1.1.2 集合的基本关系-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，涵盖子集、真子集、集合相等的概念及性质，前承集合的基本概念，后为集合运算学习奠定基础。通过生活实例导入，分知识点系统讲解，配合“想一想”思考问题、典型例题及跟踪训练，构建完整学习支架。 该资料突出数学抽象与直观想象素养，如用维恩图形象表达集合关系，“想一想”环节引导学生辨析“∈”与“⊆”等概念。例题覆盖关系判断、子集个数计算、参数求解等题型并总结通性通法，课中助教师直观教学，课后学生可通过练习巩固，提升逻辑推理与知识应用能力。

1.1.2　集合的基本关系 课标要求 1.理解集合之间包含与相等的含义（数学抽象）. 2.能识别给定集合的子集（数学抽象）. 3.了解空集与其他集合的关系（数学抽象）. 4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）. 　　所有中国公民构成的集合为B，北京市的中国公民构成的集合为A. 【问题】　（1）集合A中元素与集合B中元素存在怎样的关系？ （2）集合A与集合B有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 2.如果A不是B的子集，记作A⊈B（或B⊉A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 3.性质：A⊆A；∅⊆A. 【想一想】 1.任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，这两个集合就没有包含关系. 2.符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：（1）“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. （2）“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. （3）“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合. 知识点二　真子集 1.真子集的有关概念与性质 （1）概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）； （2）性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⫋C，则A⫋C；②如果A⫋B，B⫋C，则A　⫋　C. 2.维恩图 （1）概念：如果用平面上一条封闭曲线的　内部　来表示集合，这种示意图通常称为维恩图； （2）维恩图的优点及其表示 ①优点：形象直观； ②表示：通常用　封闭曲线　的　内部　代表集合. 【想一想】 1.任何集合A是其本身的真子集吗？ 提示：任何集合A不可能是其本身的真子集. 2.空集是任何集合的真子集吗？ 提示：空集是任何非空集合的真子集. 3.你认为“⊆”和“⫋”有什么区别和联系？ 提示：（1）“⊆”和“⫋”均表示集合与集合之间的关系. （2）“⊆”表示子集关系，“⫋”表示真子集关系. （3）若A⫋B，则A⊆B.但是，若A⊆B，则A⫋B不一定成立. 知识点三　集合的相等与子集的关系 性质：由集合相等的定义可知：如果　A⊆B　且　B⊆A　，则A＝B；反之，如果A＝B，则　A⊆B　且　B⊆A　. 1.〔多选〕下列表述正确的是（　　） A.{1}⊆{1，2}　 B.{0}⊆{1，2} C.{1，2}⊇{2}　 D.{1，2}⊆{2，1} 解析：ACD　由子集的概念知A、C、D表述正确；因为0∉{1，2}，所以{0}⊈{1，2}. 2.若集合A＝{2，3，4，5，6}， 则A的真子集的个数为（　　） A.32　 B.31 C.25　 D.24 解析：B　集合A＝{2，3，4，5，6}共有5个元素，所以集合A共有25－1＝31个真子集.故选B. 3.若M＝{x｜（x－1）（x＋2）＝0}，N＝{1，－2}，P＝{（x，y）｜y＝（x－1）（x＋2）}，则这三个集合中，具有相等关系的是　M和N　. 解析：M为方程（x－1）（x＋2）＝0的解集，故M＝{1，－2}，P表示点集，M，N都为数集，且元素完全相同.故填M和N. 题型一｜集合间关系的判断 【例1】　（链接教科书第13页例3）指出下列各对集合之间的关系： （1）A＝{－1，1}，B＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}； 解：（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}； 解：（2）集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⫋B. （3）A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}； 解：（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⫋B. （4）M＝{x｜x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N*}； 解：（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⫋M. （5）A＝{x｜x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x｜x＝a2－4a＋5，a∈R}. 解：（5）A＝{x｜x＝a2＋1，a∈R}＝{x｜x≥1}，B＝{x｜x＝（a－2）2＋1，a∈R}＝{x｜x≥1}，所以A＝B. 通性通法 判断集合间关系的常用方法 【跟踪训练】 1.下列各组两个集合A和B表示同一集合的是（　　） A.A＝{π}，B＝{3.14} B.A＝{2，3}，B＝{（2，3）} C.A＝{1，，π}，B＝{π，1，｜－｜} D.A＝{x∈N｜－1＜x≤1}，B＝{1} 解析：C　A选项中集合A中的元素为无理数，而B中的元素为有理数，故A≠B； B选项中集合A中的元素为实数，而B中的元素为有序数对，故A≠B； C选项中｜－｜＝，则集合A＝{1，，π}，B＝{π，1，}，故A＝B； D选项中集合A中的元素为0，1，而B中的元素为1，故A≠B.故选C. 2.若集合M＝，N＝{x｜x＝＋，k∈Z}，则集合M，N之间的关系是　M⫋N　. 解析：因为M＝ ＝， N＝＝. 若x∈M，则x＝＝. 因为k∈Z，所以2k－1∈Z，所以x∈N，所以M⊆N， 又因为0∈N，0∉M，所以M⫋N. 题型二｜确定有限集合的子集、真子集及其个数 【例2】　（链接教科书第11页例1）（1）集合M＝{1，2，3}的真子集个数是（　B　） A.6　 B.7 C.8　 D.9 解析：集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集.故选B. （2）〔多选〕下列各个选项中，满足{x｜x2－2x－3＝0}⊆A⫋{－1，0，1，3}的集合A有（　AC　） A.{－1，3}　 B.{－1，1} C.{－1，0，3}　 D.{－1，0，1，3} 解析：因为x2－2x－3＝（x－3）（x＋1）＝0，即有{－1，3}⊆A⫋{－1，0，1，3}，所有满足条件的集合A为{－1，3}，{－1，0，3}，{－1，1，3}.故选A、C. 通性通法 1.求集合子集、真子集个数的3个步骤 2.与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： （1）A的子集的个数为2n个； （2）A的真子集的个数为2n－1个； （3）A的非空真子集的个数为2n－2个. 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x｜x＝2a＋b，a∈A，b∈B}的子集个数为（　　） A.8　 B.16 C.32　 D.64 解析：B　因为A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，x＝2a＋b，a∈A，b∈B， 所以当a＝1，b＝3时，x＝2×1＋3＝5， 当a＝1，b＝5时，x＝2×1＋5＝7， 当a＝2，b＝3时，x＝2×2＋3＝7， 当a＝2，b＝5时，x＝2×2＋5＝9， 当a＝3，b＝3时，x＝2×3＋3＝9， 当a＝3，b＝5时，x＝2×3＋5＝11， 所以C＝{5，7，9，11}，所以集合C的子集个数为24＝16.故选B. 2.若集合A＝{x｜x2－3x＝0}，B＝{0，1，2，3}，则满足A⊆M⊆B的集合M的个数是　4 　. 解析：因为集合A＝{x｜x2－3x＝0}＝{0，3}，B＝{0，1，2，3}，因为A⊆M⊆B，故M有元素0，3，且可能有元素1或2，所以M＝{0，3}或M＝{0，1，3}或M＝{0，2，3}或M＝{0，1，2，3}，故满足A⊆M⊆B的集合M的个数为4. 题型三｜由集合间的关系求参数值（范围） 角度1　由集合相等求参数 【例3】　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值. 解：∵A＝B，∴或 当时，消去b得ac2＋a－2ac＝0. 若a＝0，则a＝ac＝ac2＝0，不满足集合中元素的互异性， ∴a≠0，∴c2－2c＋1＝0，∴c＝1，此时a＝ac＝ac2＝a，不满足集合中元素的互异性，舍去. 当时，消去b得2ac2－ac－a＝0. ∵a≠0，∴2c2－c－1＝0. 而c≠1，∴c＝－. 将c＝－代入得b＝－a. 从而可得A＝，B＝，满足题意. 故c的值为－. 通性通法 由集合相等求参数的方法 　　解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的思想方法呈现所有可能的对应情况即可.另外，需注意检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性. 角度2　已知包含关系求参数 【例4】　（链接教科书第11页例2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⫋A，求实数m的取值范围. 解：①当B≠∅时，如图所示. ∵B⫋A，∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时，由m＋1＞2m－1，得m＜2，此时B⫋A. 综上可得，m的取值范围是（－∞，3]. 【母题探究】 1.（变条件）在本例条件下，若B⊆A，求实数m的取值范围. 解：当B＝∅时，m＋1＞2m－1，即m＜2. 当B≠∅时，解得即2≤m≤3. 综上可知，m的取值范围为（－∞，3]. 2.（变条件）在本例条件下，若A⫋B，求实数m的取值范围. 解：∵A⫋B. ∴或 即或 ∴不存在m使A⫋B. 通性通法 　　应用集合关系求参数的4个步骤 【跟踪训练】 1.设集合A＝{1，a}，B＝{a＋1，a2，3}，若A⊆B，则a＝（　　） A.3　 B.1 C.0　 D.－1 解析：C　因为A＝{1，a}，B＝{a＋1，a2，3}且A⊆B，所以1∈B，则a＋1＝1或a2＝1，解得a＝0或a＝1或a＝－1.当a＝0时，A＝{1，0}，B＝{1，0，3}，符合题意；当a＝1时，集合A不满足元素的互异性，故舍去；当a＝－1时，A＝{1，－1}，B＝{1，0，3}，不满足A⊆B，故舍去.同理a∈B，则a＝a2或a＝3，即a＝0或a＝1或a＝3，由以上分析可知a＝0符合题意，a＝1不符合题意，当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{4，9，3}，不符合题意.综上可得a＝0.故选C. 2.已知a∈R，b∈R，若集合{a，，1}＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 025的值为（　　） A.－2　 B.1 C.－1　 D.2 解析：B　∵，∴a≠0.∵{a，，1}＝{a2，a＋b，0}，∴＝0，即b＝0，∴{a，0，1}＝{a2，a，0}，∴当时，a＝－1或a＝1.当a＝1时，即得集合{1，0，1}，不符合元素的互异性，故舍去.当时，a＝1，即得集合{1，0，1}，不符合元素的互异性，故舍去.综上，a＝－1， b＝0，∴a2 024＋b2 025＝（－1）2 024＋02 025＝1.故选B. 1.已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x｜x∈P且x∉Q}，则M＝（　　） A.{1}　 B.{2} C.{1，2}　 D.{1，2，3} 解析：A　集合M由在P中且不在Q中的元素构成，则M＝{1}.故选A. 2.已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a＋3}，若A＝B，则a等于（　　） A.－1或3　 B.0或－1 C.3　 D.－1 解析：C　因为A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a＋3}，若 A＝B，则a2＝2a＋3，解得a＝3或a＝－1.又因为集合元素的互异性，所以a≠－1，即a＝3.故选C. 3.若集合A＝{x｜x＝3k，k∈Z}，B＝{x｜x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是（　　） A.A⊆B　 B.A⊇B C.A⫋B　 D.B⫋A 解析：D　依题意，集合A的元素是3的倍数，集合B的元素是6的倍数，所以集合B是集合A的真子集.故选D. 4.〔多选〕已知集合A＝{x｜ax≤4}，B＝{4，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（　　） A.－1　 B.1 C.－2　 D.2 解析：ABC　因为B⊆A，所以4∈A，∈A，则解得a≤1.故选A、B、C. 5.集合{x∈N*｜∈Z}的真子集的个数是　7　. 解析：由题意得，x为4的正因数，故{x∈N*｜∈Z}＝{1，2，4}，所以此集合的真子集个数为23－1＝7. 1.若x，y∈R，A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝{（x，y）｜＝1}，则集合A，B间的关系为（　　） A.A⫋B　 B.B⫋A C.A＝B　 D.A⊆B 解析：B　B＝{（x，y）｜＝1}＝{（x，y）｜y＝x且x≠0}，所以B⫋A.故选B. 2.设集合A＝{x∈N｜y＝∈N}，则集合A的子集个数为（　　） A.4　 B.16 C.8　 D.9 解析：B　由A＝{x∈N｜y＝∈N}＝{0，1，3，9}，则集合A的子集个数为24＝16.故选B. 3.下列各式中：①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}.正确的个数是（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 解析：B　①集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0，1，2}⊆{2，1，0}，正确； ③空集是任意集合的子集，故∅⊆{0，1，2}，正确； ④空集没有任何元素，故∅≠{0}，错误； ⑤两个集合所研究的对象不同，故{0，1}，{（0，1）}为不同集合，错误； ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误； ∴②③正确.故选B. 4.若集合A＝{x∈N＋｜x是2n与3n的公倍数，n∈N＋}，B＝{x｜x＝6n，n∈N＋}，则下列选项正确的是（　　） A.A⊇B　 B.A⊆B C.A＝B　 D.以上选项均不正确 解析：C　由于A＝{x∈N＋｜x是2n与3n的公倍数，n∈N＋}，故A＝{x∈N＋｜x是6n的倍数，n∈N＋}，B＝{x｜x＝6n，n∈N＋}，故A＝B.故选C. 5.〔多选〕下列集合中，与{1，2}相等的是（　　） A.{，（－2）0} B.{x∈N｜｜x｜≤2} C.{x｜x2－3x＋2＝0} D. 解析：AC　A，{，（－2）0}＝{1，2}，可选； B，{x∈N｜｜x｜≤2}＝{0，1，2}，与{1，2}不相等，不选； C，{x｜x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，可选； D，＝{（1，2）}，与{1，2}不相等，不选.故选A、C. 6.已知集合A＝{－1，1，m}，集合B＝{1，m2}，若B⊆A，则实数m＝　0　. 解析：因为B⊆A，所以m2＝m，解得m＝1（舍去，不满足集合元素互异性）或m＝0. 7.若a∈R，集合A＝{1，a，a＋2}，B＝{1，3，5}，且A＝B，则a＝　3 　. 解析：∵A＝B，∴解得a＝3，或无解，所以a＝3. 8.若集合{x｜mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则2n－m＝　1　. 解析：当m＝0时，x＝，即n＝，则2n－m＝1；当m≠0时，Δ＝4－4m＝0，解得m＝1，此时x＝1，即n＝1，则2n－m＝1.综上，2n－m＝1. 9.设集合A＝{x｜－1≤x＋1≤6}，B＝{x｜m－1＜x＜2m＋1}. （1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数； （2）若A⊇B，求m的取值范围. 解：化简集合A，得A＝{x｜－2≤x≤5}. （1）∵x∈Z， ∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， 即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集数为28－2＝254（个）. （2）①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅⊆A； ②当m＞－2时， B＝{x｜m－1＜x＜2m＋1}， 因此，若要B⊆A， 则只要⇒－1≤m≤2. 综上所述，m的取值范围是{m｜－1≤m≤2，或m≤－2}. 10.满足{x｜x2－2x－3＝0}⊆A⫋{－1，0，1，2，3}的集合A的个数为（　　） A.5　 B.6 C.7　 D.8 解析：C　方程x2－2x－3＝0的两实根分别为x1＝3，x2＝－1，则{x｜x2－2x－3＝0}＝{－1，3}.因为{x｜x2－2x－3＝0}＝{－1，3}⊆A⫋{－1，0，1，2，3}.那么A中一定包含－1和3，且A是{－1，0，1，2，3}的真子集.除了－1和3之外，A还可以包含{0，1，2}中的部分元素.根据真子集个数的结论知道，总共有23－1＝7种情况.故选C. 11.已知∅≠A⊆Z，对于k∈A，k－1∉A且k＋1∉A，则称k为A的“孤立元”.给定集合A＝{x∈N*｜－1＜x≤5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（　　） A.5　 B.7 C.13　 D.15 解析：C　已知集合A＝{1，2，3，4，5}，在A的所有子集中，“孤立元”只有1的集合为{1}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}；“孤立元”只有2的集合为{2}，{2，4，5}；“孤立元”只有3的集合为{3}；“孤立元”只有4的集合为{4}，{1，2，4}；“孤立元”只有5的集合为{5}，{1，2，5}，{2，3，5}，{1，2，3，5}.综上，满足题意的集合有13个.故选C. 12.已知集合A＝{x｜｜x－a｜＝4}，集合B＝{1，2，b}. （1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由； （2）若A⊆B成立，求出对应的实数对（a，b）. 解：（1）对于任意实数b都有A⊆B，当且仅当集合A中的元素为1，2时成立. ∵A＝{a－4，a＋4}， ∴或 解方程组可知无解. ∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B. （2）由（1）易知，若A⊆B， 则或 或或 解得或或或 则所求实数对为（5，9）或（6，10）或（－3，－7）或（－2，－6）. 13.设集合U＝{2，3，5，6，9}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是　{3，5，9}　. 解析：不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1＋5＋10＋10＝26＞23，故排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为{5，6，9}，第25位的子集为{3，6，9}，第24位的子集为{2，6，9}，第23位的子集为{3，5，9}. 14.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.设4∈{－a，，a2}，则满足条件的所有a组成的集合为A，集合B＝. （1）求集合A； （2）若A，B两个集合可以构成“全食”或“偏食”，求实数b的值. 解：（1）由题意可知，＝｜a｜≠－a，故a＞0， 所以＝4或a2＝4，解得a＝4或a＝2， 故A＝{4，2}. （2）当b＝0时，B＝∅，则满足B是A的真子集，此时A与B构成“全食”； 当b＞0时，B＝，此时A与B无法构成“全食”，可构成“偏食”， 则＝4或＝2，解得b＝1或b＝2. 故b的值为0或1或2. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $