1.1.3 第二课时 补集及综合应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“补集及综合应用”核心知识点，通过学校食堂买菜计划实例引入全集与补集关系，衔接集合子集概念，系统讲解全集定义、补集的文字符号图形语言及性质，再以补集运算、综合运算、参数求解题型构建从概念到应用的学习支架。 该资料以生活实例激发兴趣，用数学眼光发现集合关系，通过定义辨析和通性通法（列举法、数轴法）培养逻辑推理的数学思维，借助维恩图、数轴等数学语言直观表达运算。课中助力分层教学，课后通过跟踪训练和拓展阅读（戴德金分割）帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第二课时　补集及综合应用 　　为了进一步提高同学们的伙食水平，丰富菜品花样， 学校食堂的老师们做了大量的工作，这是他们周一、周二工作计划的一部分： 计划前两天买进的品种组成集合U 第一天买进的品种组成集合A 第一天未买进的计划品种组成集合B 冬瓜、黄瓜、鲫鱼、茄子、虾、猪肉、芹菜、土豆、毛豆 黄瓜、鲫鱼、茄子、猪肉、芹菜、土豆 冬瓜、虾、毛豆 【问题】　（1）集合A与集合U是什么关系？ （2）集合B与集合A是什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全集 1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的　子集　，那么称这个给定的集合为全集. 2.记法：全集通常记作　U　. 　　提醒：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集. 知识点二　补集 1.补集的概念 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由　U中不属于A　的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作　∁UA　，读作“　A在U　中的补集” 符号语言 ∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A} 图形语言 2.补集的性质 （1）A∪（∁UA）＝　U　； （2）A∩（∁UA）＝　∅　； （3）∁UU＝　∅　，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝　A　； （4）（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）； （5）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）. 　　提醒：（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃”不出全集的范围；（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. 1.已知集合U＝{－3，－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1，0，1}，则∁UA＝（　　） A.{－2，－1，0，1}　 B.{－3} C.{－3，2}　 D.{0，1} 解析：C　∵集合U＝{－3，－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1，0，1}，∴∁UA＝{－3，2}.故选C. 2.设集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x≥1}，则（∁RA）∩B＝（　　） A.∅　 B.[0，1] C.（0，＋∞）　 D.[1，＋∞） 解析：D　由题设，∁RA＝{x｜x≥0}，∴（∁RA）∩B＝{x｜x≥0}∩{x｜x≥1}＝[1，＋∞）.故选D. 3.已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝　{0，1}　. 解析：∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}. 题型一｜补集的简单运算 【例1】　（链接教科书第19页例4）（1）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝（　C　） A.U　 B.{1，3，5} C.{3，5，6}　 D.{2，4，6} 解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3，5，6}. （2）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－2，或x＞2}，则∁UA＝　{x｜－2≤x≤2}　. 解析：如图，在数轴上表示出集合A，可知∁UA＝{x｜－2≤x≤2}. 通性通法 求集合补集的2种方法 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 【跟踪训练】 1.已知全集为R，集合M＝{x｜x＞1}，则∁RM＝（　　） A.R　 B.{x｜x≥1} C.{x｜x＜1}　 D.{x｜x≤1} 解析：D　∵集合M＝{x｜x＞1}，∴∁RM＝{x｜x≤1}.故选D. 2.设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝　{0，2，4，6}　. 解析：∵M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，∴U＝{0，2，4，6}. 题型二｜集合的综合运算 【例2】　（1）（2025·大连期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则B∩∁UA＝（　C　） A.{2，4}　 B.{1，6} C.{3，5}　 D.{1} 解析：集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则∁UA＝{3，5，6}，有B∩∁UA＝{3，5}.故选C. （2）设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（　A　） A.∁U（M∪N）　 B.N∪∁UM C.∁U（M∩N）　 D.M∪∁UN 解析：因为M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以∁U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故选A. 通性通法 解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于维恩图来求解； （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 【跟踪训练】 1.设全集U＝Z，集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A.{1，3，5}　 B.{2，4} C.{7，9}　 D.{1，2，3，4，5} 解析：B　由维恩图得阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B，而全集U＝Z，集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，2，3，4，5}，所以（∁UA）∩B＝{2，4}.故选B. 2.若集合A＝{y｜0≤y＜2}，B＝{x｜｜x｜＞1}，则A∩（∁RB）＝（　　） A.{x｜0≤x≤1}　 B.{x｜1≤x≤2} C.{x｜－1＜x≤0}　 D.{x｜1＜x＜2} 解析：A　集合B＝{x｜x ＞1或x＜－1} ，所以∁RB＝{x｜－1≤x≤1}，故A∩（∁RB）＝{x｜0≤x≤1}.故选A. 题型三｜与补集相关的参数值的求解 【例3】　设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且（∁UA）∩B＝∅，求实数m的取值范围. 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}， 所以∁UA＝{x｜x＜－m}. 因为B＝{x｜－2＜x＜4}，（∁UA）∩B＝∅，如图， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是[2，＋∞）. 【母题探究】 1.（变条件）本例将条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UA）∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，所以∁UA＝{x｜x＜－m}， 又（∁UA）∩B≠∅，所以－m＞－2，解得m＜2. 故m的取值范围为（－∞，2）. 2.（变条件）本例将条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，∁UB＝{x｜x≤－2，或x≥4}. 又（∁UB）∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为[2，＋∞）. 通性通法 由集合的补集求解参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集的定义求解； （2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解. 【跟踪训练】 〔多选〕已知全集U＝R，集合A＝{x｜－2≤x≤7}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围可以是（　　） A.{m｜6＜m≤10}　 B.{m｜－2＜m＜2} C.　 D.{m｜5＜m≤8} 解析：ABC　当B＝∅时，m＋1＞2m－1，即m＜2，此时∁UB＝R，符合题意； 当B≠∅时，m＋1≤2m－1，即m≥2， 由B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，可得∁UB＝{x｜x＜m＋1或x＞2m－1}， 因为A⊆∁UB，所以m＋1＞7或2m－1＜－2，可得m＞6或m＜－， 因为m≥2，所以m＞6.所以实数m的取值范围为m＜2或m＞6. 所以选项A、B、C正确，选项D不正确.故选A、B、C. 　　 我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A相对于全集S的补集为∁SA，即∁SA＝{x｜x∈S，且x∉A}.类似地，对于集合A，B，我们把集合{x｜x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}. 【问题探究】 1.若S是高一（1）班全体同学组成的集合，A是高一（1）班全体女同学组成的集合，求S－A及∁SA. 提示：S－A＝{x｜x∈S，且x∉A}＝∁SA＝{高一（1）班全体男同学}. 2.在下列各图中用阴影表示集合A－B. 提示：A中去掉B的部分，得到下列图. 3.如果A－B＝∅，那么集合A与B之间具有怎样的关系？ 提示：A－B＝∅说明集合{x｜x∈A，且x∉B}中无元素，即A中的元素都在B中，所以A⊆B. 4.现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）可用下列图中阴影部分表示的为（　　） 提示：A　∵A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，即A－B是集合A中的元素去掉A∩B中的元素，记作集合D.如图所示. ∴集合C－（A－B）就是C中的元素去掉集合C∩D中的元素.故选A. 【迁移应用】 　由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，可能成立的是　①②④　（填序号）. ①M没有最大元素，N有一个最小元素； ②M没有最大元素，N也没有最小元素； ③M有一个最大元素，N有一个最小元素； ④M有一个最大元素，N没有最小元素. 解析：若M＝{x∈Q｜x＜0}，N＝{x∈Q｜x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立； 若M＝{x∈Q｜x＜}，N＝{x∈Q｜x≥}，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立； 若M＝{x∈Q｜x≤0}，N＝{x∈Q｜x＞0}，则M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立； M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至少有一个有理数不存在于M和N两个集合中，与M和N的并集是有理数集矛盾，故③不可能成立. 1.（2025·呼和浩特期末）已知集合U＝{x∈N｜1≤x≤8}，A＝{2，3，8}，B＝{2，4，7}，则A∩（∁UB）＝（　　） A.{1，2，3，5，6，8}　 B.{3，8} C.{3}　 D.{3，5} 解析：B　U＝{x∈N｜1≤x≤8}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，∵B＝{2，4，7}，∴∁UB＝{1，3，5，6，8}，又A＝{2，3，8}，∴A∩（∁UB）＝{3，8}.故选B. 2.设全集U＝R，集合A＝{x｜0＜x＜9}，B＝{x∈Z｜－4＜x＜4}，则集合（∁UA）∩B中的元素的个数为（　　） A.3　　 B.4　 C.5　　 D.6 解析：B　∵U＝R， A＝{x｜0＜x＜9}，∴∁UA＝{x｜x≤0，或x≥9}，又∵B＝{x∈Z｜－4＜x＜4}，∴（∁UA）∩B＝{x∈Z｜－4＜x≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4个元素. 3.集合M＝{x｜x＜－2或x≥3}，N＝{x｜x－a≤0}，若N∩∁RM＝∅，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a≤3}　 B.{a｜a≤－2} C.{a｜a＜－2}　 D.{a｜－2≤a≤2} 解析：C　∵M＝{x｜x＜－2或x≥3}，N＝{x｜x－a≤0}＝{x｜x≤a}，N∩∁RM＝∅，∴∁RM＝{x｜－2≤x＜3}， 结合数轴可知，当a≥－2时，N∩∁RM≠∅，故N∩∁RM＝∅时，a的取值范围为{a｜a＜－2}.故选C. 4.〔多选〕已知集合M＝{－1，1}，N＝{x｜－2≤x＜1}，则下列说法正确的是（　　） A.M∩N有2个子集 B.M∪N中任意两个元素差的最小值为－3 C.M∩（∁RN）＝∅ D.（∁RM）∩（∁RN）＝{x｜x＜－2或x＞1} 解析：ABD　对于A，M∩N＝{－1}，所以M∩N有2个子集，故A正确；对于B，M∪N＝{x｜－2≤x≤1}，则M∪N中任意两个元素差的最小值为－2－1＝－3，故B正确；对于C，∁RN＝{x｜x＜－2或x≥1}，所以M∩（∁RN）＝{1}，故C错误；对于D，∁RM＝{x｜x≠－1且x≠1}，所以（∁RM）∩（∁RN）＝{x｜x＜－2或x＞1}，故D正确.故选A、B、D. 5.已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{1，3，5，7，9}，则维恩图中阴影部分表示的集合中元素的个数为　3　. 解析：由维恩图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为∁A（A∩B）.又A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，∴A∩B＝{1，3，5}，∴∁A（A∩B）＝{0，2，4}，即维恩图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3. 1.已知全集U＝{－1，0，1，2}，A＝{x｜x2＝x}，则∁UA＝（　　） A.{－1，1，2}　 B.{－1，0，2} C.{－1，2}　 D.{0，1} 解析：C　因为全集U＝{－1，0，1，2}，A＝{x｜x2＝x}＝{0，1}，故∁UA＝{－1，2}.故选C. 2.设集合U＝，A＝，B＝，则A∩（∁UB）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　∁UB＝，A∩（∁UB）＝，故选B. 3.已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈Z｜－2＜x＜3}，B＝{－2，0，1，3}，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①{－1，2}，②∁（A∪B）B，③A∩（∁UB），④（∁UA）∩（∁UB），正确的个数为（　　） A.1个　 B.2个 C.3个　 D.4个 解析：C　由图可知阴影部分所表示的集合为∁（A∪B）B，A∩（∁UB），故②③正确；因为A＝{x∈Z｜－2＜x＜3}＝{－1，0，1，2}，∁UB＝{－1，2，4}，所以A∩（∁UB）＝{－1，2}，故①正确；（∁UA）∩（∁UB）＝{4}，故④错误.所以正确的有3个.故选C. 4.已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x＞m}，若A∩（∁RB）＝∅，则实数m的取值范围为（　　） A.（－∞，1]　 B.（－∞，1） C.[1，＋∞）　 D.（1，＋∞） 解析：A　由题知A∩（∁RB）＝∅，得A⊆B，则m≤1，故选A. 5.〔多选〕设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B＝A∪C，那么下列各式中不一定成立的是（　　） A.B⊆A B.C⊆A C.A∩（∁UB）＝A∩（∁UC） D.（∁UA）∩B＝（∁UA）∩C 解析：ABC　当U＝{1，2，3}，A＝{1}，B＝{2，3}，C＝{1，2，3}时，满足A∪B＝A∪C，此时，B，C不是A的子集，所以A、B不一定成立；∁UB＝{1}，∁UC＝∅，A∩（∁UB）＝{1}，A∩（∁UC）＝∅，所以C不一定成立；对于D，若∀x∈（∁UA）∩B，则x∉A，但x∈B，因为A∪B＝A∪C，所以x∈C，于是x∈（∁UA）∩C，所以（∁UA）∩B⊆（∁UA）∩C，同理若∀x∈（∁UA）∩C，则x∈（∁UA）∩B，（∁UA）∩C⊆（∁UA）∩B，因此，（∁UA）∩B＝（∁UA）∩C成立，所以D成立.故选A、B、C. 6.设集合U＝N，其中N为自然数集，S＝{x｜x2－x＝0}，T＝{x∈N｜∈Z}，则S∩（∁UT）＝　∅　. 解析：因为S＝{x｜x2－x＝0}＝{0，1}，T＝{x∈N｜∈Z}＝{0，1，3，4，5，8}，则0，1∉∁UT，所以S∩（∁UT）＝∅. 7.设U＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜x2－（m＋1）x＋m＝0}，若（∁UA）∩B＝∅，则实数m＝　1或2　. 解析：由题得集合A＝{1，2}，当m＝1时，B＝{1}；当m≠1时，B＝{1，m}.所以当m＝1时，（∁UA）∩B＝∅，符合题意；当m≠1时，（∁UA）∩B＝∅，所以m＝2.综合得m＝1或m＝2. 8.已知全集为R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞6}，B＝{x｜1－m≤x≤1＋m}. （1）若m＝2，求（∁RB）∪A； （2）若（∁RA）∪B＝∁RA，求实数m的取值范围. 解：（1）若m＝2，则B＝{x｜1－m≤x≤1＋m}＝{x｜－1≤x≤3}， 所以∁RB＝{x｜x＜－1或x＞3}，又集合A＝{x｜x＜－1或x＞6}， 所以（∁RB）∪A＝{x｜x＜－1或x＞3}. （2）因为（∁RA）∪B＝∁RA，所以B⊆∁RA. 因为∁RA＝{x｜－1≤x≤6}，B＝{x｜1－m≤x≤1＋m}， 所以当B＝∅时符合题意，此时1－m＞1＋m，即m＜0； 当B≠∅时，要使B⊆∁RA， 则解得0≤m≤2. 综上所述，实数m的取值范围为（－∞，2]. 9.已知集合A，B，C为全集U的子集，A∩B＝∁UC≠∅，则（A∪B）∩C＝（　　） A.A∪（B∩C） B.（∁UA）∩（∁UB） C.[∁U（A∩B）]∩（A∪B） D.[∁U（A∪B）]∪（A∩B） 解析：C　∵A∩B＝∁UC，∴（A∩B）∪C＝U，∴∁U（A∩B）＝C，∴（A∪B）∩C＝C∩（A∪B）＝[∁U（A∩B）]∩（A∪B）.故选C. 10.已知全集U＝Z，定义A☉B＝{x｜a·b，a∈A，b∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1}，则∁U（A☉B）＝　{x｜｜x｜≥4，x∈Z}　. 解析：全集U＝Z，定义A☉B＝{x｜a·b，a∈A，b∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1}，所以A☉B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，所以∁U（A☉B）＝{x｜｜x｜≥4，x∈Z}. 11.已知全集U＝{1，2，3，5}，集合A＝{x｜｜x－2｜＝1}，B＝{1，5，｜a｜}. （1）若B⊇A，求实数a的值； （2）若（∁UA）∩（∁UB）＝∅，写出集合B的所有真子集. 解：（1）由题意得，A＝{x｜｜x－2｜＝1}＝{1，3}，B＝{1，5，｜a｜}. ∵B⊇A，∴｜a｜＝3，解得a＝±3， ∴实数a的值为±3. （2）∵（∁UA）∩（∁UB）＝∅， ∴∁U（A∪B）＝∅， ∴A∪B＝U，∴｜a｜＝2，∴B＝{1，2，5}， ∴集合B的所有真子集为∅，{1}，{2}，{5}，{1，2}，{1，5}，{2，5}. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $