第26章 二次函数单元培优自测卷- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级二次函数单元培优自测卷，60分钟100分，适配基础测试与周测，融合各地模考真题，分层覆盖核心知识与素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|函数与x轴交点、旋转变换、对称轴与最值|结合图像分析，考查抽象能力与推理意识| |填空题|6/18|顶点坐标、函数值比较、不等式解集|通过几何直观，培养空间观念与数据意识| |解答题|7/58|解析式求解、利润最值、存在性问题|设置分层任务，发展模型意识与创新应用能力|

第26章 二次函数单元培优自测卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 3．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题，当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可． 解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴，解得， 则二次函数， 当时，函数有最小值； ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， 故选C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 6．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 7．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图像经过点，，，且，则m的值为（    ） A．3或 B．或 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；先将代入求得或，然后分类讨论，即可求解． 解：将代入 ∴ 解得：或， ∵对称轴为直线 当时，对称轴为直线， ∵，当时，随的增大而减小， ∵图像经过点，，， ∴，故不符合题意； 当时，对称轴为直线， ∵图像经过点，，， ∵， ∴，符合题意； 综上所述， 故选：C． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 【答案】或 【分析】先根据二次函数的顶点坐标公式求出该二次函数的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线，将已知点代入二次函数解析式，联立方程组求解即可得到的值． 解：∵二次函数的图象顶点为， 又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上， ∴， 整理得： 解得：或． 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合给定的横坐标范围，利用二次函数的增减性判断的大小． 解：∵二次函数解析式为，二次项系数， ∴，抛物线开口向上， 抛物线对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∵，即三个点的横坐标都在对称轴右侧，满足， ∴． 11．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 14．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26九年级下·青海西宁·开学考试）已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）；（2）图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. （1）解：． （2）略 16.（8分）（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： （1）点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． （1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 17.（8分）（2026·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，顶点为． （1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求的值． （2）①若，在已知的二次函数图象上，比较，的大小； ②求的面积． 【答案】（1）；（2）①；②1． 【分析】（1）求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解； （2）①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据P，Q到对称轴的距离大小求解； ②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标，进而求解． （1）解：二次函数图象向下平移3个单位后解析式为， 平移后图象过原点， ， 解得． （2）解：①， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远函数值越大， ，， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ． ②令，则， 解得，， ， ， 点C坐标为， ． 19.（8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． （2）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? （3）若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】（1）80；（2）当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元；（3）16 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解； （3）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． （1）解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 20.（8分）（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． （1）若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2） 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． （1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 21.（10分）（2026·辽宁鞍山·一模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， （1）求此抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 【答案】（1）；（2）存在点，使锐角三角形的面积等于3；（3）8 【分析】（1）根据抛物线对称轴解析式列式求出，再把点的坐标代入求出，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点的坐标，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式求出点到的距离，然后根据是锐角三角形判断点在轴下方，从而确定点的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出横坐标，从而得解； （3）根据点的坐标可得，然后求出，从而写出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标，再利用勾股定理求出、的长度，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可得解． （1）解：抛物线的对称轴是直线， 解得， 点在抛物线上， ， 解得． 所以此抛物线的表达式为； （2）解：存在． 理由如下：令，则， 解得，， 点在点左边， 点的坐标为， ， 设点到的距离为，则， 解得， 是锐角三角形， 点应该在轴的下方， 点的纵坐标为， 代入抛物线解析式得，， 即， 解得，， 又点在对称轴右边的图象上， 点的横坐标为2， 点的坐标为， 此时，过点作轴于点，则，， ，， ，是锐角， 是锐角三角形， 故存在点，使锐角三角形的面积等于3； （3）解：由（2）得， ， ， 点在直线上， 联立， 解得（舍去），， 点的坐标为， 根据勾股定理，， ， 所以的面积． 【点拨】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴，点在抛物线上，三角形的面积，直角三角形的面积以及直线与抛物线的交点的求解，难度不是很大，先求出抛物线的解析式是解题的关键，数据的巧妙设计也是本题的一大特点． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设，则，然后再分情况或，分别计算即可． （1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数单元培优自测卷【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图像经过点，，，且，则m的值为（    ） A．3或 B．或 C．3 D． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 11．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 14．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26九年级下·青海西宁·开学考试）已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 16.（8分）（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： （1）点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 17.（8分）（2026·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，顶点为． （1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求的值． （2）①若，在已知的二次函数图象上，比较，的大小； ②求的面积． 19.（8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． （2）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? （3）若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 20.（8分）（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． （1）若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 21.（10分）（2026·辽宁鞍山·一模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， （1）求此抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $