1.1.1 第1课时 集合的概念-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦集合的概念这一核心知识点，从生活分类实例导入，系统梳理集合与元素的含义、元素与集合的属于关系，深入分析元素的确定性、互异性、无序性三大特性，最后识记常用数集符号，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以图书馆书籍分类等生活实例导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过思考问题链抽象集合概念，发展数学思维中的推理意识。例题结合元素互异性等特征应用，强化数学语言表达，课中助力教师引导探究，课后跟踪训练与总结帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1．1　集　合 1．1.1　集合及其表示方法 第1课时　集合的概念 新课导入 学习目标 　　在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类．例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更清晰的认识． 1.通过实例，了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．会利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题． 3．识记常用数集的表示符号． 知识点一　集合的概念、元素与集合的关系 研究下面的例子，回答问题： (1)2026级聪明的学生； (2)的近似值； (3)直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点； (4)所有奇数． 思考1　以上各例的研究对象是什么？ 提示：分别研究学生、近似值、点、奇数． 思考2　哪个例子中的对象划分标准不确定？ 提示：(1)、(2)所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰． 思考3　(3)、(4)例子中的对象有什么共同特征？ 提示：两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对象的全体． [知识梳理] 1．集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母A，B，C，…表示． 2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示． 3．元素与集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于A 点拨　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 4．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅． [例1] (1)(多选)(2026·德州月考)下列所给对象能构成集合的是(　　) A．平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B．高中数学必修第一册课本上的所有难题 C．参加2026年足球世界杯的48支球队 D．接近211的所有正整数 (2)设不等式3－2x<0的解集为M，则下列判断正确的是(　　) A．0∈M，2∈M B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M 【解析】　(1)A，C能构成集合，二者有确定的判断标准．A中元素是“到原点的距离等于1的点”，C中元素是“参加2026年足球世界杯的48支球队”，B，D项的对象不能构成集合，因为“难题”与“接近”标准不明确． (2)当x＝0时，3－2x＝3>0，故0∉M，排除A，C；当x＝2时，3－2x＝－1<0，故2∈M，排除D．故选B． 【答案】　(1)AC　(2)B (1)一组对象能构成集合的两个条件 ①能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． ②该组对象是不同的． (2)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的． ②推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． [跟踪训练1] (1)设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　) A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M 解析：选B．因为<2，不符合集合M中元素的特征，所以a∉M. (2)设集合D是由满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1______D，(－1，1)______D(填“∈”或“∉”). 解析：因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1不是有序实数对，所以－1∉D. 因为(－1)2＝1，所以(－1，1)是满足方程y＝x2的有序实数对，所以(－1，1)∈D. 答案：∉　∈ 知识点二　集合分类、元素的特征及应用 [知识梳理] 1．集合元素的特点 (1)确定性：集合的元素必须是确定的． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列． 2．集合的分类 (1)集合 (2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． [例2] (1)设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中元素个数为(　　) A．6 B．3 C．4 D．5 (2)已知集合A中含有两个元素a和a2，若 1∈A，则实数a的值为________． 【解析】　(1)由集合中元素的互异性可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素．故选D． (2)若1∈A，则a＝1或a2＝1， 即a＝±1. 当a＝1时，集合A中只含有一个元素1，所以a≠1； 当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1. 【答案】　(1)D　(2)－1 母题探究　若本例(2)条件变为：已知集合A中含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值． 解：由a∈A可知，a＝1或a＝a2. 当a＝1时，此时a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾， 所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去). 综上可知，a＝0. 根据集合中元素的特征求值的步骤 (1)求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值． (2)检验：根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验． (3)作答：写出所有符合题意的字母的取值． 注意　判断两个集合相等要注意其中的元素不一定是按顺序对应相等的. [跟踪训练2] (1)下列说法中正确的是 (　　) A．单词“book”的所有字母组成的集合的元素共有4个 B．由元素3，构成的集合与由元素3，2构成的集合是相等的 C．将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合 D．由元素3，4构成的集合与由(3，4)构成的集合是相等的 解析：选B．单词“book”中共有3个不同的字母，故组成的集合中有3个元素，A 不正确．因为＝2，所以由元素3，构成的集合与由元素3，2构成的集合是相等的，B正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成集合的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关，C不正确．元素3，4是数，(3，4)表示点，两者构成的集合不同，D不正确． (2)已知集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝________． 解析：因为P＝Q，所以a2＝4，所以a＝±2. 答案：±2 知识点三　几种常见的数集 [知识梳理] 数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N＋或N* Z Q R [例3] (1)(多选)下列关系中正确的为(　　) A．∈Q B．－1∉N C．π∉R D．|－4|∈Z (2)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14 B．－2 C． D． 【解析】　(1)因为是无理数，所以∉Q，故A错误；－1∉N，故B正确；因为π是实数，所以π∈R，故C错误；因为 |－4|＝4是整数，所以|－4|∈Z，故D正确． (2)由题意知a应为无理数，故a可以为. 【答案】　(1)BD　(2)D 常用数集之间的关系 实数集R [跟踪训练3] 下列结论中，不正确的是(　　) A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R 解析：选A．当a＝0时，－a∈N，故选A． 1．下列元素与集合的关系中，正确的是(　　) A．－1∈N B．0∉N＋ C．∉Q D．π2∈Z 解析：选B．－1∉N，0∉N＋，∈Q，π2∉Z.故选B． 2．(多选)(2026·东营月考)下列每组对象中能组成集合的是(　　) A．中国各地最美的乡村 B．所有的矩形 C．不小于3的自然数 D．倒数等于它本身的数 解析：选BCD．A中“最美”标准不明确，不符合确定性，B，C，D中的元素标准明确，均可构成集合． 3．英文单词Chinese的所有字母组成的集合共有________个元素． 解析：英文单词Chinese中不同的字母有C，h，i，n，e，s，共6个，故所有字母组成的集合共有6个元素． 答案：6 4．已知集合A中有两个元素a2和a－1，集合B中有两个元素0和－1，若A＝B，则a＝________． 解析：由于A＝B，且a2≥0， 所以解得a＝0，且符合题意． 答案：0 5．已知集合P中有三个元素－1，2a＋1，a2－1，若元素0是集合P中的元素，则实数a的值为________． 解析：依题意2a＋1＝0或a2－1＝0，解得a＝－或a＝±1.当a＝－时，a2－1＝－，符合题意；当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1, 不满足集合中元素的互异性，舍去．综上，实数a的值为－或1. 答案：－或1 1．已学习：集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合之间的关系． 2．须贯通：(1)集合与元素的关系，a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立； (2)求集合中的参数时常用到分类讨论思想． 3．应注意：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素； (2)集合中易忽略元素的互异性． 学科网（北京）股份有限公司 $