1.1.1 第一课时 集合的含义-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦集合的含义及表示方法核心知识点，通过开学教育通知等实例引入，系统梳理元素与集合的概念、属于关系、空集及常用数集，构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 资料以生活实例激发兴趣，通过“想一想”引导思考元素确定性与互异性，培养数学抽象与逻辑思维。课中助力教师引导学生从现实到数学，课后练习题与母题探究帮助学生巩固集合元素特性等知识，查漏补缺。

1.1.1　集合及其表示方法 课标要求 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、直观想象）. 3.在具体情景中，了解空集的含义（数学抽象）. 第一课时　集合的含义 　　9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午3点钟开始在班级进行开学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书. 【问题】　（1）这个通知的对象有哪些？ （2）某学生看了这个通知，他能否确定自己应该参加哪项活动？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　元素与集合的概念 1.集合与元素 2.集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全　相同　，就称这两个集合相等，记作A＝B. 3.集合元素的特性 【想一想】 1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等. 2.某班所有的高个子男生能否组成一个集合？ 提示：某班所有的高个子男生不能组成集合，因为高个子男生没有明确的标准. 3.某班身高大于175 cm的男生能否组成一个集合？ 提示：某班身高大于175 cm的男生能组成一个集合，因为标准确定. 知识点二　元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合 A的元素 a　∈　A a属于A 不属于 a不是集合 A的元素 a　∉　A a不属于A 【想一想】 1.元素与集合之间有第三种关系吗？ 提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果. 2.符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？ 提示：∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合. 知识点三　空集、常用数集、集合的分类 1.空集 （1）定义：　不含任何元素　的集合； （2）符号：　∅　. 2.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3.集合的分类 （1）集合 （2）空集是　有限　集. 　　提醒：N与N*的区别：N中的元素是从0开始的非负整数，N*中的元素是从1开始的正整数. 1.以下元素的全体能构成集合的是（　　） A.中国古代四大发明 B.接近于1的所有正整数 C.未来世界的高科技产品 D.地球上的小河流 解析：A　中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足；地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足.故选A. 2.用“book”中的字母组成的集合中元素个数为（　　） A.1　　　　　　　 B.2 C.3　 D.4 解析：C　由集合中元素的互异性可知，该集合中共有b，o，k三个元素. 3.下列元素与集合的关系判断正确的是　①④　（填序号）. ①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤∉R. 解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π∉Q，∉Q，－1∈Z，∈R. 4.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为　0或－1　. 解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3， －1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，实数a的值为0或－1. 题型一｜集合的相关概念 【例1】　2025年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级.则下列对象能组成一个集合的是哪些？并说明你的理由. （1）你所在班级的全体同学； 解：班级的全体同学是确定的，所以可以组成一个集合. （2）班级中比较胖的同学； 解：因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合. （3）班级中体重超过75 kg的同学； 解：因为“体重超过75 kg”是确定的，所以可以组成一个集合. （4）学习成绩比较好的同学； 解：因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合. （5）总分前五名的同学. 解：因为“总分前五名”是确定的，所以可以组成一个集合. 通性通法 判断一组对象能否组成集合的标准 　　判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【跟踪训练】 1.给出下列表述：①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程x2＋x－1＝0的实数根；④全国著名的高等院校.以上能组成集合的是（　　） A.①③　 B.①② C.①②③　 D.①②③④ 解析：A　① 联合国安全理事会常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以组成集合. ②中的元素是不确定的，不满足集合中元素确定性的条件，不能组成集合. ③方程x2＋x－1＝0的实数根是确定的，所以能组成集合. ④全国著名的高等院校.不满足集合中元素确定性的条件，不能组成集合.故选A. 2.下列元素的全体能构成集合的是（　　） A.某学校个子高的学生 B.巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C.2025年参加全国“两会”的代表 D.π的近似值 解析：C　A选项，个子高是不明确的说法，不能构成集合，A错误；B选项，受欢迎是不明确的说法，不能构成集合，B错误；C选项，2025年参加全国“两会”的代表是明确的，能构成集合，C正确；D选项，精确度未确定的情况下，π的近似值是不明确的说法，不能构成集合，D错误.故选C. 题型二｜元素与集合的关系 【例2】　（1）〔多选〕下列关系中，正确的是（　ABC　） A.∈R　 B.∉Q C.｜－3｜∈N　 D.0∈∅ （2）若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为　2，1，0　. 解析：（1）是实数，是无理数，｜－3｜＝3是自然数，空集中没有元素.因此，A、B、C正确，D错误. （2）由题意可得：3－x可以为1，2，3，6，且x为自然数，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0. 通性通法 1.判断元素与集合关系的2种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可； （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 2.已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素.反之，当a∉A时，结论恰恰相反. 利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验. 【跟踪训练】 1.下列关系中，正确的是（　　） A.－2∈N*　 B.∈Z C.π∉Q　 D.5∉N 解析：C　对于A，－2是负整数，则－2∉N*，A错误； 对于B，是分数，则∉Z，B错误； 对于C，π是无理数，则π∉Q，C正确； 对于D，5是自然数，则5∈N，D错误.故选C. 2.已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为　3　. 解析：∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3. 题型三｜集合中元素的特性及应用 【例3】　（链接教科书第9页练习B组4题）已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为　－1　. 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性， ∴a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴a＝－1. 【母题探究】 1.（变条件）本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值. 解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.当a＝2时A中两个元素是2和4，符合元素的互异性； 当a＝时A中两个元素是和2，符合元素的互异性； 当a＝－时，A中两个元素是－和2，符合元素的互异性. 故所求实数a的值是2或或－. 2.（变条件）本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1. 通性通法 　　根据集合中元素的特性求解参数取值（范围）的3个步骤 【跟踪训练】 1.若方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 解析：C　方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的实数根分别是2，3和2，－1，又集合中的元素具有互异性，所以集合M中的元素个数为3.故选C. 2.已知集合A中有两个元素1－a，a2－2a－1，若2∈A，则a＝　3　. 解析：因为集合A中有两个元素1－a，a2－2a－1，且2∈A，则或 满足的a不存在，满足的a的值为3.故a＝3. 1.下列选项中能组成集合的是（　　） A.某电视台著名节目主持人 B.我市跑得快的汽车 C.我市在2025年9月1日前注册的中学生 D.数学必修第一册课本中所有的难题 解析：C　∵组成集合的元素具有确定性，选项A、B、D中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确.故选C. 2.若a，b，c，d为集合A中的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（　　） A.菱形　 B.平行四边形 C.梯形　 D.正方形 解析：C　由a，b，c，d为集合A中的4个元素，得a，b，c，d两两不相等， 而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等，则以a，b，c，d为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形.又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是梯形.故选C. 3.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.N*中最小的数是1 B.若－a∉N*，则a∈N* C.若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 解析：AC　因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对B，若a＝，则满足－a∉N*，但a∉N*，B错误；对D，x2＋4＝4x的解集中只有一个元素2，D错误.故选A、C. 4.已知集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，则a的值为　2或4　. 解析：当a＝2时，2∈A，且6－2＝4∈A；当a＝4时，4∈A，且6－4＝2∈A；当a＝6时，6－6＝0∉A，所以a的值为2或4. 1.2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关2024巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（　　） A.全体参赛国家 B.全体裁判员 C.全体荣获金牌的运动员 D.全体表现较好的运动员 解析：D　根据集合元素的确定性可以判断A、B、C正确；对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确.故选D. 2.下列关系中正确的是（　　） A.π∉R　 B.－∈Q C.－3∈Z　 D.0∉N 解析：C　对于A，R表示实数集，所以π∈R，说法错误；对于B，Q表示有理数集，所以－∉Q，说法错误；对于C，Z表示整数集，所以－3∈Z，说法正确；对于D，N表示自然数集，所以0∈N，说法错误.故选C. 3.若集合A有三个元素1，2，x2，则x的值可以是（　　） A.　 B.1 C.0，2　 D.－1，－ 解析：C　因为集合A有三个元素1，2，x2，所以x2≠1且x2≠2，所以x≠±1且x≠±，即x可以是实数范围内除去±1和±的任何值，显然四个选项中只有选项C符合. 4.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（　　） A.2∈A，且2∈B B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B C.2∈A，且（3，10）∈B D.（3，10）∈A，且2∈B 解析：C　集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C. 5.〔多选〕已知不超过5的实数组成的集合为M，a＝＋，则（　　） A.a∈M　 B.a＋1∉M C.∈M　 D.a2∉M 解析：ACD　对于A，因为a＝＋＜＋＝4＜5，所以a∈M，所以A正确；对于B，因为a＋1＝＋＋1＜＋＋1＝4＋1＝5，所以a＋1∈M，所以B错误；对于C，因为a＝＋，所以＝＝＝－＜5，所以∈M，所以C正确；对于D，因为a＝＋，所以a2＝＝5＋2＞5，所以a2∉M，所以D正确.故选A、C、D. 6.用符号“∈”或“∉”填空：（1）若A为所有亚洲国家组成的集合，则泰国　∈　A；（2）　∉　Q，　∈　Q. 解析：（1）因为泰国属于亚洲，所以泰国∈A.（2）因为Q表示有理数集，不是有理数，是有理数，所以∉Q，∈Q. 7.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b　∉ 　A，ab　∈　A.（填∈或∉） 解析：∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A. 8.已知集合A中有4，x－4，x－7三个元素，若7∈A，则x＝　14　. 解析：因为7∈A，A＝{4，x－4，x－7}，所以当x－4＝7时，x＝11，x－7＝4，A＝{4，7，4}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当x－7＝7时，x＝14，x－4＝10，A＝{4，7，10}，符合题意. 9.已知非零实数a，b，代数式＋＋的值组成集合M，则下列结论正确的是（　　） A.0∈M　 B.－1∈M C.3∉M　 D.－1∉M 解析：B　当a，b均为正数时，代数式＋＋＝＋＋＝3；当a，b为一正一负时，代数式＋＋＝＋＋＝－1或＋＋＝＋＋＝－1；当a，b均为负数时，代数式＋＋＝＋＋＝－1.故集合M＝{－1，3}.故选B. 10.非空集合A具有下列性质：（1）若x，y∈A，则∈A；（2）若x，y∈A，则x＋y∈A.下列判断一定成立的是　①②③　.（填题编号） ①－1∉A；②∈A；③x，y∈A，则xy∈A；④若x，y∈A，则x－y∉A. 解析：对于①，若－1∈A，则＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A，而对于x＝－1∈A，y＝0∈A时，无意义，不满足∈A，故①正确；对于②，若x≠0，x∈A，则1＝，∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A，…，依次类推，对任意n∈N*，n∈A，∴2 024∈A，2 025∈A，∴∈A，故②正确；对于③，若x，y∈A，则x≠0，y≠0，由②的解析过程可知，x，y∈A，1∈A，∈A，∴＝xy∈A，故③正确；对于④，由②解析过程可知，1，2∈A，取x＝2，y＝1，则x－y＝1∈A，故④错误. 11.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. （1）求实数x应满足的条件； （2）若－2∈A，求实数x的值. 解：（1）根据集合中元素的互异性，可知 即x≠0且x≠3且x≠－1. （2）因为x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，且－2∈A， 所以x＝－2. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $