26.2.2 二次函数y=a（x-h)²+k的图象与性质【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学二次函数顶点式图象与性质同步练，以“前置-巩固-拓展-探究-中考”五级分层设计，构建从概念梳理到中考实战的知识巩固路径，培养抽象能力、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |前置作业|顶点式概念及平移规律|填空形式梳理核心要素，夯实抽象基础| |巩固性作业|开口方向、平移、增减性等单一性质|选择填空结合解答题，强化运算与几何直观| |拓展性作业|参数范围、函数值比较综合应用|含数形结合题，提升推理与数据分析能力| |探究性作业|平移与顶点变化规律|情境化规律猜想题，发展创新意识| |中考链接|中考真题及模拟题|对接中考考点，培养模型观念与应用意识|

26.2.2 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1 识别开口方向、对称轴、顶点坐标】 2 【题型2 抛物线图象平移】 5 【题型3 函数增减性与最值】 9 【题型4 顶点式图象性质辨析】 13 三.拓展性作业 16 【题型1 根据函数性质求参数取值范围】 16 【题型2 抛物线上点的函数值大小比较】 19 四.探究性作业 21 【题型 猜想探究平移与顶点变化规律】 21 五.中考链接 25 六.自我评价 33 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 二次函数 的图象是一条_____，对称轴是直线_______，顶点坐标为__________。 2. 当 时，抛物线开口向___；顶点 是抛物线的最______点；当 ______时，函数取得最______值，值为______；当 时， 随 的增大而__________；当 时， 随 的增大而__________。 3. 当 时，抛物线开口向____；顶点 是抛物线的最______点；当 ______时，函数取得最____值，值为____；当 时， 随 的增大而________；当 时， 随 的增大而__________。 4. 抛物线 可由抛物线 平移得到，遵循“左加右减，上加下减”原则： 向____平移 个单位； 向____平移 个单位； 向____平移 个单位； 向______平移 个单位。 5. 对于二次函数 ， 越大，抛物线开口越______； 越小，抛物线开口越______。 参考答案： 1. 抛物线；； 2. 上；低；；小；；减小；增大 3. 下；高；；大；；增大；减小 4. 右；左；上；下 5. 小；大 二.巩固性作业 【题型1 识别开口方向、对称轴、顶点坐标】 1．（25-26九年级上·江西上饶·期中）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（   ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数的开口方向由a的正负决定、对称轴为，顶点坐标． 直接根据二次函数的顶点式的性质即可解答． 解：∵在中，， ∴ 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的开口方向是_____，对称轴是______，顶点坐标是________ 【答案】 向上 直线/x=4 （4，3） 【分析】根据二次函数的顶点式中，a的正负性确定抛物线的开口方向，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，即可解答． 解：∵二次函数中， ∴其图象开口方向是向上，对称轴为直线，顶点坐标是（4，3）． 故答案为：向上，直线，（4，3）． 【点拨】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的性质是解题关键． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】解：对于二次函数， 当时，抛物线开口向上； 当时，抛物线开口向下； 该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 填表如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 开口向上 直线 开口向下 解：略 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向上 直线 向上 直线 向下 直线 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案． 解：略 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键． 【题型2 抛物线图象平移】 1．（2026·四川成都·二模）要得到二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣1的图象，需将y＝﹣2x2的图象（       ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位； B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移1个单位； D．向左平称1个单位，再向上平移2个单位 【答案】C 【分析】先确定两二次函数的顶点坐标，根据平移特征，上加下减，左减右加，得出顶点坐标的变化规律即可. 解：原二次函数y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），新二次函数y=-2（x-1）2-1的顶点坐标为（1，-1）， ∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线． 故选C． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，平移特征，熟记平移规律和顶点坐标是解题关键. 2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移． 根据函数图象的平移“左加右减，上加下减”求出平移后的解析式，进而即可得顶点坐标． 解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得： ， ∴抛物线的顶点坐标为：． 故答案为： 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）已知抛物线．的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，二次函数的平移和二次函数的性质．熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标，可得，即，将点的坐标代入，求出的值，即可求解； （2）先根据抛物线的平移规律求出平移后的解析式，根据平移后的顶点坐标式，即可求解． （1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 故， ∵抛物线经过点， 故将代入，得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后， 得到的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点，且过点． （1）求指物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 【答案】（1），；（2）①向下平移5个单位，，②向左平移个单位， 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据二次函数平移的规律进行解答即可． （1）解：∵抛物线与x轴交于点，可设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 即， ∵， ∴顶点坐标； （2）平移方法有： ①向下平移5个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∵顶点坐标； ∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为， 即向下平移5个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上； ②向左平移个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∴向左平移个单位，抛物线的顶点为， 即向左平移个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上． 【题型3 函数增减性与最值】 1．（25-26九年级上·广西钦州·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，随增大而增大 B．当时，随增大而增大 C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质和增减性，通过的正负和对称轴判断二次函数的增减性是关键．根据二次函数顶点式的性质逐一分析即可． 解：二次函数的顶点为，且， 抛物线开口向上， 当 时，随增大而增大， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于 的二次函数 ，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数开口向下时，在对称轴右侧函数值随自变量增大而减小；根据条件时减小，可确定对称轴位置需满足的不等式． 解：二次函数的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小． 当时，随的增大而减小， ，解得． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，其中． （1）求的面积； （2）当时，求的最值； （3）当时，描述的增减性． 【答案】（1）3；（2）的最小值为，最大值为0；（3）当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小 【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质， （1）首先利用待定系数法求出，，然后联立求出，然后求出一次函数与y轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）首先求出二次函数顶点坐标，然后结合图象求解即可； （3）首先根据二次函数的对称性求出点B关于对称轴对称的点的坐标为，然后结合图象求解即可． （1）解：将代入，得 ∴ 将代入，得 ∴ ∴ 联立得，，即 ∴ 解得， 将代入 ∴ 当时，一次函数 ∴的面积； （2）当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，， 即的最小值为，最大值为0； （3）∵ ∴对称轴为y轴， ∵ ∴点B关于对称轴对称的点的坐标为 ∴由图象可得，当时， 当时，随x的增大而增大； 当时，随x的增大而减小． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）画出函数的图象，观察图象回答下列问题： （1）求顶点坐标与对称轴方程． （2）当取何值时，随的增大而增大当取何值时，随的增大而减小 （3）当为何值时，函数有最大值或最小值其值是多少 （4）当取何值时，，， 【答案】（1）顶点坐标，对称轴方程为；（2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（3）当时，函数有最大值，最大值是；（4）当或时，；当或时，；当时， 【分析】先画出对应的函数图象，再根据函数图象逐一求解即可． （1）解：由函数图象可知，顶点坐标，对称轴方程为； （2）解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，函数有最大值，最大值是； （4）解：由函数图象可知，当或时，；当或时，；当时， 【点拨】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，正确画出对应的函数图象，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【题型4 顶点式图象性质辨析】 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，下列结论正确的是（　　） A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最大值为3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质求解即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线，函数最小值为5， ∴时，y随x的增大而增大． 故选：D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线，下列结论正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴和增减性．根据二次函数的性质求解即可． 解：∵抛物线解析式为，是顶点形式，其中，，， ∴顶点坐标为，故A正确． ∵，∴抛物线开口向下，故B错误． 对称轴是直线，故C错误． ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 选项D中当时，随的增大而增大，所以时，随增大而增大，故D错误． 因此，正确答案是A． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，随的增大而减小，其中正确结论为______． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 解：①，抛物线的开口向下，故①正确； ②对称轴为直线，故②错误； ③顶点坐标为，故③正确； ④时，随的增大而减小，时，随的增大而减小一定正确，故④正确； 综上所述，结论正确的个数是①③④． 故答案为：①③④． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）下列关于二次函数 （为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质：增减性、图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 能够根据二次函数的解析式得出顶点坐标、系数的值，再结合函数的增减性、图象与系数的关系即可得出结论． 解：二次函数图象的形状由决定，和中均为，故图象形状相同，①正确； 由顶点式可知，二次函数顶点坐标为， 故顶点在函数的图象上，②正确； 二次函数中， 当时，y随x的增大而减小，③错误； 当时，代入二次函数中可得， 故该函数的图象一定经过点，④正确． 故答案为：①②④ 三.拓展性作业 【题型1 根据函数性质求参数取值范围】 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知，二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了的图象和性质，求一元一次不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据二次函数的解析式求出对称轴及开口方向，再根据增减性列出关于的不等式求解即可． 解：∵二次函数的解析式为， ∴这是一个开口向上的抛物线，对称轴为， ∵当时，随增大而减小， ∴，解得：， ∴实数的取值范围是， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像，由函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，进而根据图像经过第一、第二、第三象限，得到且，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线经过第一、第二、第三象限， ∴且， 解得， 故选：． 3．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为，从而可判断时对应自变量取值范围． 解：观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 当时，自变量的范围是． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，根据二次函数解析式得出对称轴是解题关键． 先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，求解即可得答案． 解：∵抛物线，二次项系数为， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线． ∴在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大． ∵当时，随的增大而减小， ∴． 解得． 故答案为：． 【题型2 抛物线上点的函数值大小比较】 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）点，，都在抛物线上，将，，按从小到大排列并用“”连接，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．先求出抛物线的对称轴为直线，从而可得当时的函数值与当时的函数值相等，再根据当时，随的增大而增大即可得． 解：∵抛物线的对称轴为直线，点在此抛物线上， 当时的函数值与当时的函数值相等，即为， 抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而增大， 又∵点，，都在抛物线上，且， ， 故选：D． 2．（26-27九年级上·全国·周测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴． 根据开口向上的抛物线的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，比较各点到对称轴的距离即可判断值的大小． 解：∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大． ∴． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是_________ （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴是，并且，所以抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，根据对称性可得：点的对称点是，再根据判断函数值的大小关系． 解：二次函数的对称轴是， 点的对称点是， ， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 4．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是_____（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数开口向下，顶点处函数值最大，距离顶点越远，函数值越小，比较各点与顶点的水平距离即可确定函数值大小，解题的关键掌握二次函数图象与性质． 解：由二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，函数值在顶点处最大，且随横坐标与顶点横坐标距离的增大而减小， ∵点的横坐标分别为、、， ∴与顶点横坐标的距离分别为、、， ∴点距离顶点最近，函数值最大；点次之；点距离顶点最远，函数值最小， ∴， 故答案为：． 四.探究性作业 【题型 猜想探究平移与顶点变化规律】 1．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，有一组拋物线，它们的顶点在直线上，并且经过点，当时，，8，，根据上述规律，写出执物线的解析式（顶点式）为______________，和拋物线的顶点坐标_____及它与轴的交点坐标______．    【答案】 和 【分析】根据的坐标求出直线的解析式，它们的顶点在直线上即可求出顶点坐标，根据横坐标的变化规律可知的横坐标为，代入直线可求出坐标． 解：设直线的解析式为， 由于， ， 解得， 故直线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，且顶点在直线上， ， 则， 故设抛物线的解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 故执物线的解析式（顶点式）为； 由于当时，，8，， 每个数都是前两个数的和， 的横坐标为， ， 故的顶点坐标； 同理，抛物线经过点， 求得抛物线的解析式为， 它与轴的交点坐标为和． 【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，找到规律是解题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A，B，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，    根据上述规律解决以下问题： （1）抛物线的顶点坐标是_____________； （2）求抛物线中的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据直线的解析式，再根据横坐标的值依次求出各抛物线顶点坐标，寻找变化规律； （2）设抛物线的解析式为：，化简即可解得． 解：（1）直线的解析式为：， ∵抛物线的顶点的横坐标为2,且顶点在直线上， ∴抛物线的顶点坐标为， 同理可得：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， ， 故抛物线顶点坐标为； （2）由题意得：抛物线形状相同，的顶点坐标为， 故设抛物线的解析式为：， 即， ． 【点拨】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 3．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需结合函数性质，根据两个要求逐一筛选：①图像不经过第二象限；②与轴有且只有一个公共点，即可得到答案． 解：选项A．：∵该一次函数与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除A； 选项B．：∵该二次函数是顶点式，顶点为，顶点在轴上，因此与轴有且只有一个公共点，满足条件②；又∵对任意，，可得，因此图像不经过第二象限，满足条件①，符合要求； 选项C．：∵顶点为，与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除C； 选项D．：∵反比例函数的图像与轴没有交点，不满足条件②，排除D． 4．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．可由抛物线向左平移2个单位长度得到 B．当时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的特点，结合平移规律、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点的判断方法，逐一分析选项即可． 解：根据抛物线平移规律“左加右减”，向左平移个单位长度，得到，故选项A错误，不符合题意； ∵抛物线为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 又∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 令，得， ∴该抛物线与轴交于，与y轴存在交点，故选项C错误，不符合题意； 抛物线顶点坐标为，不是，故选项D错误，不符合题意． 二、填空题 5．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 6．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 7．（2026·广东河源·二模）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，的值随值的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先推导出抛物线开口向下，对称轴为直线满足，不妨设，对称轴为，设抛物线的解析式为，进而求出，即可解答． 解：当时，随的增大而增大， 抛物线开口向下，对称轴为直线满足． 不妨设，对称轴为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 满足上述条件的二次函数的表达式为（答案不唯一）． 8．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可． 解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 三、解答题 9．（25-26九年级上·广西河池·期中）已知抛物线． （1）写出该抛物线的开口方向、对称轴． （2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值． （3）设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线；（2）函数y有最小值，最小值为；（3） 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和最值，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． （1）根据函数表达式即可解决问题． （2）由抛物线开口向上，结合函数表达式解决问题． （3）令即可求解． （1）解：∵抛物线，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线； （2）解：∵，且顶点坐标为 ∴函数y有最小值，最小值为； （3）解：在中，令，则， ∴． 10．（2026·河南商丘·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴、轴分别交于点，，，顶点为点，点，为图象上的点，且． （1）若二次函数的图象经过点， ①则这个二次函数的表达式为_________________； ②若，则__________． （2）若为等边三角形，求的值． 【答案】（1）①；②8；（2） 【分析】（1）①把点代入函数解析式中即可求解； ②由得E、F两点关于抛物线的对称轴对称，得，再与联立求解得，即可求得的值，从而求解； （2）过点作轴于点，由等边三角形的性质及解直角三角形求得点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线中即可求解． （1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴； ②抛物线的对称轴为直线，顶点， ∵， ∴E、F两点关于抛物线的对称轴直线对称， ∴， ∵， 联立，解得， ∴， ∴； （2）解：如图，为等边三角形，，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1 识别开口方向、对称轴、顶点坐标】 2 【题型2 抛物线图象平移】 5 【题型3 函数增减性与最值】 9 【题型4 顶点式图象性质辨析】 13 三.拓展性作业 16 【题型1 根据函数性质求参数取值范围】 16 【题型2 抛物线上点的函数值大小比较】 19 四.探究性作业 21 【题型 猜想探究平移与顶点变化规律】 21 五.中考链接 25 六.自我评价 33 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 二次函数 的图象是一条_____，对称轴是直线_______，顶点坐标为__________。 2. 当 时，抛物线开口向___；顶点 是抛物线的最______点；当 ______时，函数取得最______值，值为______；当 时， 随 的增大而__________；当 时， 随 的增大而__________。 3. 当 时，抛物线开口向____；顶点 是抛物线的最______点；当 ______时，函数取得最____值，值为____；当 时， 随 的增大而________；当 时， 随 的增大而__________。 4. 抛物线 可由抛物线 平移得到，遵循“左加右减，上加下减”原则： 向____平移 个单位； 向____平移 个单位； 向____平移 个单位； 向______平移 个单位。 5. 对于二次函数 ， 越大，抛物线开口越______； 越小，抛物线开口越______。 二.巩固性作业 【题型1 识别开口方向、对称轴、顶点坐标】 1．（25-26九年级上·江西上饶·期中）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（   ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的开口方向是_____，对称轴是______，顶点坐标是________ 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【题型2 抛物线图象平移】 1．（2026·四川成都·二模）要得到二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣1的图象，需将y＝﹣2x2的图象（       ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位； B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移1个单位； D．向左平称1个单位，再向上平移2个单位 2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是______． 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）已知抛物线．的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点，且过点． （1）求指物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 【题型3 函数增减性与最值】 1．（25-26九年级上·广西钦州·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，随增大而增大 B．当时，随增大而增大 C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而减小 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于 的二次函数 ，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是__________． 3．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，其中． （1）求的面积； （2）当时，求的最值； （3）当时，描述的增减性． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）画出函数的图象，观察图象回答下列问题： （1）求顶点坐标与对称轴方程． （2）当取何值时，随的增大而增大当取何值时，随的增大而减小 （3）当为何值时，函数有最大值或最小值其值是多少 （4）当取何值时，，， 【题型4 顶点式图象性质辨析】 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，下列结论正确的是（　　） A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最大值为3 D．当时，y随x的增大而增大 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线，下列结论正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，随的增大而减小，其中正确结论为______． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）下列关于二次函数 （为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是_________． 三.拓展性作业 【题型1 根据函数性质求参数取值范围】 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知，二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 【题型2 抛物线上点的函数值大小比较】 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）点，，都在抛物线上，将，，按从小到大排列并用“”连接，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·周测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是_________ （用“＜”连接）． 4．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是_____（用“”连接） 四.探究性作业 【题型 猜想探究平移与顶点变化规律】 1．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，有一组拋物线，它们的顶点在直线上，并且经过点，当时，，8，，根据上述规律，写出执物线的解析式（顶点式）为______________，和拋物线的顶点坐标_____及它与轴的交点坐标______．    2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A，B，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，    根据上述规律解决以下问题： （1）抛物线的顶点坐标是_____________； （2）求抛物线中的值． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．可由抛物线向左平移2个单位长度得到 B．当时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是 二、填空题 5．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 6．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 7．（2026·广东河源·二模）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，的值随值的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：_________． 8．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 三、解答题 9．（25-26九年级上·广西河池·期中）已知抛物线． （1）写出该抛物线的开口方向、对称轴． （2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值． （3）设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标． 10．（2026·河南商丘·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴、轴分别交于点，，，顶点为点，点，为图象上的点，且． （1）若二次函数的图象经过点， ①则这个二次函数的表达式为_________________； ②若，则__________． （2）若为等边三角形，求的值． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $