1.1.2 集合的基本关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集的定义与性质，集合相等的判定，空集的含义及维恩图的应用，作为集合概念的延伸，为后续集合运算搭建基础学习支架。 资料以生活情境（如开学季班级、IMO竞赛）导入，通过维恩图和数轴直观呈现集合关系，培养数学眼光中的几何直观。例题与跟踪训练层层递进，结合分类讨论求参数，发展数学思维的逻辑推理，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

1．1.2　集合的基本关系 新课导入 学习目标 本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组成集合A，其中高一(1)班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系． 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2．能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 3．在具体情境中，了解空集的含义． 知识点一　子集和真子集的判断 第67届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)于2026年在中国上海举行，设全部参赛选手组成集合A，中国参赛选手组成集合B. 思考1　集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗？ 提示：不是． 思考2　集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素吗？ 提示：都是． [知识梳理] 1．子集与真子集的定义 类别 文字语言 符号语言 图形语言 结论 子 集 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) (1)A⊆ A，∅⊆A (2)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C 真 子 集 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) (1)若AB，BC，则AC (2)若A⊆B且A≠B，则AB 2.维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图． 点拨　(1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A，空集是任意一个非空集合B的真子集，即∅B. (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则 A⊆C； 对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC. (4)如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A. [例1] (对接教材例3)指出下列各组集合之间的关系． (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}； (4)A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x－1<8}． 【解】　(1)因为B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}， 所以A⊇B. (2)A，B两个集合都表示由正方形构成的集合，故A＝B. (3)集合M与集合N都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，所以1∈M, 且1∉N，故N⊆M. (4)A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x－1<8}， 则集合B＝{x|x<9}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. 判断集合间关系的常用方法 注意　用数轴表示集合时，如果端点处带“＝”，在数轴上端点处画实点；如果端点处不带“＝”，在数轴上端点处画虚点． [跟踪训练1] (1)已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则(　　) A．1∉M B．－1⊆M C．{－1，1}⊆M D．{－1，1}∈M 解析：选C．集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，A错误；－1∈M，元素与集合不能用“⊆”符号，B错误；根据子集的定义，有{－1，1}⊆M，C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用“∈”符号，D错误． (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： ①A________B；②A________C； ③{2}________C；④2________C. 解析：A＝{1，2}，B＝{1，2}，C＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故①A＝B；②AC；③{2}C；④2∈C. 答案：①＝　②　③　④∈ 知识点二　子集与真子集的个数问题 [例2] (对接教材例1)已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}． (1)写出集合A的子集、真子集； (2)求集合B的子集数、真子集数和非空真子集数． 【解】　(1)A的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为∅，{0}，{1}． (2)B的子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}． 所以B的子集数为8，真子集数为7，非空真子集数为6. (1)求集合的子集或真子集的思路 (2)求集合的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：∅和自身． ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，做到不重不漏． 常用结论　若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有(2n－1)个；A的非空真子集有(2n－2)个． [跟踪训练2] (1)已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：选D．满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有5个． (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， 所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 所以A的所有子集为：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 应用点　由集合间的关系求参数 [例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m(m>1)}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． 【解析】　由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4. 又m>1，所以实数m的取值范围是{m|1<m≤4}． 【答案】　{m|1＜m≤4} 母题探究　本例若将“B＝{x|1<x<m(m>1)}”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则由例题解析可知1＜m≤4. 综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤4}． 由集合间的关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注意　(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有参数时，一般需要分类讨论． [跟踪训练3] (1)(2026·德州月考)已知集合A＝{0，－1}，B＝{0，1，2－a}，若A，B关系如图所示，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 解析：选D．由题图可知A⊆B，则－1＝2－a，所以a＝3. (2)设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围是________． 解析：因为A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，又A⊆B， 所以a≤1. 答案：{a|a≤1} 1．(教材P14练习BT1改编)集合{1，3}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：选A．集合{1，3}的子集有∅，{1}，{3}，{1，3}，共4个． 2．已知集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是(　　) A．AB B．A＝B C．BA D．B⊆A 解析：选A．因为A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x≥1}，所以AB.故选A． 3．(多选)已知集合M＝{0，1}，则下列式子正确的是(　　) A．0∈M B．{1}∈M C．∅⊆M D．{0，1}⊆M 解析：选ACD．因为M＝{0，1}，所以0∈M，1∈M，∅⊆M，{0，1}⊆M，故A，C，D均正确，B错误． 4．(2026·日照月考)已知集合A＝{1，2，3}． (1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M; (2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合． 解：(1)因为M⊆A，3∈M，所以集合M可能为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}． (2)当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A; 当a≠0时，B＝， 若B⊆A，则＝1或＝2或＝3， 解得a＝3或a＝或a＝1.综上所述，实数a的取值集合为. 1．已学习：子集、真子集的概念与性质、集合相等、空集． 2．须贯通：利用列举法、维恩图及数轴判定两集合的关系，维恩图和数轴都体现了数形结合的数学思想． 3．应注意：(1)混淆子集和真子集的概念； (2)在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $