26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以“二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质”为核心，通过“前置梳理-基础巩固-能力拓展-探究创新-中考衔接”五级分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|二次函数定义、开口方向等基础概念|填空形式强化抽象能力，夯实前置知识| |巩固性作业|图象性质、配方法、待定系数法等|结合区域期末真题，题型1-4对应基础考点，提升运算能力| |拓展性作业|参数取值范围、函数值比较|含多问解答题，培养推理意识与逻辑分析能力| |探究性作业|图象变化规律、问题转化|情境化探究题，发展创新意识与数学建模能力| |中考链接|中考真题演练|对接中考考点，强化应用意识与应试能力|

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1 求抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标】 2 【题型2 配方法：一般式化为顶点式】 4 【题型3 待定系数法求二次函数解析式】 6 【题型4 二次函数增减性与最值应用】 10 三.拓展性作业 13 【题型1 根据函数性质求参数值或取值范围】 13 【题型2 二次函数函数值大小比较】 19 四.探究性作业 20 【题型 问题转化与图象变化规律探究】 21 五.中考链接 26 六.自我评价 37 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 二次函数 的图象是一条__________，它的对称轴是直线__________，顶点坐标是____________________。 2. 当 时，抛物线开口向______，顶点是抛物线的最______点；当 ______时，函数取得最小值__________；在对称轴左侧（）， 随 的增大而__________；在对称轴右侧（）， 随 的增大而__________。 3. 当 时，抛物线开口向______，顶点是抛物线的最______点；当 ______时，函数取得最大值__________；在对称轴左侧（）， 随 的增大而__________；在对称轴右侧（）， 随 的增大而__________。 4. 可以通过配方法将二次函数一般式 化为顶点式 ，其中 __________，__________。 5. 在二次函数一般式中，越大，抛物线开口越______； 越小，抛物线开口越______。 参考答案： 1. 抛物线；； 2. 上；低；；；减小；增大 3. 下；高；；；增大；减小 4. ； 5. 小；大 二.巩固性作业 【题型1 求抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标】 1.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【答案】开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 解：， ∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象的开口向上． 2.（2025九年级·全国·专题练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 【答案】C 【分析】通过将二次函数化为顶点形式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值． 解： 将二次函数化为顶点式：， A、二次项系数，故抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为直线，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为，C正确，符合题意； D、开口向上， 函数有最小值，无最大值，D错误，不符合题意． 故选：C． 【点拨】将二次函数化为顶点式是分析其性质的关键，可直接得出开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解． 解：∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点与点关于直线对称， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 4.（25-26九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1）开口向上，直线；（2） 【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （2）令x=0，求出y的值即可． 解：（1）∵， ∴抛物线开口向上， ∵=， ∴对称轴是直线； （2）∵， ∴， ∴与y轴交点坐标是． 【点拨】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 【题型2 配方法：一般式化为顶点式】 1.（24-25九年级上·广东肇庆·期末）把抛物线化成顶点式，并写出顶点坐标． 【答案】； 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 2.（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 3.（25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 解：， ，， ． 4.（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查把化为顶点式，的图象和性质． 先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴． 解： ， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． 【题型3 待定系数法求二次函数解析式】 1.（25-26九年级上·陕西安康·期中）某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点式，解答的关键是根据图象得到相关信息． 设抛物线方程为，再根据待定系数法求解即可． 解：设抛物线方程为， 由图可知抛物线开口向下，对称轴为，过点， 先把代入得，则， 再代入对称轴和， ，解得， ， 当时，， 所以该抛物线的顶点坐标． 2.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．将点代入二次函数解析式，建立方程组求解b和c的值． 解：∵二次函数的图象经过两点， ∴将代入中得： ，解得：， ∴二次函数表达式为：， 故选：C． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】由表格数据可知，和时函数值相等，可得二次函数顶点坐标为，利用待定系数法求解即可． 解：∵当和时，的值均为， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， 设二次函数解析式为，将，代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为，展开整理得． 4.（24-25九年级上·北京昌平·期中）已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． （1）求此函数的表达式； （2）求顶点坐标． 【答案】（1）；（2）顶点坐标为． 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及求二次函数的顶点坐标， （1）设函数解析式为，将三点代入，解出、、即可； （2）将函数解析式化成顶点式，即可知道顶点坐标． （1）解：设函数解析式为， ∵抛物线与x轴相交于点，，且过点． ∴， 解得：， ∴函数的表达式为：． （2）将函数的表达式变形：． ∴顶点坐标为． 【题型4 二次函数增减性与最值应用】 1.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线（为常数）． （1）当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围． （2）当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将一般式配成顶点式即可求解； （2）由抛物线的对称轴及当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小可确定；分别求出当时和时的函数值，根据当时有最小值，可进一步确定的范围．即可求解． （1）解：∵ ∴抛物线的顶点为 ∵抛物线的顶点在第二象限 ∴ 解得： （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，且当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小 ∴ 当时，；当时， ∵当时有最小值 ∴ 解得： 综上： ∴整数的值为 【点拨】本题考查了抛物线的顶点式、抛物线的对称轴和增减性等知识点．熟记相关性质是解题关键． 2.（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解．首先求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，于是求出的取值范围． 解：函数， 对称轴为直线． 在时，随着的增大而减小， ． 故选：B． 3.（25-26九年级上·安徽淮北·期中）已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为_____． 【答案】25 【分析】因为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，那么可知对称轴就是，结合顶点公式法可求出的值，从而得出函数的解析式，再把，可求出的值． 解：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 对称轴，解得， ，那么当时，函数的值为25． 故答案为25． 【点拨】本题考查了函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关键． 4.（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． （3）在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数图像及性质： （1）用待定系数法； （2）根据对称轴公式以及函数的单调性确定的取值范围； （3）将函数化为顶点式，得到最小值相等的等式，求出，代入得表达式． （1）解：把代入， 得． （2）解：， 抛物线的开口向上， 二次函数对称轴为直线， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大， ， ． （3）解： 二次函数的最小值为， 解得：，（舍）； ， 二次函数的表达式为． 三.拓展性作业 【题型1 根据函数性质求参数值或取值范围】 1.（黑龙江省佳木斯市抚远市前哨学校、前锋农场学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）已知二次函数（），其图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点在该二次函数的图象上，当时，求的取值范围； （3）若直线与该二次函数的图象有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）全体实数 【分析】本题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）将化为顶点式，判断时的取值范围即可； （3）直线与二次函数图象有两个交点，需联立方程并使判别式，求出的取值范围即可． （1）解：将点和代入解析式，得： ， 解得， 所以，二次函数解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，此为函数最大值点． 当时，； 当时，； 当时，； 对比可知，时n取最大值4，故． （3）解：联立方程：， 整理得； ∵直线与该二次函数的图象有两个交点， ∴． ∵， ∴，即 ∴的取值范围是全体实数． 2.（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 解：∵抛物线 开口向上，当时，， ∴将代入解析式得： ， 化简得 ， 解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴ ， 解得：， 综上，的取值范围是． 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 4.（24-25九年级下·广东中山·期中）设二次函数（，是常数），二次函数值和自变量的部分对应取值如下表示： … … （1）若时，求二次函数的表达式；并直接写出的取值范围，使随的增大而减小； （2）当时，有最小值为，求的值； （3）若，，三个实数中，只有一个正数，求的取值范围． 【答案】（1），当时，随的增大而减小；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式，再由二次函数的性质即可得解； （2）由表格可知抛物线对称轴，推出，从而可得，再分两种情况①时，开口向上；②时，开口向下；分别求解即可； （3）由题意得出，从而可得表达式化为，求出，结合，，三个实数中，只有一个是正数，得出即，，从而可得，求解即可． （1）解：根据条件可得：， 解得， 所以二次函数表达式为， ∵，开口向下，对称轴， ∴当时，随的增大而减小； （2）解：由表可知，抛物线经过，两点， ∴当或时， ∴可知抛物线对称轴， ∴， ∴， 当时，的最小值为， ①时，开口向上， 当时，取得最小值，， 解得； ②时，开口向下， 当或时，最小值为， 代入，， 解得 综上，或； （3）解：根据表格，将代入， ∴， ∴， 表达式化为：， 将代入，得到， 将代入，得到 将代入，得到， 那么， ∵，，三个实数中，只有一个是正数， 即，， ，解得， 综上，的取值范围是． 【题型2 二次函数函数值大小比较】 1.（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下． 点到对称轴的距离分别为： ． ∵抛物线的开口向下， ∴距离越大函数值越小． ∴． 故选 C． 2.（26-27九年级上·全国·周测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴． 根据开口向上的抛物线的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，比较各点到对称轴的距离即可判断值的大小． 解：∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大． ∴． 四.探究性作业 【题型 问题转化与图象变化规律探究】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，（，），（，），形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为，，，，…． 根据上述规律，回答下列问题： （1）抛物线的顶点的横坐标为______； （2）抛物线的顶点坐标为______； （3）求抛物线的解析式． 【答案】（1）；（2）（，）；（3） 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，关键要提高学生的分析归纳能力． （1）根据（，），（，）的坐标求直线的解析式，根据横坐标的变化规律可知，的顶点的横坐标为； （2）根据横坐标的变化规律可知，的顶点的横坐标为，代入直线的解析式中，可求纵坐标； （3）先求的顶点坐标，设解析式为顶点式，再化为一般式即可求得． （1）解：设直线的解析式为，（）， ∵（，），（，）， 解得， ∴直线的解析式为． ∵对称轴与轴的交点的横坐标依次为，，，，…， 观察发现：每个数都是前两个数的和， ∴抛物线的顶点的横坐标为． 故答案为：． （2）解：由（1）可知， 直线的解析式为，抛物线的顶点的横坐标为， ， 抛物线的顶点坐标为（，）． 故答案为：（，）． （3）解：由（1）可知，直线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为， ． 抛物线的顶点坐标为（，）． 设抛物线的解析式为：， 又， ． 2．（2025·广西崇左·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1）对称轴直线为；（2）；（3）实数的取值范围为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数对称轴直线，图象开口，增减性是解题的关键． （1）根据对称轴直线的计算公式计算即可； （2）根据函数图象及对称轴得到，当时，函数取得最大值，最大值为：，结合自变量的取值范围得到，由此即可求解； （3）根据题意，确定二次函数图象的开口，对称轴直线，根据自变量取值范围得到对应函数值的取值范围，，即对应点的坐标为，根据，函数图象的对称性即可求解． 解：（1）二次函数， ∴对称轴直线为； （2）∵， ∴二次函数图象开口向下，且对称轴直线为， ∴当时，函数取得最大值，最大值为：， 当时，函数的最大值为， ∴，整理得，， 解得，（舍去）， ∴； （3）当时，二次函数为， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵， ∴， ∴当在范围时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，整理得，，且， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵当时，总有，当时，随的增大而增大， ∴，即， ∵点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时，， 综上所述，实数的取值范围为或． 3.（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了主要二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．求出二次函数的对称轴，根据点离函数对称轴的距离判断即可． 解：依题意可得函数对称轴为，且函数开口向上， 点关于的对称点为， 根据题意可得，当时，随着轴的增大而减小， ， 故选D． 4.（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】< 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 3．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 4．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 二、填空题 5．（2024·甘肃甘南·中考真题）若二次函数的图象经过点，则________． 【答案】2025 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 解：依题意得：， 即：， ， 故答案为：2025． 6．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 7．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 8．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 三、解答题 9．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则 ； （2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）2；（2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． （1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）略 （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． （1）若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； （2）若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答． （1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解； （2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出的取值范围即可； （3）由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出关于m的不等式，然后解不等式即可． （1）解：当，且点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴当时，有最小值为2； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ， 解得， 又 ∴； （3）解：∵点，在抛物线上， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，在抛物线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1 求抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标】 2 【题型2 配方法：一般式化为顶点式】 4 【题型3 待定系数法求二次函数解析式】 6 【题型4 二次函数增减性与最值应用】 10 三.拓展性作业 13 【题型1 根据函数性质求参数值或取值范围】 13 【题型2 二次函数函数值大小比较】 19 四.探究性作业 20 【题型 问题转化与图象变化规律探究】 21 五.中考链接 26 六.自我评价 37 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 二次函数 的图象是一条__________，它的对称轴是直线__________，顶点坐标是____________________。 2. 当 时，抛物线开口向______，顶点是抛物线的最______点；当 ______时，函数取得最小值__________；在对称轴左侧（）， 随 的增大而__________；在对称轴右侧（）， 随 的增大而__________。 3. 当 时，抛物线开口向______，顶点是抛物线的最______点；当 ______时，函数取得最大值__________；在对称轴左侧（）， 随 的增大而__________；在对称轴右侧（）， 随 的增大而__________。 4. 可以通过配方法将二次函数一般式 化为顶点式 ，其中 __________，__________。 5. 在二次函数一般式中，越大，抛物线开口越______； 越小，抛物线开口越______。 二.巩固性作业 【题型1 求抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标】 1.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 2.（2025九年级·全国·专题练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 3.（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______． 4.（25-26九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 【题型2 配方法：一般式化为顶点式】 1.（24-25九年级上·广东肇庆·期末）把抛物线化成顶点式，并写出顶点坐标． 2.（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 3.（25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 4.（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【题型3 待定系数法求二次函数解析式】 1.（25-26九年级上·陕西安康·期中）某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 2.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 4.（24-25九年级上·北京昌平·期中）已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． （1）求此函数的表达式； （2）求顶点坐标． 【题型4 二次函数增减性与最值应用】 1.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线（为常数）． （1）当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围． （2）当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值． 2.（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·安徽淮北·期中）已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为_____． 4.（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． （3）在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 三.拓展性作业 【题型1 根据函数性质求参数值或取值范围】 1.（黑龙江省佳木斯市抚远市前哨学校、前锋农场学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）已知二次函数（），其图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点在该二次函数的图象上，当时，求的取值范围； （3）若直线与该二次函数的图象有两个交点，求的取值范围． 2.（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 4.（24-25九年级下·广东中山·期中）设二次函数（，是常数），二次函数值和自变量的部分对应取值如下表示： … … （1）若时，求二次函数的表达式；并直接写出的取值范围，使随的增大而减小； （2）当时，有最小值为，求的值； （3）若，，三个实数中，只有一个正数，求的取值范围． 【题型2 二次函数函数值大小比较】 1.（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·全国·周测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 四.探究性作业 【题型 问题转化与图象变化规律探究】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，（，），（，），形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为，，，，…． 根据上述规律，回答下列问题： （1）抛物线的顶点的横坐标为______； （2）抛物线的顶点坐标为______； （3）求抛物线的解析式． 2．（2025·广西崇左·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 3.（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 2．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 3．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 4．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（2024·甘肃甘南·中考真题）若二次函数的图象经过点，则________． 6．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 7．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 8．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 三、解答题 9．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则 ； （2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． （1）若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； （2）若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $