1）利用维恩图将集合间的关系直观地表示出来，即根据维恩图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言； （2）通过解方程和限制条件的运用解决问题. 【跟踪训练】 〔多选〕立德中学为了迎接国庆节的到来，在国庆节的前一周举办了“迎国庆，向未来”趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加拔河，有7人参加4人足球，有5人参加羽毛球，拔河和4人足球都参加的有4人，拔河和羽毛球都参加的有3人，4人足球和羽毛球都参加的有3人，则（　　） A.三项都参加的有1人 B.只参加拔河的有3人 C.只参加4人足球的有2人 D.只参加羽毛球的有4人 解析：BC　根据题意，设A＝{x｜x是参加拔河的同学}，B＝{x｜x是参加4人足球的同学}，C＝{x｜x是参加羽毛球的同学}，则card（A）＝8，card（B）＝7，card（C）＝5，又card（A∩B）＝4，card（A∩C）＝card（B∩C）＝3，所以card（A∩B∩C）＝12－[（8＋7＋5）－（4＋3＋3）]＝2， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人.故选B、C. 1.若集合A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，则A∪B＝（　　） A.{0，1，2，3，4}　 B.{1，2，3，4} C.{1，2}　 D.{0} 解析：A　根据并集的定义可得A∪B＝{0，1，2，3}∪{1，2，4}＝{0，1，2，3，4}. 2.设集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　） A.{2}　 B.{2，3} C.{3，4}　 D.{2，3，4} 解析：B　因为A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}.故选B. 3.已知A＝{（x，y）｜x＋y＝3}，B＝{（x，y）｜x－y＝1}，则A∩B等于（　　） A.{2，1}　 B.{（1，2）} C.{（2，1）}　 D.（2，1） 解析：C　由解得因为A＝{（x，y）｜x＋y＝3}，B＝{（x，y）｜x－y＝1}，所以A∩B＝{（2，1）}.故选C. 4.〔多选〕已知集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜ax－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值可能是（　　） A.2　 B.－1 C.1　 D.0 解析：BCD　∵集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜ax－1＝0}，A∩B＝B，∴B⊆A 当a＝0时，B＝∅，成立； 当a≠0时，B＝，故＝－1或＝1，解得a＝－1或a＝1， 综上，a的取值可能是－1，0，1.故选B、C、D. 5.已知集合A＝{3，m}，B＝{m，m＋1}，若A∩B＝{4}，则A∪B＝　{3，4，5}　. 解析：因为A∩B＝{4}，所以4∈A，即m＝4，则A＝{3，4}，B＝{4，5}，于是A∪B＝{3，4，5}. 1.（2024·天津高考1题）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　） A.{1，2，3，4}　 B.{2，3，4} C.{2，4}　 D.{1} 解析：B　因为A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}.故选B. 2.（2024·北京高考1题）已知集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜－1≤x＜4}，则M∪N＝（　　） A.{x｜－1≤x＜1}　 B.{x｜x＞－3} C.{x｜－3＜x＜4}　 D.{x｜x＜4} 解析：C　由集合的并运算，得M∪N＝{x｜－3＜x＜4}.故选C. 3.已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，则A∩B中最小的3个元素为（　　） A.2，4，6　 B.0，4，8 C.0，2，4　 D.4，8，12 解析：B　A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，10，…}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}＝{0，4，8，12，…}，故A∩B中最小的3个元素为0，4，8.故选B. 4.已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（　　） A.∅　 B.S C.T　 D.Z 解析：C　法一（通解）　在集合T中，令n＝k（k∈Z），则t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T⊆S，所以T∩S＝T，故选C. 法二（优解）　S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S＝T，故选C. 5.〔多选〕已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}，则（　　） A.A∩B＝{1，2，3} B.A∪B＝{－1，0，1，2，3} C.0∈B D.－1∈B 解析：CD　由题意得，B＝{x－y｜x∈A，y∈A}＝{－2，－1，0，1，2}.A∩B＝{1，2}，故A错误；A∪B＝{－2，－1，0，1，2，3}，故B错误；由集合与元素的关系得，0∈B，－1∈B，故C、D正确.故选C、D. 6.已知A＝{x∈N｜1≤x≤10}，B＝{x｜x是3的倍数}，则A∩B可用列举法表示为　{3，6，9}　. 解析：由题意可知，A＝{x∈N｜1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，且B＝{x｜x是3的倍数}，所以A∩B＝{3，6，9}. 7.已知集合A＝{a，1，2b}，B＝{a2，b，a＋b}，若0∈A∩B，则b＝　0　. 解析：若0∈A∩B时，由a＋b≠b可知a≠0，必有b＝0. 8.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店： （1）第一天售出但第二天未售出的商品有　16　种； （2）这三天售出的商品最少有　29　种. 解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示. 由图可知：（1）第一天售出但第二天未售出的商品有19－（3－x）－x＝16（种）. （2）这三天售出的商品有（16－y）＋y＋x＋（3－x）＋（6＋x）＋（4－x）＋（14－y）＝43－y（种）. 由于所以0≤y≤14. 所以（43－y）min＝43－14＝29. 9.已知集合A＝（－3，4]，集合B＝[k＋1，2k－1]. （1）若A∪B＝A，求k的取值范围； （2）若A∩B＝A，求k的取值范围. 解：（1）∵A∪B＝A，∴B⊆A， ①当B＝∅时，k＋1≥2k－1，∴k≤2. ②当B≠∅时，则根据题意如图所示： 根据数轴可得解得2＜k≤. 综合①②可得k的取值范围为. （2）∵A∩B＝A，∴A⊆B. 又A＝{x｜－3＜x≤4}，B＝{x｜k＋1≤x≤2k－1}，可知B≠∅. 由数轴可知 解得k∈∅，即当A∩B＝A时，k不存在. 10.已知集合M＝{x｜∈N*且∈N*}，集合N＝{x｜∈Z}，则（　　） A.M＝N　 B.N⊆M C.M∪N＝{x｜∈N}　 D.M∩N＝{x｜∈N*} 解析：D　由题意可得，集合M表示能被20整除的正整数，而集合N表示能被40整除的整数，A、B选项错误；M∪N为能被40整除的整数及能被20整除的正整数，C错误；据此可得，集合N与集合M的公共元素为能被40整除的正整数，即M∩N＝{x｜∈N*}，D正确.故选D. 11.设集合A＝{x｜2a＜x＜a＋2}，B＝{x｜x＜－3或x＞5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为　　. 解析：因为集合A＝{x｜2a＜x＜a＋2}， 若A＝∅，有2a≥a＋2，解得a≥2，此时A∩B＝∅，于是得a≥2， 若A≠∅，因为集合B＝{x｜x＜－3或x＞5}，则由A∩B＝∅得解得－≤a＜2， 综上，a≥－，所以实数a的取值范围为［－，＋∞）. 12.已知集合A＝{－2，0，3}，M＝{x｜x2＋（a＋1）x－6＝0}，N＝{y｜y2＋2y－b＝0}，若M∪N＝A，求实数a，b的值. 解：因为A＝{－2，0，3}，0∉M且M∪N＝A， 所以0∈N. 将y＝0代入方程y2＋2y－b＝0，解得b＝0. 由此可得N＝{y｜y2＋2y＝0}＝{0，－2}. 因为3∉N且M∪N＝A，所以3∈M. 将x＝3代入方程x2＋（a＋1）x－6＝0，解得a＝－2. 此时M＝{x｜x2－x－6＝0}＝{－2，3}，满足M∪N＝A， 所以a＝－2，b＝0. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $