1.1.3 第二课时 补集及综合应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

第二课时　补集及综合应用

　　为了进一步提高同学们的伙食水平，丰富菜品花样， 学校食堂的老师们做了大量的工作，这是他们周一、周二工作计划的一部分：

【问题】　（1）集合A与集合U是什么关系？

（2）集合B与集合A是什么关系？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　全集

1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的　子集　，那么称这个给定的集合为全集.

2.记法：全集通常记作　U　.

　　提醒：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.

知识点二　补集

1.补集的概念

2.补集的性质

（1）A∪（∁UA）＝　U　；

（2）A∩（∁UA）＝　∅　；

（3）∁UU＝　∅　，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝　A　；

（4）（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）；

（5）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）.

　　提醒：（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃”不出全集的范围；（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的.

1.已知集合U＝{－3，－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1，0，1}，则∁UA＝（　　）

A.{－2，－1，0，1}　 B.{－3}

C.{－3，2}　 D.{0，1}

解析：C　∵集合U＝{－3，－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1，0，1}，∴∁UA＝{－3，2}.故选C.

2.设集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x≥1}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A.∅　 B.[0，1]

C.（0，＋∞）　 D.[1，＋∞）

解析：D　由题设，∁RA＝{x｜x≥0}，∴（∁RA）∩B＝{x｜x≥0}∩{x｜x≥1}＝[1，＋∞）.故选D.

3.已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝　{0，1}　.

解析：∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}.

题型一｜补集的简单运算

【例1】　（链接教科书第19页例4）（1）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝（　C　）

A.U　 B.{1，3，5}

C.{3，5，6}　 D.{2，4，6}

解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3，5，6}.

（2）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－2，或x＞2}，则∁UA＝　{x｜－2≤x≤2}　.

解析：如图，在数轴上表示出集合A，可知∁UA＝{x｜－2≤x≤2}.

通性通法

求集合补集的2种方法

（1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解；

（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.

【跟踪训练】

1.已知全集为R，集合M＝{x｜x＞1}，则∁RM＝（　　）

A.R　 B.{x｜x≥1}

C.{x｜x＜1}　 D.{x｜x≤1}

解析：D　∵集合M＝{x｜x＞1}，∴∁RM＝{x｜x≤1}.故选D.

2.设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝　{0，2，4，6}　.

解析：∵M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，∴U＝{0，2，4，6}.

题型二｜集合的综合运算

【例2】　（1）（2025·大连期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则B∩∁UA＝（　C　）