26.4 实际问题与二次函数【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过五级分层设计构建从概念梳理到中考实战的完整巩固路径，培养数学建模与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |前置作业|二次函数性质、实际应用四步法|填空形式夯实基础，强化符号意识与抽象能力| |巩固性作业|运动轨迹、几何面积、销售利润、拱桥模型四大典型应用|结合地方期中题，基础题型对应核心考点，培养几何直观| |拓展性作业|自变量受限、综合销售利润问题|含墙长限制等实际约束，提升推理能力与应用意识| |探究性作业|配方法应用、大豆种植密度优化|项目式学习情境，发展创新意识与数据观念| |中考链接|中考真题演练|涵盖选择、填空、解答题，衔接阶段测评需求|

26.4 实际问题与二次函数【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1】运动轨迹最值问题 2 【题型2】几何面积最值问题 6 【题型3】销售利润基础问题 13 【题型4】拱桥抛物线模型问题 17 三.拓展性作业 22 【题型1】 自变量受限的最值问题 22 【题型2】综合销售利润问题 28 四.探究性作业 32 五.中考链接 37 六.自我评价 49 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向______，在x=﹣b/2a处取得最______值；当a＜0时，抛物线开口向______，在x=处取得最______值。 2. 利用二次函数解决实际应用题的四步法： （1）审题，分析变量关系，列出_____________________； （2）结合实际情境，确定自变量的___________________； （3）利用二次函数顶点性质求解最大、最小值； （4）验证结果是否符合实际，写出最终答案。 3. 常见模型公式： 总利润 =（单件售价－单件进价）×销售量 几何面积：根据图形边长关系，构造二次函数求面积最值。 运动轨迹、拱桥问题：建立平面直角坐标系，利用抛物线解析式求解。 参考答案： 1. 上、小、下、大 2. 二次函数解析式、取值范围 二.巩固性作业 【题型1】运动轨迹最值问题 1.（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）体育课上，小华发现足球训练中，自己踢球射向球门的路线呈抛物线型，它的高度与时间的关系可以用公式表示． （1）在什么范围内，足球的高度逐渐增大？在什么范围内，足球的高度逐渐减小？ （2）经过多少时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 【答案】（1）当时，足球的高度逐渐增大，当时，足球的高度逐渐减小；（2）经过，足球到达它的最高点，最高点的高度是． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质： （1）求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可． （1）解：中，，， ． 抛物线的对称轴为直线． ∵， 当时，足球的高度逐渐增大，当时，足球的高度逐渐减小． （2）解：中，，， ． 经过，足球到达它的最高点，最高点的高度是． 2.（2026·河南周口·一模）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将配方成顶点式求解即可． 解： ∴当时，y取得最大值4， ∴水流喷出的最大高度是． 故选：D． 【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 3.（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则第______秒时炮弹所在高度最高． 【答案】10 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 解：∵此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等， ∴对称轴为直线, ∴炮弹位置达到最高时，时间是第10秒． 故答案为：10． 4.（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米． （1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响? （2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． 【答案】（1）不会，理由如下： 由题意得：该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得： ∴ 当时， ∴水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响 （2） 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握建模的数学思想是解题关键． （1）设该抛物线的解析式为，将点代入即可求出解析式；求出当时的函数值，即可判断； （2）由题意得直线的解析式为：，确定水流的高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式即可求解． （1）解：略． （2）解：由题意得， ∴直线的解析式为： 水流的高度与斜坡铅垂高度差， ∴水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为 【题型2】几何面积最值问题 1.（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    【答案】， 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出直线的解析式，设点，过点P作轴，交于点Q，则，可得，即可求解． 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴的解析式为， 设点， 过点P作轴，交于点Q，则，    ， ， ∴当时，的面积最大为， 此时． 2.（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质．证明是等腰直角三角形，作于点，设，则，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴点D是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最小值，最小值为2， 故选：B． 3.（24-25九年级下·四川遂宁·阶段检测）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 4.（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】（1）；（2）有最大值为，点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的坐标为，再求出直线的表达式为，得到点的坐标为，则，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案． （1）解：将，，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 【题型3】销售利润基础问题 1.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． （1）在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）每件应降价4元；（2）不认同，理由如下： 设每件降价元，获利为元，由题意得， 即， 因为，所以当时，获利最大，即每件降价20元时，可获得最大利润， ∴小明的说法不正确． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值问题，理解题意是解题的关键； （1）设每天要盈利1600元，每件应降价元，根据题意，可列方程，求解方程即可； （2）不认同，理由：设每件降价元，获利为元，由题意得，整理后再配方成顶点式得，分析后即可得到答案． （1）解：设每天要盈利1600元，每件应降价元， 由题意得，， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：如果每天要盈利1600元，每件应降价4元； （2）解：略． 2.（25-26九年级下·全国·课后作业）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元， 原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件， 利润每件利润销售量，代入得： 故选：C． 3.（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 【答案】200 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合建立直角坐标系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再求出时的y值，从而可得的长． 解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： ∴，，，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴内侧抛物线的解析式为， 当时，， ∴米， 故答案为：200． 4.（25-26九年级上·山东滨州·期中）实验中学准备购进一批小工艺品，每件的成本是40元．经市场调查，销售单价为52元时，每天的销售量为80个；销售单价每降价1元，日销售量将增加10个． （1）求每天销售小工艺品的利润（元）和销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天销售小工艺品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），先表示出单件利润，销售量，再根据单件利润乘以销售量求出关系式即可； 对于（2），将二次函数配方得出顶点式，再讨论最大值． （1）解：销售单价为元时，每销售一个获利元，每天共销售个， ； （2）解： 当时，有最大值，最大值为 当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【题型4】拱桥抛物线模型问题 1.（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． （1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； （2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】（1）；（2）这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． （1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 2.（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 3.（2026九年级上·湖南永州·竞赛）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 4.（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】（1）；（2）摄像头到地面的竖直距离为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． （1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 三.拓展性作业 【题型1】 自变量受限的最值问题 1.（25-26九年级上·吉林四平·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形花园的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 【答案】（1）；（2）当矩形花园的面积为时，的长为或；（3）如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），矩形花园面积的最大值为 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）根据矩形面积长宽求解； （2）令，解一元二次方程求解； （3）由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x的关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴的长为或； （3）解：∵点P在矩形内部， ∴， 解得， ∵， 当时，y随x增大而增大， ∴时，y取最大值为， 答：花园面积最大值为． 2.（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 设米，则米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 解：如图，设米，则米， 墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 3.（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为___________时，猪舍面积最大（为整数） 【答案】9 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设，猪舍的面积为，则，根据矩形面积计算公式可得，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 解：设，猪舍的面积为，则， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当时，y有最大值， ∴当时，猪舍面积最大， 故答案为：9． 4.（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用长的篱笆材料围成一个矩形树苗培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在边上开两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．设垂直于墙的边的长为． （1）________．（用含有的代数式表示） （2）求矩形的面积与的长之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）当取何值时，矩形的面积为？ 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据长方形的周长公式及题意可直接进行求解； （2）由（1）结合长方形面积公式可直接进行求解； （3）由（2）可把矩形的面积为代入进行求解即可 （1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：由题意可得矩形的面积． ∵，解得． 自变量的取值范围为． （3）解：由题意可得，整理得， 解得，． ， 不符合题意，舍去， ． 答：当时，矩形的面积为． 【题型2】综合销售利润问题 1.（2026·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． （1）猪肉粽每盒的进价为__________元； （2）若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ （3）若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】（1）40；（2）55元；（3）1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． （1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 2.（25-26九年级下·全国·单元测试）市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质． 解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为， 则， ∵商品售价不得超过进货价格的2倍， ∴， ∵当时，利润率随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：C． 3.（25-26九年级上·河南濮阳·期中）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个）满足一次函数关系： 售价x（元/个） … 80 90 100 … 销量y（个） … 400 300 200 … 线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是____________元（不计其它成本）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是设出与的函数表达式为然后用待定系数法求函数解析式即可，然后根据总利润线下销售利润线上销售利润列出函数解析式找最值． 解：设与的函数表达式为， 则 ， 解得：， ∴与的函数表达式为 ， 当线下销量为）个时，线上销量为个, 设全部售完后获得的利润为元，根据题意得： ， ∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的， ， 解得：， ∵，对称轴为， ∴当时，有最大值，最大值为元， 故答案为为：. 4.（25-26九年级下·山东泰安·期中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现该纪念册每周的销售量（本）与每本纪念册的售价（元）之间满足一次函数关系：；设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】销售单价定为28元时，所获利润最大，最大利润是192元 【分析】本题根据利润等于每本利润乘以销售量，列出利润关于售价的二次函数，再结合给定的售价范围和二次函数的增减性，即可求出最大利润和对应的销售单价． 解：由题意可得，每本纪念册的利润为元，销售量，售价满足 总利润 整理得： 配方得： 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大 又 当时，取得最大值 将代入得：（元） 答：将该纪念册销售单价定为28元时，文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 四.探究性作业 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是． （1）【类比探究】 代数式的最小值是 ； （2）【灵活运用】 试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； （3）【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为， 又∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及配方法的应用，利用配方法找出代数式的最值是解题的关键． （1）利用配方法将原式变为，结合，可得出，进而求解； （2）利用配方法将变为，结合，可得出，进而求解； （3）设，矩形养殖场的总面积为，则，，利用矩形的面积公式，可找出关于的函数关系式，即可解决最值问题． 解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 故答案为：； （2）略 （3）设，矩形养殖场的总面积为，则CF＝，， 根据题意得： ， ， ∵， ∴， ∴当时，的最大值为． 答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 2．（2025九年级下·山西·学业考试）项目化学习 项目主题：优化大豆种植密度 项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系 研究步骤： （1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； （2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数x（株） 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量y（粒） 51 46 41 36 31 26 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为（）； （2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积实验田中大豆植株种植数量的方案． 【答案】（1）一次，；（2）当单位试验田种植株数为66株时，可使大豆总产量最大 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用， 根据单株的平均产量变化幅度可以确定为一次函数，利用待定系数法即可求得函数解析式； 设单位面积试验田中大豆总产量为w粒，结合得，根据二次函数的性质即可求得其最大值． （1）解：由表格数据，单位面积实验田种植大豆株数每增加10株，单珠的平均产量减少5粒， ∴单株的平均产量是种植株数的一次函数； 设一次函数解析式为， 则，解得， 则一次函数的解析式为； 故答案为：一次，； （2）解：设单位面积试验田中大豆总产量为w粒， 根据题意， 由（1）得，， 所以，w与x的函数关系式为 因为，所以w有最大值． ∵， 当时，w最大． 所以，当单位面积试验田种植株数为66株时，可使大豆总产量最大． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 2．（2026·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 二、填空题 4．（2026·甘肃陇南·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 解：∵，， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 三、解答题 6．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数）的售价为（元千克）．当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为（元）． （1） ，_____； （2）写出第天的销售额与之间的函数关系式； （3）求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】（1），；（2）；（3）在试销售的天中，共有天销售额超过元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． （1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 8．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． （2）沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 解：（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1】运动轨迹最值问题 2 【题型2】几何面积最值问题 6 【题型3】销售利润基础问题 13 【题型4】拱桥抛物线模型问题 17 三.拓展性作业 22 【题型1】 自变量受限的最值问题 22 【题型2】综合销售利润问题 28 四.探究性作业 32 五.中考链接 33 六.自我评价 49 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向______，在x=﹣b/2a处取得最______值；当a＜0时，抛物线开口向______，在x=处取得最______值。 2. 利用二次函数解决实际应用题的四步法： （1）审题，分析变量关系，列出_____________________； （2）结合实际情境，确定自变量的___________________； （3）利用二次函数顶点性质求解最大、最小值； （4）验证结果是否符合实际，写出最终答案。 3. 常见模型公式： 总利润 =（单件售价－单件进价）×销售量 几何面积：根据图形边长关系，构造二次函数求面积最值。 运动轨迹、拱桥问题：建立平面直角坐标系，利用抛物线解析式求解。 二.巩固性作业 【题型1】运动轨迹最值问题 1.（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）体育课上，小华发现足球训练中，自己踢球射向球门的路线呈抛物线型，它的高度与时间的关系可以用公式表示． （1）在什么范围内，足球的高度逐渐增大？在什么范围内，足球的高度逐渐减小？ （2）经过多少时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 2.（2026·河南周口·一模）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（    ）    A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则第______秒时炮弹所在高度最高． 4.（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米． （1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响? （2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． 【题型2】几何面积最值问题 1.（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    2.（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 3.（24-25九年级下·四川遂宁·阶段检测）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 4.（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【题型3】销售利润基础问题 1.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． （1）在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 2.（25-26九年级下·全国·课后作业）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 4.（25-26九年级上·山东滨州·期中）实验中学准备购进一批小工艺品，每件的成本是40元．经市场调查，销售单价为52元时，每天的销售量为80个；销售单价每降价1元，日销售量将增加10个． （1）求每天销售小工艺品的利润（元）和销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天销售小工艺品的利润最大？最大利润是多少？ 【题型4】拱桥抛物线模型问题 1.（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． （1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； （2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 2.（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2026九年级上·湖南永州·竞赛）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 4.（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 三.拓展性作业 【题型1】 自变量受限的最值问题 1.（25-26九年级上·吉林四平·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形花园的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 2.（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为___________时，猪舍面积最大（为整数） 4.（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用长的篱笆材料围成一个矩形树苗培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在边上开两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．设垂直于墙的边的长为． （1）________．（用含有的代数式表示） （2）求矩形的面积与的长之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）当取何值时，矩形的面积为？ 【题型2】综合销售利润问题 1.（2026·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． （1）猪肉粽每盒的进价为__________元； （2）若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ （3）若满足，求商家每天的最大利润． 2.（25-26九年级下·全国·单元测试）市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·河南濮阳·期中）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个）满足一次函数关系： 售价x（元/个） … 80 90 100 … 销量y（个） … 400 300 200 … 线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是____________元（不计其它成本）． 4.（25-26九年级下·山东泰安·期中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现该纪念册每周的销售量（本）与每本纪念册的售价（元）之间满足一次函数关系：；设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 四.探究性作业 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是． （1）【类比探究】 代数式的最小值是 ； （2）【灵活运用】 试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； （3）【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 2．（2025九年级下·山西·学业考试）项目化学习 项目主题：优化大豆种植密度 项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系 研究步骤： （1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； （2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数x（株） 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量y（粒） 51 46 41 36 31 26 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为（）； （2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积实验田中大豆植株种植数量的方案． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·甘肃陇南·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 三、解答题 6．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数）的售价为（元千克）．当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为（元）． （1） ，_____； （2）写出第天的销售额与之间的函数关系式； （3）求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 8．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $