26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（分层作业,12大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、综合知识应用到拓展探究的三层递进设计，构建二次函数图象与性质从单一到综合的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线开口方向、对称轴等单一知识点|以选择填空题为主，直接应用公式，强化抽象能力与运算能力| |综合层|函数图像综合判断、函数值比较、限定范围最值|结合图像分析，培养几何直观与推理意识，衔接阶段测评| |拓展层|最短路径、面积最值、特殊图形存在性问题|通过动态几何情境，发展模型观念与创新意识，提升综合应用能力|

26.2.3二次函数的图象和性质 知识点一 公式法求抛物线基本性质 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质． 时，开口向上；时，开口向下，即可． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向下， 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，二次函数的对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 将一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵，二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项说法正确，不符合题意， ∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标为，B，C选项说法正确，不符合题意， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误，符合题意， 故选：D． 4．（2026·广东珠海·一模）已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，B、C选项说法正确， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误． 综上，只有D选项符合题意． 知识点二 一次函数、二次函数图像综合判断 1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 2．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 3．（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 知识点三 比较函数值的大小 1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离即可比较y的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，，，，， ∴． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）抛物线上有两点，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，且当时，y取最小值， ∵抛物线上有两点，， ∴. 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过作差法比较与的大小即可. 【详解】解：∵是函数图像上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， 即． 知识点四 待定系数法求二次函数解析式 1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设出二次函数的一般式，然后将三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，再解方程组求出、、的值，最后确定二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的表达式．熟悉利用待定系数法求二次函数的表达式是解题的关键． 根据待定系数法代入已知点坐标即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，，三点， 代入已知点坐标，得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 4．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 知识点一 根据二次函数的图像符号判断 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线可得，，由此即可判断A；根据对称性可得当时，，当时，，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A中结论错误，不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点为， ∴当时，， ∴，故B中结论错误，不符合题意； ∵当时，，抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴， 又∵， ∴，故C中结论正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上， ∴抛物线的最小值为， ∴， ∴，故D中结论错误，不符合题意． 2．（2026·安徽合肥·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；（的实数）；．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数系数与其图象之间的关系．抛物线的开口方向可以确定的符号，抛物线与轴的交点可以判断的符号，对称轴是．将取特殊值可得与题干中结论一样的代数式． 【详解】解：①当，，由图象可知，此时，所以，，正确； ②当，，由图象可知，该函数关于对称，所以与时，值相等．因为，，所以，，，正确； ③当，值最大，此时，时， ，，错误； ④因为二次函数的对称轴是，所以，，正确． 综上，①②④正确． 3．（25-26九年级下·江苏南京·月考）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象开口向下，与轴负半轴有交点，得到、，对称轴，利用图象在处的函数值大于0，在处的函数值小于0，判断④⑤即可． 【详解】解：由图象可知，函数的对称轴为、且、， ， ， ， ， 故①错误，②正确； 由图象可知，该二次函数与轴有两个交点， 则令得：， 判别式， 故③正确； 由图象可知，在处的函数值大于零， 则将代入函数得：， 故④正确； 当时，， ， ，即， 故⑤正确； 综上所述，正确的有②③④⑤，共4个． 4．（25-26九年级下·四川成都·月考）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的最大值为 C．当时， D． 【答案】B 【分析】由抛物线对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点在轴上方可判断选项A；根据抛物线的顶点可判断选项B；由抛物线对称性可判断选项C；由函数图象可判断D． 【详解】解：由图象可得， ， ， ， 故A错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，的最大值为，故B正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，，故C错误，不符合题意； 由图象知，当时，，故D错误，不符合题意． 知识点二 限定自变量取值范围求最值 1．（25-26九年级上·福建莆田·月考）二次函数的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的二次项系数，可知抛物线开口向上，在对称轴的左侧随的增大而减小，所以当时，二次函数的最小值是． 【详解】解：二次函数的对称轴是， 二次项系数， 抛物线开口向上， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 当时，， 当时，二次函数的最小值是． 2．（2026·河北廊坊·一模）已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 【答案】4 【分析】把解析式化为顶点式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则可确定当时，函数有最大值，求出最大值，再根据顶点坐标得到最小值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴在满足的条件下，当时，函数有最大值，最大值为， ∵， ∴函数的最小值为， ∴当时，函数的最大值与最小值的差为． 3．（25-26九年级上·山东滨州·月考）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，，函数有最小值为时，， 当时，函数有最大值为， ∴； 故答案为： 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：对于二次函数， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 函数的最大值与最小值的和为， ，解得， 与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； 当时，此时当时取得最小值，最小值为； 当时取得最大值， 最大值为， 此时最大值与最小值的和为， 符合题意； 当时，此时当时取得最小值，最小值为； 当时取得最大值， 最大值为， 函数的最大值与最小值的和为， ，解得或， 与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； 综上，的取值范围为：． 知识点三 利用二次函数的对称性求最短路径 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，先求出A、B两点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 2．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为 【分析】（1）利用抛物线经过的两个点的坐标，代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到函数表达式； （2）根据题意得出对称轴为，确定，再由对称性求周长即可． 【详解】（1）解：已知抛物线过，代入得： ， 解得， 故； （2）解：抛物线的对称轴为， A与B关于对称轴对称， ∴， ∴周长最小值 由（1）得， ∴， ∴的最小值为 3．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，则的最小值是多少？ 【答案】 【分析】连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为的长，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值， 由抛物线的对称性可知，， ， 的最小值为的长， 抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点， 令，则， 令，则，解得：或， ，，， ， 即的最小值是． 【点睛】利用抛物线的对称性将求的最小值转化为求线段的长． 4．（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 知识点四 线段、周长最值（二次函数综合） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求的面积． (2)若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值． 【答案】(1)的面积为 (2)线段的最大值为 【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数关系式、三角形面积的计算以及线段最大值的求法，解题的关键是利用函数性质求线段最大值． （1）将代入可求得抛物线的解析式，进而根据抛物线解析式求得点的坐标，易得线段，的长度，所以由三角形面积公式解答即可； （2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，再根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 抛物线解析式为， ， ． 由可知，， ， 故答案为：的面积是． （2）（2）设直线的解析式为． 将点、的坐标代入函数解析式，得 解得 直线的解析式为． 设，则， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 故答案为：线段的最大值为. 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线的解析式即可得到的坐标． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上， 解得 抛物线的解析式为； （2）解： 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即， 解得， ， ， ∴，， 的周长的最小值为， ， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 知识点五 面积最值（二次函数综合） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线其中为常数且经过点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形面积，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点和，设抛物线的解析式为，再把点坐标代入，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴于点D，交于点E．设点P的坐标为，则点E的坐标为，则，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意知抛物线与轴的交点为和， ∴设抛物线的函数解析式为． 把代入，得，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：抛物线的函数解析式为． （2）解：如图，连接，过点P作轴于点D，交于点E． 设直线的解析式为．将代入，得 解得 直线的解析式为． 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ， ． ，开口向下 当时，有最大值，此时点P的坐标为． 故答案为： ． 2．（24-25九年级下·四川广安·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 【答案】(1) (2)四边形面积最大值等于9 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决． （1）利用已知条件求出点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出四边形面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则，． ， ， ， ． 点、在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为：． （2）解：令，得，， 令，得或1，． 设点坐标为，，， 如图所示，过点作轴于点，则，，． 点在抛物线上， ，代入上式得： ， 当时，四边形面积有最大值，最大值为9． 知识点六 特殊三角形问题（二次函数综合） 1．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； （3）解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 2．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)若点D的横坐标为2，求的周长； (3)当是直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的周长为； (3)点坐标为，． 【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点坐标代入即可． （2）先求出直线的表达式，再由点D的横坐标为2，求出纵坐标，再用两点间的距离公式求出的长即可求解； （3）由于轴，所以，若是直角三角形，可考虑两种情况∶ ①以点为直角顶点时，此时，此时点位于轴上(即与点重合)，由此可求出点的坐标； ②以点为直角顶点时，易知，则，所以平分，那么此时关于轴对称，然后设的横坐标，根据抛物线和直线的解析式表示出的纵坐标，由于两点关于轴对称，则纵坐标互为相反数．可据此求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 可设顶点式为， 将代入顶点式， 得， 解得：， ， 即； （2）解：令，得， 解得，， 点在点的右边， ，， ， 设直线的函数关系式为， 将，代入上式， 得， 解得， 直线的函数关系式为， 在直线上， 时，， ， ， 的周长； （3）解：分两种情况： ①当点为直角顶点时，点与点重合（如图）， ， ； ②当点为的直角顶点时（如图）， ，， ， 当时，， 平分， 又轴， ， 关于轴对称， 在直线上，在上， 设，， ， 即， 解得，（舍）， 当时，， 的坐标为（抛物线顶点）， 综上所述，点坐标为：，． 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定，直角三角形的判定等重要知识，会用分类讨论、数形结合的数学思想分析问题是解题的关键． 3．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为．                              (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或2或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可； （3）分，和讨论，三种情况利用等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解∶根据题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， 当时，， ∴顶点， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得（不符题意，舍去），， ∴， ∴； （3）解：设M点的坐标为 如图所示，当时， ∵轴， ∴轴，N点的纵坐标为 ∴Q点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴N点坐标为， ∴，， 又∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴Q点坐标为， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时， 由①知：N的坐标为，则， ∴，， 同理得， ∴， ∴， ∴Q点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，过Q作于P， 由①知：N的坐标为， 同理得， ∴，， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以为边的是等腰直角三角形时，t的值为或2或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性格知识． 知识点七 特殊四边形问题（二次函数综合） 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在点，理由如下， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵点为直线右侧抛物线上一点， 设， 由抛物线的函数表达式为， ∴， ∴当时，， ∴， 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点，此时与点重合； 综上可知：点的坐标为或或． 2．（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上． (1)求b的值； (2)若一次函数与一次函数交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对应的二次函数表达式； (3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【分析】此题考查二次函数和一次函数综合题，准确求出二次函数表达式是解题的关键． （1）由一次函数与轴交于点，得，则，再把点代入求出值； （2）通过由两个一次函数组成方程组求出点的坐标，再由对称知识求出点的坐标，后将、、三点坐标代入即可； （3）求出直线、的解析式，再联立解得点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上， 点坐标为， 点坐标为， 点在一次函数的图象上， ， ； （2）解：由方程组，解得， 点坐标为， 又点为点关于原点的对称点， 点坐标为， 一次函数与轴交于点， 点坐标为， 设二次函数对应的函数表达式为， 把，，三点的坐标分别代入，得，解得， 二次函数对应的函数表达式为； （3）当四边形为菱形时，， 直线对应的函数表达式为， 直线对应的函数表达式为． 联立方程组． 解得或， 点坐标为或； 3．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）由抛物线与轴交于两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当为矩形边时，当为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可． （3）作的垂直平分线，垂足为，交于点，作于点，作点关于点的对称点符合条件，根据题意分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，则， 当为矩形边时，可得或， 当时，则，即， 解得：， 则； 当时，则，即， 解得：， 则； 如图，当为矩形对角线时， ，四边形是矩形， ， 则，即， 解得：或， 则或； 综上：或或或． （3）解：设直线的解析式为，则，解得：， 故直线的解析式为， 设， 作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示． 根据题意可得， 当时，，，故符合条件． 此时，， 解得：， ∴点的坐标为． 作于点，作点关于点的对称点．如图所示． 此时，则，故点符合条件． 根据题意， ∴， ∵， ∴， 过点作于H， 则， ∴， ∵点关于点N对称， 即点为线段的中点， ∴点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论的方法解题是关键． 4．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围． （1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式； （2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可； ②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的解析式为； （2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为， ， ，， 当四边形为正方形时，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 或者， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为1或0； ②根据①可知：当或时，， 当时，， ， 当或时，， 当时，的取值范围为或． 知识点八 角度问题（二次函数综合） 1．（24-25九年级下·福建南平·开学考试）如图所示，已知抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足，顶点为C． (1)求m的值； (2)①求抛物线顶点C的坐标； ②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式； (3)已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可； （2）①一般式转化为顶点式，写出顶点坐标即可；②根据平移规则写出新的函数解析式即可； （3）作点关于的对称点，交于点，连接并延长，与抛物线的交点即为点，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； （2）①由（1）可知：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为：； ②该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到： ，即：； （3）作点关于的对称点，交于点，连接，过点作，则：，， ∵， ∴点在射线上，延长与抛物线的交点即为点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴． 2．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线的顶点，求出的面积； (3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点和代入可得，再解方程组可得答案； （2）如图，连接，记与轴的交点为，求解及的解析式，再求解的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图，连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：将点和代入可得： ∴，解得， ∴． （2）解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵， ∴， 当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，解得， ∴， ∴. （3）解：如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， 如图，关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或. 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与角度问题，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 1．（25-26九年级上·全国·期末）已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 【答案】 【分析】连接，由题意得，推得，所以当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长，然后求出直线的解析式为，求出该直线与抛物线的交点坐标即可． 【详解】解：连结， 由已知，，则， ， 当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得，， 点C位于y轴左侧， ， 当时，， 点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与线段相关的最值问题，二次函数图象与性质， 求一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意，分析线段差的最值的几何意义是关键． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点和． (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，求n的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点A、B坐标代入求解即可； （2）二次函数的图象向右平移n个单位长度后的新函数为，故此时对称轴是直线，函数图象开口向上，然后分，和三种情形分别讨论计算，进而可以得解． 【详解】（1）解：（1）将点，代入，得， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线， 当时，， 顶点坐标为； （2）解：由题意，， 二次函数的图象向右平移n个单位长度后， 新函数为， 此时对称轴是直线，函数图象开口向上， ①当时，即， 当时，y取最大值为， 当时，y取最小值为， 又最大值与最小值的差为3， ， ，不合题意； ②当时，即， 当或时，y取最大值为或， 当时，y取最小值为， 又最大值与最小值的差为3， 或， 或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或； ③当时，即， 当时，y取最小值为， 当时，y取最大值为， 又最大值与最小值的差为3， ， ，不合题意； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 3．（25-26九年级上·辽宁营口·月考）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为 ； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】(1)8 (2)c的值是4 (3)h的值为或6 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据题意，先求出，再将函数图象上所有点的“纵横值”表示为，即可列方程求解； （3）现将二次函数的解析式化为，然后将函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，令， 则，再根据对称轴的三种不同位置，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为． 故答案为：8． （2）解：由已知得，， 解得， 二次函数的解析式为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 最优纵横值为5， ， ； （3）解：二次函数的顶点在直线上， ， ， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 令， 则， 其对称轴为， 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， 当时，即， ， 此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去； 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）； 综上所述，h的值为或6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3二次函数的图象和性质 知识点一 公式法求抛物线基本性质 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．（25-26九年级上·北京·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．（2026·广东珠海·一模）已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 知识点二 一次函数、二次函数图像综合判断 1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． B． C． D． 3．（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 知识点三 比较函数值的大小 1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）抛物线上有两点，则_____．（填“”“”或“”） 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 知识点四 待定系数法求二次函数解析式 1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 4．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 知识点一 根据二次函数的图像符号判断 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；（的实数）；．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级下·江苏南京·月考）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26九年级下·四川成都·月考）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的最大值为 C．当时， D． 知识点二 限定自变量取值范围求最值 1．（25-26九年级上·福建莆田·月考）二次函数的最小值为______． 2．（2026·河北廊坊·一模）已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 3．（25-26九年级上·山东滨州·月考）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为，则的取值范围是_____． 知识点三 利用二次函数的对称性求最短路径 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 2．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 3．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，则的最小值是多少？ 4．（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 知识点四 线段、周长最值（二次函数综合） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求的面积． (2)若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 知识点五 面积最值（二次函数综合） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线其中为常数且经过点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标． 2．（24-25九年级下·四川广安·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 知识点六 特殊三角形问题（二次函数综合） 1．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 2．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)若点D的横坐标为2，求的周长； (3)当是直角三角形时，求点P的坐标． 3．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为．                              (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 知识点七 特殊四边形问题（二次函数综合） 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上． (1)求b的值； (2)若一次函数与一次函数交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对应的二次函数表达式； (3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 4．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 知识点八 角度问题（二次函数综合） 1．（24-25九年级下·福建南平·开学考试）如图所示，已知抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足，顶点为C． (1)求m的值； (2)①求抛物线顶点C的坐标； ②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式； (3)已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且，求点P的坐标． 2．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线的顶点，求出的面积； (3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标． 1．（25-26九年级上·全国·期末）已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点和． (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，求n的值． 3．（25-26九年级上·辽宁营口·月考）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为 ； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $