26.3 二次函数与一元二次方程【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以“二次函数与一元二次方程”为核心，通过前置梳理-巩固应用-拓展探究-中考衔接的分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|核心概念（交点与根的关系）|填空式梳理夯实基础| |巩固性作业|基础应用（交点个数判断、图像求根等）|题型分类+区域真题强化应用| |拓展性作业|综合应用（参数范围、截距计算）|含参数问题提升逻辑推理| |探究性作业|创新探究（方程固有根猜想）|猜想探究培养创新意识| |中考链接|中考实战（考点综合题）|中考真题对接阶段测评|

26.3 二次函数与一元二次方程【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1 判断抛物线与x轴交点个数】 2 【题型2 由函数图象求一元二次方程的根】 5 【题型3 估算一元二次方程的近似根】 9 三.拓展性作业 12 【题型1 根据交点情况求参数取值范围】 12 【题型2 抛物线与x轴的截距】 17 四.探究性作业 21 【题型】 猜想探究方程固有根 21 五.中考链接 25 六.自我评价 37 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，是一元二次方程 的__________。 2. 二次函数图象与 轴的交点个数与一元二次方程根的对应关系： （1）抛物线与 轴有两个公共点 方程有______的实数根，此时 __； （2）抛物线与 轴有一个公共点 方程有_____的实数根，此时 ___； （3）抛物线与 轴没有公共点 方程____实数根，此时 _______。 3. 利用二次函数图象可以估算一元二次方程的近似根，通过缩小自变量取值范围，精准逼近方程的实数根。 4. 抛物线在 轴上方的部分，对应函数值 ________；抛物线在 轴下方的部分，对应函数值 ________。 参考答案： 1. 实数根 2. （1）两个不相等；＞ （2）两个相等；＝ （3）没有；＜ 4. ＞；＜ 二.巩固性作业 【题型1 判断抛物线与x轴交点个数】 1．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先求出时，的值，再求出当时，判别式的值，由此即可得出交点个数． 解：∵， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，， 此时 即抛物线与轴无交点， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为1个， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东威海·期中）抛物线与坐标轴的交点个数为_______个． 【答案】3/三 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求抛物线与坐标轴的交点个数，分别计算抛物线与y轴和x轴的交点个数即可得出答案． 解：当时，，故与y轴交于点， 当时，解方程， 判别式， 方程有两个不相等的实数根， 故与x轴有两个交点， 因此，抛物线与坐标轴共有3个交点． 故答案为：3． 3．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知二次函数（a为常数且）． （1）若函数图象经过，求该二次函数的表达式． （2）若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． 【答案】（1）；（2）解：该二次函数图象与x轴无交点． 证明：令， ∵， ∴， ∴方程无实数解， ∴该二次函数图象与x轴无交点． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，可得，则方程无实数解，即该二次函数图象与x轴无交点． （1）解：将代入， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为． （2）略 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：关于x的二次函数， （1）当时，求图象与轴的交点坐标； （2）若图象与轴有一个交点，求的值． 【答案】（1）和；（2） 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题： （1）把代入可得函数解析式为，再令，求出x的值，即可； （2）根据且，即可求解． （1）解：当时，函数解析式为， 当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为和； （2）解：∵图象与轴有一个交点， ∴且， 即且， 解得：． 5．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）已知二次函数（是常数）图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 【答案】，． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，解一元二次方程，理解二次函数与轴的交点的含义，解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据函数图象与轴的一个交点为，把点代入得到，再解一元二次方程即可求解． 解：函数图象与轴的一个交点为， ， 解得， 一元二次方程为， 解得，． 【题型2 由函数图象求一元二次方程的根】 1．（25-26九年级上·广西百色·期末）已知二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．利用抛物线与轴的求交点是解题的关键；利用关于的一元二次方程的解一个为得到二次函数与轴的一个交点坐标为，然后利用抛物线的对称性得到二次函数与轴的另一个交点坐标为，从而得到方程另一个解． 解：关于的一元二次方程的解一个为， 二次函数与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 方程另一个解 故选：B 2．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的两个交点坐标为，可推出函数与函数关于y轴对称，则函数与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案． 解：由函数图象可知，函数与x轴的两个交点坐标为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的解是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·天津·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答： （1）方程的解是______． （2）方程的解是______． （3）方程的解是______． （4）方程的解的情况怎样？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）无解 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数与直线交点的横坐标是一元二次方程的解，是解决问题的关键． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （2）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （3）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （4）看二次函数与直线交点的情况，然后结合图象即可求出答案． 解：（1）由图象知，二次函数的图象交x轴于，两点， ∴方程的解为； 故答案为：； （2）由图象知，直线与二次函数的图象交于，两点， ∴方程的解为； 故答案为：； （3）由图象知，直线与二次函数的图象交于顶点， ∴方程的解为； 故答案为：； （4）由图象知，直线与二次函数的图象无交点， ∴方程无解． 【题型3 估算一元二次方程的近似根】 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 解：∵当时，；当时，， ∴在之间，二次函数的函数值由负变正， ∴方程的一个解x的范围是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京房山·期中）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 【答案】3.1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根。 解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程根的联系，解题的关键是根据一元二次方程对应的二次函数为，画出函数图象，与轴的交点，即为一元二次方程的根，即可． 解：∵对应的函数是，在平面直角坐标系内画出函数图象，如下： ∵函数与轴的交点坐标为，， ∴的近似根为：，． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 【答案】 【分析】首先画出二次函数的图象，然后利用图象求解即可． 解：方程的根是函数的图象与轴的公共点的横坐标． 作出二次函数的图象（如图）．    由图象可知方程有两个根，一个根在和0之间，另一个根在2和3之间．先求和0之间的根． 当时，； 当时，． 因此，是方程的一个近似根． 同理，2.4是方程的另一个近似根． 综上，方程的实数根为（根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可）． 【点拨】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解． 三.拓展性作业 【题型1 根据交点情况求参数取值范围】 1．（2026·贵州黔东南·一模）小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图像的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是（） A．，且 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是理解方程组的解与函数交点的关系．一次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征 解：一次函数的图象过定点， ， 把代入得： ， 整理得， 当时，两函数图象有一个交点， 即， 解得． 一次函数与二次函数的图象有2个交点，的取值范围是或． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线与轴有两个交点，则，进而求出答案． 解：∵函数的图象与x轴有两个交点， ∴ 解得， 故选：A． 故选：D 3．（2026·江苏无锡·二模）已知抛物线（m为常数）．若该抛物线与x轴只有一个交点，则______；若该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】抛物线与x轴只有一个交点，那么对应的一元二次方程只有一个实数根，利用根的判别式即可求出m的值；抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，那么在对称轴出抛物线的函数值一定要大于一次函数的函数值，且对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此列出不等式求解即可． 解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴， 解得； ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧， ∴当时，，即，且方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点拨】本题主要考查了抛物线与一元二次方程之间的关系，灵活运用所学知识是解题的关4．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一次函数的图象性质，二次函数的图象上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线与轴只有一个交点，得出，代入数值进行计算，即可作答． （2）理解题意，然后进行分类讨论，然后作图，求出直线的解析式为，再结合进行列方程组，得，再运用判别式进行列式计算，即可作答． 解：（1）∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． （2）∵抛物线的解析式为． 观察图象可知，当时，时，时，且，满足条件， 可得； 当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立①②得 并整理得： ， ∵， ∴， ∴满足条件， 综上所述，满足条件的a的值为或， 故答案为：或． 键． 【题型2 抛物线与x轴的截距】 1．（2026·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于，利用求解． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时，______． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，先证明为等腰直角三角形，可得，从而可得答案. 解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴该函数顶点的坐标为：， ∴ ， 解得：； 故答案为：4． 3．（2026·云南昆明·一模）已知抛物线 （1）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【答案】（1）证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）6 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解． 解：（1）略 （2）解：当时，， 令，则， 解得：或， ∴． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】（1）证明：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 四.探究性作业 【题型】 猜想探究方程固有根 1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2）写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 拓展应用： （3）已知，，且，满足，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； （2）根据根与系数的关系求得及的值，即可得到答案； （3）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案． 解：（1）∵一元二次方程的两个根是，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根为2和3，则有， ，， ∵二次项系数为1， ∴新方程为：； （3）∵m，n满足，， ∴m，n是方程的两根， ∴，， ∴． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．    （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象，写出函数的增减性； （4）拓展延伸： ①方程有______个实数根； ②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______； ③关于x的不等式的解集是______． 【答案】（1）0；（2）描点、连线，如图： （3）当或时，y随x的增大而减小；当或时，y随x的增大而增大；（4）①2； ② ；③或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）直接将代入函数解析式中求解即可； （2）根据表格数据描点、连线即可画出函数另一部分图象； （3）根据函数图象即可得出答案； （4）①根据图象，函数图象与直线有两个交点可得结论； ②根据函数图象与x轴的交点个数以及最小值，得到函数的图象与直线有4个交点时的a取值范围可得答案； ③在同一直角坐标系中画直线，根据图象，求得函数的图象位于直线的上方的点的横坐标的取值范围即可． （1）解：当时，，即； 故答案为：0； （2）略 （3）解：由图象可知，当或时，y随x的增大而减小；当或时，y随x的增大而增大； （4）解：①由图象得，函数图象与直线有两个交点， ∴方程有2个实数根； 故答案为：2； ②由图象知，函数有最小值，且与x轴有3个交点， ∴当函数的图象与直线有4个交点时，， 则方程有4个实数根时，a的取值范围是； 故答案为：； ③当时，由得或，同一直角坐标系中画直线，如图， 由图可知，当时，直线与函数无交点， 故当或时，函数的图象位于直线的上方， ∴不等式的解集是或．        五.中考链接 一、单选题 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 4．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 二、填空题 5．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 6．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 8．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． （1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 9．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】（1）；（2）；（3）证明：当时，，所以二次函数的图像不经过原点． 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． （1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）略 10．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． （1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1 判断抛物线与x轴交点个数】 2 【题型2 由函数图象求一元二次方程的根】 5 【题型3 估算一元二次方程的近似根】 9 三.拓展性作业 12 【题型1 根据交点情况求参数取值范围】 12 【题型2 抛物线与x轴的截距】 17 四.探究性作业 21 【题型】 猜想探究方程固有根 21 五.中考链接 25 六.自我评价 37 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，是一元二次方程 的__________。 2. 二次函数图象与 轴的交点个数与一元二次方程根的对应关系： （1）抛物线与 轴有两个公共点 方程有______的实数根，此时 __； （2）抛物线与 轴有一个公共点 方程有_____的实数根，此时 ___； （3）抛物线与 轴没有公共点 方程____实数根，此时 _______。 3. 利用二次函数图象可以估算一元二次方程的近似根，通过缩小自变量取值范围，精准逼近方程的实数根。 4. 抛物线在 轴上方的部分，对应函数值 ________；抛物线在 轴下方的部分，对应函数值 ________。 二.巩固性作业 【题型1 判断抛物线与x轴交点个数】 1．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 2．（25-26九年级上·山东威海·期中）抛物线与坐标轴的交点个数为_______个． 3．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知二次函数（a为常数且）． （1）若函数图象经过，求该二次函数的表达式． （2）若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：关于x的二次函数， （1）当时，求图象与轴的交点坐标； （2）若图象与轴有一个交点，求的值． 5．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）已知二次函数（是常数）图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 【题型2 由函数图象求一元二次方程的根】 1．（25-26九年级上·广西百色·期末）已知二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图是函数的图像．则方程的解是___________． 3．（24-25九年级上·天津·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答： （1）方程的解是______． （2）方程的解是______． （3）方程的解是______． （4）方程的解的情况怎样？ 【题型3 估算一元二次方程的近似根】 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京房山·期中）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 三.拓展性作业 【题型1 根据交点情况求参数取值范围】 1．（2026·贵州黔东南·一模）小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图像的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是（） A．，且 B． C． D．或 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏无锡·二模）已知抛物线（m为常数）．若该抛物线与x轴只有一个交点，则______；若该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，则m的取值范围是______． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______． 【题型2 抛物线与x轴的截距】 1．（2026·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时，______． 3．（2026·云南昆明·一模）已知抛物线 （1）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 四.探究性作业 【题型】 猜想探究方程固有根 1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2）写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 拓展应用： （3）已知，，且，满足，，求的值． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．    （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象，写出函数的增减性； （4）拓展延伸： ①方程有______个实数根； ②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______； ③关于x的不等式的解集是______． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 4．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 6．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．    三、解答题 8．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 9．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 10．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $